,*,第,5,章 大数定律和中心极限定理,5.1,大数定律,5.2,中心极限定理,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科,.,随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来,.,也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象,.,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究,.,极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种,:,与,大数定律,中心极限定理,5.1,大数定律,一、依概率收敛的概念,二、,切比雪夫不等式,三、切比雪夫大数定律,四、伯努利大数定律,五、辛钦大数定律,定义,一、依概率收敛的概念,依概率收敛不是通常微积分中的收敛,因此,设,随机变量 的期望值 方差,则,对于任意给定的正数,有,二、,切比雪夫不等式,注,:,(1),切比雪夫不等式也可以写成,(2),切,比雪夫,不等式表明：,则,事件,发生的概率越大，,即，,随机变量,集中在期望附近,的可能性越大,.,随机变量,的,方差越小，,(3),在方差已知的情况下，,它的期望的偏差不小于,的,概率的估计式,.,如,取,则有,切比雪夫,不等式给出了,与,故对任给的,分布，,只要期望和方差存在，,则,随机变,量,取值,偏离,超过,3,倍均方差的概率小于,例,1,已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞,数平均是,7300,均方差是,700.,利用切比雪夫不,等式估计每毫升白细胞数在,5200 9400,之间的,概率,.,解,设每毫升白细胞数为,依题意,所求概率为,由切比雪夫不等式,即每毫升白细胞数在,5200 9400,之间的概率不,小于,8/9,.,例,2,在每次试验中,事件,发生的概率为,0.75,利用切比雪夫不等式求,:,独立试验次数,最小取,何值时,事件,出现的频率在,0.74 0.76,之间的,概率至少为,0.90,?,解,设,为,次试验中,事件,出现的次数,则,在切比雪夫不等式中取,则,依题意,取,使,解得,即,取,18750,时,可以使得在,次独立重复试验,中,事件,出现的频率在,之间的概率,至少为,0.90,.,三、切比雪夫大数定律,切比雪夫,切比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当,n,充分大时，,n,个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的,.,这意味着只要,n,充分大，尽管,n,个随机变量可以各有其分布，但其算术平均以后得到的随机变量 将比较密地聚集在它的数学期望 的附近，不再为个别随机变量所左右,.,作为切比雪夫大数定律的特例，我们有下面的推论,.,推论,这一推论使算术平均值的法则有了理论根据,四、伯努利大数定律,切比雪夫大数定律的另一个推论通常称为伯努利大数定律,n,重,伯努利,试验中事件,A,发生,n,次,每次试验,A,发生的概率为,p,，则对任意,0,有,伯努利大数定律,表明事件发生的,频率依概率收敛于事件的概率,。,由,实际推断原理,在实际应用中,当试验次数很大时,可以用事件发生的频率来代替事件的概率。,进一步研究表明，切比雪夫大数定律推论中的方差存在这个条件并不是必要的，下面给出一个独立同分布场合下的,辛钦,大数定律。,作业,P139,练习,5.1,1.2.,5.,2,中心极限定理,一、莱维,中心极限定理,二、棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响,.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响,.,重要的是这些,随机因素的,总影响,.,如瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等,.,研究独立随机变量之和所特有的规律性问题,当,n,无限增大时，这个和的分布是什么,？,本节内容,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大,.,则这种量一般都服从或近似服从正态分布,.,自从,高斯,指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见,.,一、莱维,中心极限定理,一、莱维,中心极限定理,例,1,设有,30,个电子元件,它们的寿命均服从参数为,0.1,的指数分布,(,单位,:,小时,),每个元件工作相互独立,求他们的寿命之和超过,350,小时的概率,.,解,由,莱维中心极限定理,即他们的寿命之和超过,350,小时的概率为,0.1814,标准正态分布表,他们的寿命之和超过,350,小时,例,2,一加法器同时收到,20,个噪声电器,V,k,(,k,=1,2,20),设它们是相互独立的随机变量，且都在区间,(0,10),上,服从均匀分布。记,求,P,V,105,的近似值,解,E,(,V,k,)=5,D,(,V,k,)=100/12 (,k,=1,2,20).,近似服从正态分布,N,(0,1),由,莱维中心极限定理,例,3,对敌人的防御地段进行,100,次炮击,在每次,炮击中,炮弹命中颗数的数学期望为,2,均方差为,1.5,求在,100,次炮击中,有,180,颗到,220,颗炮弹命中目标的,概率,.,解,设,X,k,为第,k,次炮击炮弹命中的颗数,(,k,=1,2,100),在,100,次炮击中炮弹命中的总颗数,X,k,相互独立，且,E,(,X,k,)=2,D,(,X,k,)=1.5,2,(,k,=1,2,100),由,莱维中心极限定理,有,180,颗到,220,颗炮弹命中目标的概率,二、,棣莫佛,拉普拉斯,中心极限定理,证明,由于,根据莱维中心极限定理得,根据莱维中心极限定理得,棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,表明,:,当,n,充分大时,正态分布是二项分布的极限分布,当,n,充分,大时,可以利用下面公式计算二项分布的概率,例,4,某工厂有,200,台同类型的机器,每台机器工作时需,要的电功率为,Q,千瓦,由于工艺等原因,每台机器的实,际工作时间只占全部工作的,75%,各台机器工作是相互,独立的,求,:,(1),任一时刻有,144,至,160,台机器正在工作的概率,.,(2),需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于,0.99.,解,(,1,),设随机变量,X,表示,200,台任一时刻正在工作的机器的台数，,则,X,B(200,0.75),.,由,棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,有,n,=,200,p,=,0.75,q,=,0.25,np,=,150,npq,=,37.5,(1),任一时刻有,144,至,160,台机器正在工作的概率,.,(,2,),设任一时刻正在工作的机器的台数不超过,m,则,由,3,原则知,，,查标准正态函数分布表，得,例,4,某工厂有,200,台同类型的机器,每台机器工作时需,要的电功率为,Q,千瓦,由于工艺等原因,每台机器的实,际工作时间只占全部工作的,75%,各台机器工作是相互,独立的,求,:,(1),任一时刻有,144,至,160,台机器正在工作的概率,.,(2),需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于,0.99.,解,(,1,),设随机变量,X,表示,200,台任一时刻正在工作的机器的台数，,则,X,B(200,0.75),.,由,棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,有,(1),任一时刻有,144,至,160,台机器正在工作的概率,.,查标准正态函数分布表，得,(,2,),设任一时刻正在工作的机器的台数不超过,m,则,思考题,对于一个学生而言，来参加家长会的家长人,数是一个随机变量，设一个学生无家长、,1,名家长、,2,名家长来参加会议的概率分别为,0.05,、,0.8,、,0.15.,若,学校共有,400,名学生,设各学生参加会议的家长数相互,独立,且服从同一分布,.,求参加会议的家长数,X,超过,450,的概率,.,(2),求有,1,名家长来参加会议的学生数不多于,340,的概率,.,解,(1),以,X,k,(,k,=1,2,400),记第,k,个学生来参加会议,的家长数,其分布律为,p,k,0.05,0,1,2,0.8,0.15,X,k,X,k,相互独立地服从同一分布,近似服从标准正态分布,则随机变量,(2),以,Y,表示有一名家长来参加会议的学生,数,则,Y,B(400,0.8),由,棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,有,作业,P145,练习,5.2,1.2.3.4.,P145,习题五,