,单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,动态系统的可控性和可观测性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。,卡尔曼在60年代初首先提出状态可控性和可观测性。其后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研究,有着极其重要的意义。,系统可控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。,可观测性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。,为什么经典控制理论没有涉及到可控性和可观测性问题?,这是因为经典控制理论所讨论的是,SISO,系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定。,因此,给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。,反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能否控制的问题。,此外,输出一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。,否则,就无从进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。,因此,在这里不存在输出能否测量(观测)的问题。,所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题。,现代控制理论中着眼于对表征,MIMO,系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。,状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存在多维状态能否由少维输入控制的问题。,此外,状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或观测的输入输出的信息来构造系统状态的问题。,一、 线性连续系统的可控性,本节首先从物理直观性来讨论状态可控的基本含义,然后再引出状态可控性的定义。,下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解可控性严格定义的确切含义是有益的。,1.,可控性的直观讨论,状态可控性反映输入,u,(,t,),对状态,x,(,t,),的控制能力。,如果状态变量,x,(,t,),由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是可控的,或者更确切地说,是状态可控的。,否则,就称系统为不完全可控的。,下面通过实例来说明可控性的意义 。,该电桥系统中,电源电压,u,(,t,),为输入变量,并选择两电容器两端的电压为状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),。,试分析电源电压,u,(,t,),对两个状态变量的控制能力。,例,某电桥系统的模型如图,1,所示 。,图,1,电桥系统,由电路理论知识可知,若图,1,所示的电桥系统是平衡的,电容,C,2,的电压,x,2,(,t,),是不能通过输入电压,u,(,t,),改变的,即状态变量,x,2,(,t,),是不可控的,则,系统是不完全可控的。,若图,1,所示的电桥系统是不平衡的,两电容的电压,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),可以,通过输入电压,u,(,t,),控制,则,系统是可控的。,由状态空间模型来看,当选择两电容器两端电压为状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),时,可得如下状态方程,:,由上述状态方程可知,状态变量,x,2,(,t,),的值,即电桥中电容,C,2,的电压,是自由衰减的,并不受输入,u,的控制。因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。具有这种特性的系统称为状态不可控的。,例,某并联双水槽系统如图,2,所示,其截面积均为,A,它们通过阀门,O,均匀地输入等量液体,即其流量,Q,O,相同。,图,2,并联双水槽系统,当阀门1和2的开度不变时,设它们在平衡工作点邻域阀门阻力相等并可视为常数,记为,R,。,图中,h,1,(,t,),和,h,2,(,t,),分别为水槽液面高度,Q,1,(,t,),和,Q,2,(,t,),分别为流量。,该双水槽系统的状态可控性可分析如下,:,对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡。,下面仅考虑流量,Q,O,的变化量,Q,O,所引起的水槽水位的变化。,由各水槽中所盛水量的平衡关系和流量与压力(水面高度)的关系,有,其中,代表平衡工作点附近的变化量。选上述方程中变化量,h,1,和,h,2,为状态变量,将状态变量带入方程中并消去中间变量,Q,1,和,Q,2,消去,则有,解上述状态方程,可得,由上述解可知,当初始状态,x,1,(0),和,x,2,(0),不等时,则,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态轨线不相交。,因此,对该系统,无论如何控制流入的流量,Q,O,(,t,),都不能使两水槽的液面高度的变化量,h,1,(,t,),和,h,2,(,t,),在有限时间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。,上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。,例,:,给定系统的状态空间模型与结构图分别为,本例中,状态变量,x,1,的运动只受初始状态,x,1,(0),的影响,与输入无关,即输入,u,(,t,),不可控制,x,1,(,t,),的运动,而且,x,1,(,t,),不能在有限时间内衰减到零。,因此,状态,x,1,(,t,),不可控,则整个系统是状态不完全可控的。,1/s,-1,-2,1/s,由该状态方程可知,状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),都可由输入,u,单独控制,可以说,x,1,(,t,),和,x,1,(,t,),都是单独可控的。,对该状态方程求解后可得,x,1,(,t,)-,x,2,(,t,)=e,-3,t,x,1,(0)-,x,2,(0),即状态,x,1,(,t,),和,x,1,(,t,),总是相差一个固定的,不受,u,(,t,),控制的函数值。,例,:,给定系统的状态空间模型为,因此,x,1,(,t,),和,x,1,(,t,),不能在有限时间内同时被控制到零或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态方程解所规定的状态空间中的曲线上。,所以,虽然状态,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),都是单独可控的,但整个系统并不可控。,前面4个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态可控性,但对维数更高、更复杂的系统,直观判断可控性是困难的。,下面将通过给出状态可控性的严格定义,来导出判定系统可控性的充要条件。,2.,状态可控性的定义,由状态方程,及状态方程求解公式可知,状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之后的输入,与输出,y,(,t,),无关。,因此研究讨论状态可控性问题,即输入,u,(,t,)对,状态,x,(,t,)能否控制,的问题,只需考虑系统在输入,u,(,t,),的,作用和状态方程的性质,与输出,y,(,t,),和输出方程,无关。,对线性连续系统,我们有如下状态可控性定义。,定义,1,若线性时变连续系统,对初始时刻,t,0,(,t,0,T,T,为时间定义域)和初始状态,x,(,t,0,),存在另一有限时刻,t,1,(,t,1,t,0,t,1,T,),可以找到一个控制量,u,(t),能在有限时间,t,0,t,1,内把系统状,态从初始状态,x,(,t,0,),控制到原点,即,x,(,t,1,)=0,则称,t,0,时刻的状态,x,(,t,0,),可控;,若对,t,0,时刻的状态空间中的所有状态都可控,则称系统在,t,0,时刻状态完全可控;简称为系统可控。,对上述状态可控性的定义有如下讨论,:,1.,控制时间,t,0,t,1,是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。,对时变系统,控制时间的长短,即,t,1,-,t,0,的值,与初始时刻,t,0,有关。,对于定常系统,该控制时间与,t,0,无关。,所以,对于线性定常系统状态可控性,可不必在定义中强调“,在所有时刻状态完全可控,”,而为“,某一时刻状态完全可控,则系统状态完全可控,”。,2.,在上述定义中,对输入,u,(,t,),没有加任何约束,只要能使状态方程的解存在即可。,如果矩阵,A,(,t,),和,B,(,t,)以及向量,u,(,t,),的每个元素都是,t,的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。,u,(,t,),为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。,3.,线性定常连续系统的状态可控性判据,线性定常连续系统,(,A,B,),状态可控性判据有许多不同形式,包括,格拉姆矩阵判据,秩判据,模态判据,（,1,）格拉姆矩阵判据,线性定常连续系统,(,A,B,),状态完全可控的充要条件为,:,存在,t,1,(,t,1,0),使得如下可控格拉姆,(Gram),矩阵为非奇异的,（2）秩判据,线性定常连续系统,(,A,B,),状态完全可控的充要条件为,:,定义如下的可控性矩阵,Q,c,=,B AB,A,n,-1,B,满秩,rank,Q,c,=rank,B AB,A,n,-1,B=,n,证明如下,:,对于线性定常系统,由可控性定义可知,其状态可控性与初始时刻无关。,因此,不失一般性,可设初始时刻,t,0,为0。,根据状态方程解的表达式,有,证明,在证明可控性判据之前,下面首先证明线性定常系统状态完全可控等价于下述方程对任意的初始状态,x,(0),有控制输入,u,(,t,),的解。,由可控性的定义有,若可控,则应存在,t,1,(,t,1,0),和分段连续的,u,(,t,),使得,x,(,t,1,)=0,即,即,因此,线性定常系统状态可控的充要条件为,:,上述方程对任意的,x,(0),有输入,u,(,t,),的解。,下面将利用该方程证明判别状态可控性的充要条件。,由凯莱-哈密顿定理,有,因此代入,得：,令：,若系统是可控的，那么对于任意给定的初始状态,x,(0),都应从上述方程中解出,f,0,，,f,1,，,，,f,n,1,来。,这就要求系统可控性矩阵的秩为,n,，即,rank,B AB A,2,B A,n,1,B, =,n,例题：,试判断如下系统的状态可控性,解,由状态可控性的代数判据有,因此,该系统状态完全可控。,例题：,设系统的状态方程为,判断其状态可控性。,解：系统的可控性矩阵为,Q,c,= ,B AB A,2,B, =,rank,Q,c,=,2,n,所以系统状态不完全可控。,2 1,1 1,1,1,3 2,2 2,2,2,5 4,4 4,4,4,对角规范型判据：,对为对角规范形的线性定常连续系统,(,A,B,),有：,1),若,A,的所有特征值互异,则系统可控的充要条件为：,B,中不包含元素全为,0,的行；,2),若,A,有重特征值,则系统可控的充要条件为：,重特征值对应的,B,中的行线性无关。,（,3,） 模态判据,例题：,判断下述系统的状态可控性,例题：,对于如图所示的系统，列写该系统的状态方程，并判断该系统的可控性。,约旦规范形判据：,对为约旦规范形的线性定常连续系统,(,A,B,),有,:,1),若,A,为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵,则系统可控的充要条件为,对应,A,的每个约旦块的,B,的分块的最后一行都不全为零,;,2),若,A,为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则系统可控的充要条件为,对应,A,的每个特征值的所有约旦块的,B,的分块的最后一行线性无关,。,模态判据不仅可判别出状态可控性,而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)和哪一状态不可控。,这对于进行系统分析和反馈校正是非常有帮助的。,解,由对角型判据可知,A,为特征值互异的对角线矩阵,且,B,中各行不全为零,故系统状态完全可控。,例,题：,试判断如下系统的状态可控性。,解,A,的,每个特征值都只有一个约旦块,但对应于特征值-4的约旦块的,B,的分块的最后一行全为零,故状态,x,1,和,x,2,不可控,则系统状态不完全可控。,状态空间,x,1,-x,2,-x,3,不完全可控,状态子空间,x,1,-x,2,不完全可控,状态变量,x,3,完全可控,状态变量,x,2,完全不可控,状态变量,x,1,完全不可控,解,由于,A,中特征值-4的两个约旦块所对应的,B,的分块的最后一行线性无关,且,A,中特征值-3的约旦块所对应的,B,的分块的最后一行不全为零,故系统状态完全可控。,解,由于,A,中特征值-4的两个约旦块所对应的,B,的分块的最后一行线性相关,故该系统的状态,x,1,x,2,和,x,4,不完全可控,则系统状态不完全可控。,状态空间,x,1,-x,2,-x,3,-x,4,不完全可控,状态子空间,x,1,-x,2,-x,4,不完全可控,状态变量,x,3,完全可控,PBH,秩判据：,线性定常连续系统,(,A,B,),状态完全可控的充必条件为,:,对于所有的,i,下式成立,:,rank,i,I,-,A,B,=,n,解,由方程|,i,I,-,A,|=0,可解得矩阵,A,的特征值分别为1,2,和3。,对特征值,1,=1,有,例,题：,试判断如下系统的状态可控性。,对特征值,2,=,2,有,对特征值,3,=,3,有,由,PBH,秩判据可知,该系统状态不完全可控。,可控性判据小结,判定方法,特点,判据,秩判据,规范型判据,PBH,秩判据,可控性矩阵,Q,c,=,B AB,A,n,-1,B满秩,约旦标准形中同一特征值对应的,B,矩阵分块的最后一行线性无关,对于所有特征值,rank,I,-,A,B,=,n,计算简便可行。,缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)可控,易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)可控。,缺点为需变换成标准形,易于分析哪些特征值(极点)可控。,缺点为需求系统的特征值,二、 线性定常连续系统的输出可控性,在控制系统分析和设计中,系统的被控制量往往不是系统的状态变量,而是系统的输出变量。,因此,有必要研究系统的输出能否控制的问题。,经典控制理论讨论的为,SISO,系统输入输出的分析和综合问题,其输入输出间动态关系可以唯一地由传递函数所确定。,因此,对给定的期望输出响应,输入则唯一地确定,不存在输出能否控制的问题。,但对于,MIMO,系统,由于输入向量和输出向量是多维的,因此,存在,r,维的输入能否控制,m,维的输出的可控性问题。,定义,：,若线性定常连续系统,(,A,B,C,D,),对初始时刻,t,0,(,t,0,T,T,为系统的时间定义域)和任意初始输出值,y,(,t,0,),存在另一有限时刻,t,1,(,t,1,t,0,t,1,T),可以找到一个输入控制向量,u,(,t,),能在有限时间,t,0,t,1,内把系统从初始输出,y(,t,0,),控制到原点,即,y,(,t,1,)=0,则称系统输出完全可控,简称为系统输出可控。,若系统存在某个初始输出值,y(,t,0,),不满足上述条件,则称此系统是输出不完全可控的,简称为输出不可控。,定理,：,线性定常连续系统,(,A,B,C,D,),输出完全可控的充要条件为输出可控性矩阵,CB,CAB,CA,n,-1,B,D,满秩,即,rank,CB,CAB,CA,n,-1,B,D,=,m,其中,m,为输出向量的维数。,例题：,试判断如下系统的输出可控性,解,由输出可控性的代数判据有,rank,CB CAB D,=rank2 0 0=1=,m,故系统输出完全可控。,对例题中的系统,因为,故系统是状态不完全可控的。,因此,由例题可知,输出可控性与状态可控性是不等价的两个不同概念,它们之间亦没有必然的联系。,本节首先从物理直观性来讨论状态可观测性的基本含义,然后再引出状态可观测性的定义。,下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解可观测性严格定义的确切含义是有益的。,本节讲授顺序为,:,可观测性的直观讨论,状态可观测性的定义,线性定常连续系统的状态可观测性判据,三、 线性连续系统的可观测性,1.,可观测性的直观讨论,状态可观测性反映系统外部可直接或间接测量的输出,y,(,t,),来确定或反映系统状态的能力。,如果系统的任何内部运动状态变化都可由系统的外部输出,y,(,t,),唯一地确定,那么称系统是可观测的,或者更确切地说,是状态可观测的。,否则,就称系统为状态不完全可观测的。,下面通过几个例子来说明可观测性的意义。,例,考虑,右图所示的,电网络系统由输出变量的值确定状态变量值的能力问题。,当电阻,R,1,=,R,2,电感,L,1,=,L,2,输入电压,u,(,t,)=0,以及,两个状态变量的初始状态,x,1,(,t,0,)=,x,2,(,t,0,),且为任意值时,必定有,i,3,(,t,)=0,即输出变量,y,(,t,),恒为零。,因此,由恒为零的输出,y,(,t,),显然不能确定通过两个电感的电流值,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),即由输出,y,(,t,),不能确定状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值。,该电网络模型中,u,(,t,),为输入电压,y,(,t,),=,i,3,(,t,),为输出变量,通过两电感的电流,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),分别为状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,)。,图,电网络,但当电阻,R,1,R,2,或电感,L,1,L,2,时,则上述由输出,y,(,t,),不能确定状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值的特性可能不成立。,这种能由输出变量值确定状态变量值的特性称为状态可观测,若由输出变量值不能唯一确定出状态变量值的特性则称为状态不可观测。,从状态空间模型上看，,当选择,两电感的电流,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),分别为状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,)时，状态空间模型为,当电路中电阻值,R,1,=,R,2,=,R,电感值,L,1,=,L,2,=,L,时,若输入电压,u,(,t,),突然短路,即,u,(,t,)=0,则状态方程为,显然,当状态变量的初始状态为,x,1,(,t,0,)=,x,2,(,t,0,),且为任意值时,上述状态方程的解必有,x,1,(,t,)=,x,2,(,t,),故有,y,(,t,)=,i,3,(,t,)=0,即输出变量,y,(,t,),恒为零。,因此,由观测到的恒为零的输出变量,y,(,t,),不能确定状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值,即由输出,i,3,(,t,),不能确定通过两个电感的电流值,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),。,但当电路中电阻值,R,1,R,2,或电感值,L,1,L,2,时,则上述由输出,y,(,t,),不能确定状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值的特性可能不成立。,这种由可测量的输出变量的值能惟一确定状态变量的值的特性称为状态可观测,若不能惟一确定则称为状态不可观测。,例,：,右图所示的电网络中,电源电压,u,(,t,),为输入,电压,y,(,t,),为输出,并分别取电容电压,u,C,(,t,),和电感电流,i,L,(,t,),为状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,)。,因此,由输出变量,y,(,t,),显然不能确定电压值,u,C,(,t,),即由输出,y,(,t,),不能确定状态变量,x,1,(,t,),的值。,故,该电网络在开关,K,断开后,是状态不可观测的。,当开关,K,在,t,0,时刻断开后,显然电容,C,和电阻,R,1,构成一阶衰减电路,电容电压,u,C,(,t,),的变化只与初始状态,u,C,(,t,0,),有关,与衰减电路外其他信号无关。,例,:,给定系统的状态空间模型为,由状态方程可知,:,状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),可分别由初始状态,x,1,(,t,0,),和,x,2,(,t,0,),唯一决定,并可表示为,x,i,(,t,)=e,-,t,x,i,(0),i,=1,2,因此,输出变量,y,(,t,),可表示为,y,(,t,)=e,-,t,x,1,(0),+,x,2,(0),由,y,(,t,),的解可知,由,y,(,t,),并不能唯一地分别确定初始状态,x,1,(,t,0,),和,x,2,(,t,0,),进而唯一地确定状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),即,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),是状态不可观测的,整个系统的状态是不完全可观测的。,前面,3,个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态可观测性,但对维数更高、更复杂的系统,直观判断可观测性是困难的。,下面将通过给出状态可观测性的严格定义,来导出判定状态可观测性的充要条件。,2.,状态可观测性的定义,对线性系统而言,状态可观测性只与系统的输出,y,(,t,),以及系统矩阵,A,和输出矩阵,C,有关,与系统的输入,u,(,t,),和输入矩阵,B,无关,即讨论状态可观测性时,只需考虑系统的自由运动即可。,上述结论可证明如下,:,对线性定常系统,(,A,B,C,),其状态和输出的解分别为,因为矩阵,A,B,C,和,输入,u,(,t,)均,已知,故上式的右边第二项可以计算出来,也是已知项。故可以定义如下辅助输出,:,研究状态可观测性问题,即为上式对任意的初始状态,x,(,t,0,),能否由辅助输出,y,-,(,t,),来唯一确定的问题。,所以线性系统状态可观测性仅与输出,y,(,t,),以及系统矩阵,A,和输出矩阵,C,有关,与输入矩阵,B,和输入,u,(,t,),无关。,也就是说,分析线性系统的可观测性时,只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。,因此,我们有如下线性系统状态可观测性的定义。,对线性连续系统,我们有如下状态可观测性定义。,定义：,若线性连续系统,对初始时刻,t,0,(,t,0,T,T,为时间定义域)和初始状态,x,(,t,0,),存在另一有限时刻,t,1,(,t,1,t,0,t,1,T,),根据在有限时间区间,t,0,t,1,内量测到的输出,y,(,t,),能够唯一地确定系统在,t,0,时刻的初始状态,x,(,t,0,),则称在,t,0,时刻的状态,x,(,t,0,),可观测;,若对,t,0,时刻的状态空间中的所有状态都可观测,则称系统在,t,0,时刻状态完全可观测;,若存在某个状态,x,(,t,0,),不可观测，称此系统是状态不完全可观测的,简称系统为状态不可观测。,对上述状态可观测性的定义有如下注记。,1.,对于线性定常系统,由于系统矩阵,A,(,t,),和输出矩阵,C,(,t,),都为常数矩阵,与时间无关,因此不必在定义中强调“,在所有时刻状态完全可观测,”,而为“,某一时刻状态完全可观测,则系统状态完全可观测,”。,2.,上述定义中的输出观测时间为,t,0,t,1,并要求,t,1,t,0,。,这是因为,输出变量,y,(,t,),的维数,m,一般总是小于状态变量,x,(,t,),的维数,n,。,否则,若,m,=,n,且输出矩阵,C,(,t,),可逆,则,x,(,t,)=,C,-1,(,t,),y,(,t,),即状态变量,x,(,t,)可直接由输出,y,(,t,)确定,。由于,m,0),使得如下可观测格拉姆,(Gram),矩阵为非奇异的,（2）秩判据,线性定常连续系统,(,A,C,),完全可观测的充要条件为,:,定义如下的可观测性矩阵,满秩,即,rank,Q,o,=,n,证明,对于线性定常系统,由可观测性定义可知,其状态可观测性与初始时刻无关。因此,不失一般性,可设初始时刻,t,0,为0。,根据输出方程解的表达式,有,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0),由可观测性的定义可知,线性定常连续系统的状态是否完全可观测,等价于上述方程是否有,x,(0),的唯一解问题。,将凯莱-哈密顿定理代入上式：,例,：,试判断如下系统的状态可观测性,解,由状态可观测性的代数判据有,而系统的状态变量的维数,n,=2,所以系统状态不完全可观测。,对角规范型判据：,对为对角规范形的线性定常连续系统,(,A,C,),有：,1),若,A,的所有特征值互异,则系统可观测的充要条件为：,C,中不包含元素全为,0,的列；,2),若,A,有重特征值,则系统可观测的充要条件为：,重特征值对应的C中的列线性无关。,（,3,） 模态判据,约旦规范形判据：,对为约旦规范形的线性定常连续系统,(,A,C,),有,:,1),若,A,为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵,则系统可观测的充要条件为,对应,A,的每个约旦块的,C,的分块的第一列不全为零,;,2),若,A,为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则系统可观测的充要条件为,对应,A,的每个特征值的所有约旦块的,C,的分块的第一列线性无关,。,模态判据不仅可判别出状态可观测性,而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)和哪一状态不可观测。,这对于进行系统分析、状态观测器和反馈校正是非常有帮助的。,例,：,试判断如下系统的状态可观测性。,解,由定理,4-8,可知,A,为特征值互异的对角线矩阵,但,C,中的第2列全为零,故该系统的状态,x,2,不可观测,则系统状态不完全可观测。,状态空间,x,1,-x,2,不完全可观测,状态变量,x,1,完全可观测,状态变量,x,2,完全不可观测,解,由于,A,为每个特征值都只有一个约旦块,且对应于各约旦块的,C,的分块的第一列都不全为零,故系统状态完全可观测。,解,由于,A,中特征值-4的两个约旦块所对应的,C,的分块的第一列线性相关,该系统的状态,x,1,x,2,和,x,4,不完全可观测,则系统状态不完全可观测。,状态空间,x,1,-x,2,-x,3,-x,4,不完全可观测,状态变量,x,1,-x,2,-x,4,不完全可观测,状态变量,x,3,完全可观测,PBH,秩判据：,线性定常连续系统,(,A,C,),状态完全可观测的充要条件为,:,对于所有的,i,下式成立,:,例,题：,试判断如下系统的状态可观测性。,解,由方程|,I,-,A,|=0,可解得矩阵,A,的特征值分别为-1,-2,和-3。对特征值,1,=-1,有,列,3=,列,2-,列,1,故该系统状态不完全可观测。,可观测性判据小结,判定方法,特点,判据,代数判据,规范性判据,PBH,秩判据,可观测性矩阵,Q,o,满秩,约旦标准形中同一特征值对应的,C,矩阵分块的第一列线性无关,对于所有特征值,rank,I,-,A,C,=,n,计算简便可行。,缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)可观测,易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)可观测。,缺点为需变换成标准形,易于分析哪些特征值(极点)可观测。,缺点为需求系统的特征值,补充可控性和可观测判据：,对单输入系统，,(sI-A),-1,b,无零极点对消是系统,完全可控,的 充要条件。,对单输出系统，,c(sI-A),-1,无零极点对消是系统,完全可观测,的 充要条件。,结论：,对单输入单输出系统，传递函数,G(s)=c(sI-A),-1,b,无零极点对消是系统,完全可控可观测,的充要条件。,传递函数描述的只是可控又可观测部分；,传递函数中消去的极点对应于不可控或不可观测模态。,例题：,为使 描述的系统可控又可观测，问,a,应,满足什么条件？,例题：,已知系统传递函数,（,1,）写出系统可控不可观测的动态方程；,（,2,）写出系统可观测不可控的动态方程；,例题：,已知系统传递函数,（,1,）写出系统可控不可观测的动态方程；,（,2,）写出系统可观测不可控的动态方程；,解：,本节主要讲述线性离散系统的状态可控性/可观测性的定义和判据。,由于线性连续系统只是线性离散系统当采样周期趋于无穷小时的无限近似,所以,离散系统的状态可控性/可观测性的定义与线性连续系统的极其相似,可控性/可观测性判据则在形式上基本一致。,四、线性离散系统的可控性和可观测性,本节的主要内容为:,线性定常离散系统的状态可控性,线性定常离散系统的可观测性,连续动态方程,离散化后的状态可控性和可观测性,1.,线性离散系统的状态可控性定义,定义：,对线性时变离散系统,x(,k,+1)=,G,(,k,)x(,k,)+,H,(,k,)u(,k,),若对任意非零初始状态,x(,l,),存在控制作用序列,u(,k,),使系统在第,n,步上达到,到原点,即,x(,n,)=0,则称状态在时刻,l,可控,;,若状态空间中的所有状态都可控,则称系统状态完全可控;,若存在某个状态不可控,称此系统是状态不完全可控的,简称系统为状态不可控。,在上述状态可控性定义中,只要求在,n,步之内寻找控制作用,使得系统状态在第,n,步上到达原点。,这是因为,可以证明,若离散系统在,n,步之内不存在控制作用使得对任意初始状态控制到原点,则在,n,步以后也不存在控制作用使状态在有限步之内控制到原点。,故在上述定义中,只要求系统在,n,步之内寻找控制作用。,定理,(,线性定常离散系统可控性秩判据,),对线性定常离散系统,x(,k,+1)=,G,x(,k,)+,H,u(,k,),，,有如下,状态可控性判据:,1,),若系统矩阵,G,为非奇异矩阵，则状态完全可控的充要条件为如下定义的可控性矩阵:,Q,c,=,H GH,G,n,-1,H,满秩，即,rank,Q,c,=,n,2,),若系统矩阵,G,为奇异矩阵，则系统状态完全可控的充要条件为,rank,Q,c,=rank,Q,c,G,n,2.,线性定常离散系统的状态可控性判据,证明,线性定常离散系统状态方程的解如下:,设在第,n,步上能使初始状态,x(0),转移到零状态,于是上式可记为,即,上式写成矩阵形式即为,这是一个非齐次线性代数方程组,由线性方程组解的存在性理论可知,上式存在控制序列,u(0),u(1),u(,n,-1),的充要条件为,rank,H GH,G,n-,1,H,=rank,H GH,G,n-,1,H G,n,x(0),考虑到系统的初始状态,x(0),是属于,n,维状态空间中任意一个状态,因此上式等价于,rank,H GH,G,n-,1,H,=rank,H GH,G,n-,1,H G,n,即证明了系统状态完全可控的充要条件为可控性矩阵满足,rank,Q,c,=rank,Q,c,G,n,即定理的结论,2),得以证明。,rank,H GH,G,n-,1,H,=rank,H GH,G,n-,1,H G,n,x,(0),当系统矩阵,G,满秩时,显然有,rank,G,n,=,n,因此,rank,H GH,G,n-,1,H G,n,=,n,所以由结论1可知,在系统矩阵,G,满秩时,系统状态完全可控的充要条件为,rank,Q,c,=rank,H GH,G,n-,1,H,=,n,注意：,若离散系统可控，则经,n,个采样周期一定可以到达状态空间原点，即,x,(,n,)=0,；,若离散系统可控，由任意初始状态转移到状态空间原点一般也可以少于,n,个采样周期,rank,Q,c,=rank,Q,c,G,n,解,由线性定常离散系统的可控性矩阵的定义有,但,因此,rank,Q,c,=rank,Q,c,G,2,由定理的结论,2,可知,该系统状态完全可控。,例,:,试判断如下系统的状态可控性,解,G,为非奇异阵，,由系统状态可控性判据有,例,:,试判断如下系统的状态可控性，若初始状态,x(0)=2 1 0,T,，确定使,x(3)=0,的控制序列,u(0), u(1), u(2),；研究使,x(2)=0,的可能性,2,线性定常离散系统的可观测性,与线性连续系统一样,线性离散系统的状态可观测性只与系统输出,y(,k,),以及系统矩阵,G,和输出矩阵,C,有关,即只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。,下面我们先引入线性定常离散系统状态可观测性的定义。,对初始状态,x,(,l,),根据在,n,个采样周期内采样到的输出向量,y,(,k,),能唯一地确定系统的初始状态,x,(0),则称状态,x,(,l,),可观;,若对状态空间中的所有状态都可观,则称系统状态完全可观,简称为系统可观。若存在某个状态,x,(,l,),不可观,称此系统是状态不完全可观的,简称系统为状态不可观。,定义：,若线性时变离散系统,在线性定常离散系统的状态可观测性定义中,只要求以在,n,个采样周期内采样到的输出来确定系统的状态。,这是因为,可以证明:,如果由,n,个采样周期内的输出向量序列不能唯一确定系统的初始状态,则由多于,n,个采样周期的输出向量序列也不能唯一确定系统初始状态。,对线性定常离散系统,存在与线性定常连续系统在形式上完全一致的状态可观测性判据。,满秩,即,rank,Q,o,=,n,定理：,线性定常连续系统,(,G,C,),状态完全可观的充分必要条件,为如下定义的可观测性矩阵:,证明,本定理的证明可直接由,线性代数方程组的解唯一性,理论给出。,由线性定常离散系统的状态空间模型的求解公式,可得,y,(0)=,C,x,(0),y,(1)=,C,x,(1)=,CG,x,(0),y,(,n,-1)=,C,x,(,n,-1)=,CG,n,-1,x(0),将上述,n,个方程写成矩阵的形式,有,因此,由线性方程的解存在性理论可知,无论输出向量的维数是否大于1,上述方程有,x,(0),的唯一解的充分必要条件为,rank,Q,o,=,n,由可观测性的定义可知,上式亦为线性定常离散系统,(,G,C,),状态完全可观的充要条件。,例,：,试判断如下系统的状态可观测性,解,由状态可观测性判据有,系统完全可观测,注意：,系统完全可观测意味着至多经,n,步便可由输出,y(k),y(k+1),y(k+n-1),的测量值来确定,n,个状态变量。,例,：,试判断如下系统的状态可观测性,解,由状态可观测性判据有,系统不完全可观测,3,连续动态方程离散化后的可控性和可观测性,这里所要讨论的线性定常连续系统离散化后的状态可控性/可观测性问题,是指:,1.,线性定常连续系统经离散化后是否仍能保持其状态可控性/可观测性?,2.,离散化系统可控性和可观测性与原连续系统的可控性/可观测性之间的关系?,该问题是计算机控制中一个十分重要的问题。,在具体讨论之前,先看一个例子。,解,1. 求原连续系统的可控性和可观测性。,因为,故原连续系统是状态完全可控且完全可观的。,例,：,判断如下线性定常连续系统离散化后的状态可控性和可观测性。,2. 求连续系统的离散化系统.,根据离散化方法,有,即经离散化后的系统状态空间模型为,3. 求离散化后的系统的状态可控性和可观测性。,可控性矩阵和可观测性矩阵为:,由于系统矩阵,G,非奇异矩阵,故由定理,4-12,和定理,4-13,可知,离散化系统的状态完全可控和完全可观的充分必要条件为可控性矩阵,Q,c,和可观测性矩阵,Q,o,均满秩。,因此,此时离散化系统是既不可控又不可观的。,若取,T,k,(,k,=1,2,),即,sin,T,0,cos,T,1,则有,|,Q,c,|=sin,T,(-sin,2,T,-cos,2,T,+2cos,T,-1)=2sin,T,(cos,T,-1),0,|,Q,o,|=sin,T,0,即,Q,c,和,Q,o,均为满秩矩阵,则此时离散化系统状态完全可控又完全可观。,若取,T,=,k,(,k,=1,2,),即,sin,T,=0,cos,T,=,1,则有,从上述例题中可以清楚地看出,若连续系统是状态完全可控/可观的,经离散化后能否保持系统的状态完全可控/可观,这完全取决于系统采样周期的选择。,经精确离散化的状态空间模型为,其中,对离散化系统的状态可控性/可观测性与原连续系统的状态可控性/可观测性以及采样周期,T,的选择的关系有如下结论:,设线性定常连续系统的状态空间模型为,则连续系统,(,A,B,C,),和其离散化系统,(,G,H,C,),两者之间的状态可控性和可观测性关系为:,1.,如果连续系统状态不完全可控(不完全可观),则其离散化系统必是状态不完全可控(不完全可观)的;,2.,如果连续系统状态完全可控(可观)且其特征值全部为实数,则其离散化系统必是状态完全可控(可观)的;,3.,如果连续系统状态完全可控(可观)且存在共轭复数特征值,则其离散化系统状态完全可控(可观)的充分条件为:,对于所有满足,Re,i,-,j,=0,的,A,的特征值,i,和,j,应满足,T,2,k,/Im,i,-,j,k,=,1,2,3,其中符号,Re,和,Im,分别表示复数的实数部分和虚数部分。,利用上述离散化系统可控性,/,可观测性结论,有如下算例,:,在,例题,中,A,的特征值为,1,=j,2,=-j,即满足,Re,1,-,2,=0。,所以当,T,2,k,/Im,i,-,j,=,k,k,=,1,2,3,时,离散化系统才状态完全可控和完全可观。,再如,若某可控可观的连续系统的特征值分别为,:,-2,j,-2,-2,3,j,-3,4,j,则采样周期,T,不能取,对特征值对,-2,j,T,2,k,/2,对特征值对,-2,j,与特征值,-2,的组合,T,2,k,对特征值对,-2,j,与,-2,3,j,的组合,T,2,k,/2, 2,k,/4,对特征值,-2,与特征值对,-2,3,j,的组合,T,2,k,/3,对特征值对,-2,3,j,T,2,k,/6,对特征值对,-3,4,j,T,2,k,/8,因此,经整理,可得,T,k,/4,k,/3,k,=,1,2,3,为了便于研究系统固有特性，经常引入多种非奇异线性变换，如经常要将,A,阵对角化、约当化；将系统化为可控标准型，可观测标准型也需要进行线性变换。为了便于分析与设计，需要对动态方程进行规范分解。如何变换？变换后，系统的固有特性是否会引起改变呢？这是本节将研究的,线性变换,问题。,1,线性系统的非奇异线性变换及其性质,（,1,） 非奇异线性变换,先看一个,RLC,网络例子：,五 线性定常系统的线性变换,选择状态变量：,R,L,C,i,(,t,),u,(t),u,c,(,t,),选择状态变量：,选择状态变量：,选择状态变量：,P,为非奇异变换矩阵,考虑系统：,取非奇异线性变换,：,整理得：,其中：,线性变换的目的在于使系统规范化，以便于揭示系统特性，简化分析、计算与设计，在系统建模，可控性、可观测性、稳定性分析、系统综合设计方面特别有用。非奇异线性变换,不会改变系统的固有性质，所以它是等价变换,。待计算出所需结果之后，再引入反变换,将新系统变回原来的状态空间中去，获得最终结果。,（,2,）非奇异线性变换性质,系统经过非奇异线性变换，系统的特征值、传递矩阵、可控性、可观测性等重要性质均保持不变性。下面进行证明。,变换后系统,传递,矩阵不变,证明：,列出变换后系统传递矩阵,变换前后的系统传递矩阵相同,！,2.,线性变换后系统特征值不变,证明,变换后系统的特征多项式,变换前后的特征多项式相同，故特征值不变。,由此可知,，,非奇异变换后，系统的稳定性不变。,3.,变换后系统可控性不变,证明,变换后系统可控性判断矩阵的秩,变换前后的可控性,判断,矩阵的秩相同，故可控性不变。,4.,变换后系统可观测性不变,证明,列出变换后可观测性,判断,矩阵的秩,变换前后可观测性,判断,矩阵的秩相同，故可观测性不变。,，,1,几种常用的线性变换,(1),化,A,阵为对角型,化对角标准型的步骤：,求取系统矩阵,A,的,n,个特征根,和对应的特征向量,令,解：,1),求系统特征根,例,将下系统化为对角标准型,2),求特征向量,对,由,得,对,由,得,3) 新的状态方程为：,若,A,阵为友矩阵，且有互异实数特征根,则用范德蒙特（,Vandermode,）矩阵,P,可以将,A,对角化。,例,将下系统化为对角标准型,A,为任意方阵，有,m,重实数特征根（,异实数特征根，但在求解,时，仍有,m,个独立的特征向量,则仍可以将,A,化为对角阵。,），其余（,n,m,）个特征根为互,，,式中，,是互异实数特征根,对应的特征向量。,A,阵有,m,重实数特征根（,根，但重根只有一个独立的特征向量,时，只能将,A,化为约当阵,J,。,式中，,分别是互异实数特征根,对应的特征向量，而,是广义特征向量，可由下式求得,），其余（,n,m,）个特征根为互异实数特征,(2),化,A,阵为约当型,例,将下系统化为对角或约当标准型,解：,1),求系统特征根,对,由,得,A,阵为友矩阵，具有,m,重实数特征根（,互,异实数特征根，但重根只有一个独立的特征向量,时，将,A,约当阵化的,P,阵为,），其余（,n,m,）个特征根为,例,将下系统化为对角或约当标准型,解：,1),求系统特征根,(3),化可控系统为可控标准型,前面曾对单输入,-,单输出建立了如下的可控标准型状态方程,与该状态方程对应的可控性矩阵是一个右下三角阵，且其主对角线元素均为,1,一个可控系统，当,A,，,b,不具有可控标准型时，定可选择适当的变换化为可控标准型。,变换，即令,设系统状态方程为,进行,第,12,讲,状态方程变换为,要求,根据,A,阵变换要求，,P,应满足,设变换矩阵为,展开之,增补一个方程,整理后，得到变换矩阵为,另根据,b,阵变换要求，,P,应满足,即,故,该式表示,是可控性矩阵逆阵的最后一行。,将可控系统化为可控标准型的步骤：,计算可控性矩阵,2.,计算可控性矩阵的逆阵,3.,取出,的最后一行（即第,n,行）构成,行向量,4.,按下列方式构造,P,阵,5.,便是将普通可控状态方程可化为可控标准型状态方程的变换矩阵。,6.,是非奇异矩阵,即该系统为状态完全可控,因此可以将其变换成可控规范形。,例,4-19,试求如下系统的可控标准形:,解,(1),系统的可控性矩阵,(2),计算变换矩阵,先求变换矩阵,p,1,=,0 1,Q,c,-1,=1/2 1/2,p,2,=,p,1,A,=0 1,则变换矩阵,P,可取为,因此,经变换,后所得的可控标准形的方程为,(3),化可观测系统为可观标准型,单输入单输出系统可观标准型动态方程,一个可观测系统，当,A,，,c,不具有可观测标准型时，定可选择适当的变换化为可观测标准型。,满足下列关系:,则称系统,(,A,B,C,),和,互为对偶。,显然,若系统,(,A,B,C,),是一个,r,维输入,m,维输出的,n,阶系统,则其对偶系统,是一个,m,维输入,r,维输出的,n,阶系统。,定义：,若给定的两个线性定常连续系统,对偶原理,下图是对偶系统,和,的结构图。从图中可以看出,两系统互为对偶意味着输入端与输出端互换;,信号传递方向的相反;,信号引出点和相加点的互换,对应矩阵的转置,以及时间的倒转。,即互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的。,根据状态空间模型的对偶关系可以导出下述结论：,互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的且其特征方程相同,。,现推证如下:,对于系统,其传递函数阵是如下,r,m,矩阵:,类似地，还可以得出如下结论：,互为对偶系统的特征方程和特征值相同。,对于互为对偶系统之间的状态可控性和可观性的关系,有如下定理:,定理：,设线性定常连续系统,(,A,B,C,),和,是互为对偶,则,系统,的状态可控(可观)性等价于系统,的状态可观(可控)性。,的秩为,n,则 为状态完全可观。,由对偶性关系,上式又可记为,证明,对系统,而言,若可观性矩阵,即系统,的状态可观性等价于系统,的状态可控性。,同理可证,系统,的状态可控性等价于系统,的状态可观性。,上面讨论了线性定常连续系统的对偶性关系和对偶性原理,对于线性离散系统,也存在类似的对偶性关系和对偶性原理。,在动态方程建模、系统可