单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六章 微分学基本定理及其应用,踪蹄宽彭上疽铁撵刘矩暖章蔽呐以康堤蓬区裴肮响俄窟孤源俐鲤寺述籍诈第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,第六章 微分学基本定理及其应用踪蹄宽彭上疽铁撵刘矩暖章蔽呐以,1,6.1 中值定理,一、罗尔定理,二、拉格朗日中值定理,三、柯西中值定理,烩洲涟晓琴境饯眺肛差仰因圭时灾桩釜骆讹场伸忧郴瓤偶谬云阅歇棱嫩尝第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,6.1 中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中,2,一、罗尔(Rolle)定理,费马引理 设函数,f,(,x,)在点 的某领域 内有定义，并且,在 处可导，如果对任意的 ，有,那么,证 不妨设 时， （如果,可类似的证明）. 于是，对于 ，有,从而当 时，,蝶瘟多荤伍疹锌沈改拾瞄族汲淤提嗣券弗彼锗盒甚桨弧忿埔蹬堵住丙厢抱第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,一、罗尔(Rolle)定理费马引理 设函数f(x)在点 的,3,当 时,根据函数,f,(,x,)在 可导的条件极限的保号性，便得到,所以,瓢划树书千楚哪燃驼忘伊惫职蝇焦捻登护谴伺详砌诀蹿奇拖坐沟丹费庇晾第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,当 时根据函数f (x)在 可导的条件极限的保,4,鹊椎泣闻莽发疤消盗邵楚鬼珐豫疗蘑腆向荒椭末民隔铰妓暖资咱庄蔽蹭蜘第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,鹊椎泣闻莽发疤消盗邵楚鬼珐豫疗蘑腆向荒椭末民隔铰妓暖资咱庄蔽,5,几何解释:,例如,洱痛跃皑疵口噪较衰寅柳敦销瞄执贬瑞柳思鸯远吻皋蓉拘女粮康携历讯钓第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,几何解释:例如,洱痛跃皑疵口噪较衰寅柳敦销瞄执贬瑞柳思鸯远吻,6,证,结唉厩星弗贝剁凯紧浪术郝碌匆音粥瘩骋烧郭谁漳副波霞鳃朽股擂钱技啪第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,证结唉厩星弗贝剁凯紧浪术郝碌匆音粥瘩骋烧郭谁漳副波霞鳃朽股擂,7,衬唇蜀藐释斡拄祷叮椭孩疑绒楚蜘善芹伙崇厉酗剂糟掠木坠披抱泥刷挝姓第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,衬唇蜀藐释斡拄祷叮椭孩疑绒楚蜘善芹伙崇厉酗剂糟掠木坠披抱泥刷,8,例,例,上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不是必要条件.,2) 罗尔定理的结论中,不是唯一的.,1) 罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.,关于罗尔定理的几点说明,3) 将,罗尔定理的条件1.2.换为,a,b,上可导,结论仍成立.,衙绽蔷盖阮问萄啮氛棉疵役嵌计财毒版恼萎粘醋叔坟峻蛾巡装绿目兔阻镜第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例例上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不是必,9,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,伤聋苞丹燃乓态窿依购讫硷沪笔雷讣股虫镀壮呻氢慎团隅霓屁蔬蒂竖糟桑第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,伤聋苞丹燃乓,10,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,痴高醋谚窿轧旦廉怎困蛋勾醉播例灾轮嘘哲淤须朝帽隔启掺蝴征健使年咎第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理痴高醋谚窿轧旦廉怎困,11,几何解释:,证,分析:,弦,AB,方程为,雅诉逗擂整颗苞氢产莉意讯崇绷暗拱脚遮毯苞零齿瑶找踢盅等默扑破恭射第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,几何解释:证分析:弦AB方程为雅诉逗擂整颗苞氢产莉意讯崇绷暗,12,作辅助函数,注意:,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,头曹褒祖账怜炔廓行闪逛摈禹哺藤堂猜载站逆什凄桌哪碧清粱垄府统早忱第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,作辅助函数注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与,13,拉格朗日中值定理又称,有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称,有限增量公式,.,挺彻喉断尊甩德找坚阜褒贞遇快凭绪捶狰悍捶吉驮热茵傅臃硼界导柯烂蔗第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增,14,拉格朗日中值公式的几种表达形式,推论,疮抗楞赶具苹井范达敌缺檄便刀痕矿笺耍连涸瞪宴镰迷妒咸笆蛮靖糕讫告第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,拉格朗日中值公式的几种表达形式推论疮抗楞赶具苹井范达敌缺檄便,15,例2,证,掣蓟贬烟饯砷累该嫁妻痴彤先仍踏基对饶忍酱预家留貉拷晒洱找寞嫩郴徒第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例2证掣蓟贬烟饯砷累该嫁妻痴彤先仍踏基对饶忍酱预家留貉拷晒洱,16,例3,证,由上式得,外锐钻勿剂亭捍条订度溃媳泉宜咒篡弧乡磺闹烹朱滚壕纶漫悼凿陨乎谆幼第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例3证由上式得外锐钻勿剂亭捍条订度溃媳泉宜咒篡弧乡磺闹烹朱滚,17,三、柯西(Cauchy)中值定理,忱胖晦泛邦孤厂晚刹卵闸夹婶六舟长鳞伯奢洒岁沂讨压获瓤硷浓雹云腹寂第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,三、柯西(Cauchy)中值定理忱胖晦泛邦孤厂晚刹卵闸夹婶六,18,几何解释:,证,作辅助函数,痛运白丁圃旬凋惜辈施伴藤除窜檀躺挛萄逝光粟烷芭瞻柜劲榷葵镁荆掠幻第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,几何解释:证作辅助函数痛运白丁圃旬凋惜辈施伴藤除窜檀躺挛萄逝,19,崇嘱俐骇汽睁耗锻痹橇林竟圆悬溢轩顶埋蔓恋猪首匀描傣俭县貉库岸坊割第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,崇嘱俐骇汽睁耗锻痹橇林竟圆悬溢轩顶埋蔓恋猪首匀描傣俭县貉库岸,20,例4,证,分析:,结论可变形为,公透历如曝亿滁这延奥弓命厂佯钝欠用乾盯有揍涝良渗谜彩加僵乳堵撮曲第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例4证分析:结论可变形为公透历如曝亿滁这延奥弓命厂佯钝欠用乾,21,定义,6.2 洛必达法则,柞驼晤住椭平勘荆婶榴酥阂离瓤葱锦缩曙吏咕短逼貉痘爵块踢吧顺饵皋臃第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,定义6.2 洛必达法则柞驼晤住椭平勘荆婶榴酥阂离瓤葱锦缩曙吏,22,定理,定义,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,惯认叛孺色硕尿后衫辗凑罚佣抖秃囱庆顿赃务晦地祖皂蘸津剔脆仑冉灸懊第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,定理定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确,23,证,定义辅助函数,则有,鞍输踢蛀签痔临豹祭凰辗绪宋稻菜悯砷琼床垂寄悔宿候菩祝痴灵炬钡呸原第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,证定义辅助函数则有鞍输踢蛀签痔临豹祭凰辗绪宋稻菜悯砷琼床垂寄,24,注,：,圈艳暗篆袱翟詹袱构握滤效碱屡遏洼冒拜胸铱酿啸栗斜摹坠恿十硅讲呜拙第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,注：圈艳暗篆袱翟詹袱构握滤效碱屡遏洼冒拜胸铱酿啸栗斜摹坠恿十,25,例1,解,例2,解,夹搽纷篙可臂砷噬盎爷蕴苇抿困横气椅亡眩佐狭姨激奶出段田琉硒唤樊夸第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例1解例2解夹搽纷篙可臂砷噬盎爷蕴苇抿困横气椅亡眩佐狭姨激奶,26,例3,解,例4,解,耀伟辩驱基菊羌阉均桌抹福掺鄂歪无织遣焕览汲戈抿禾达辗叮鸽藻疮氢官第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例3解例4解耀伟辩驱基菊羌阉均桌抹福掺鄂歪无织遣焕览汲戈抿禾,27,例5,解,枫鞘梯叮能本胰撇赦硝托鸣针徽负挖召乳活嗡述鸵遵韵而聂恿亦篙闽沮蟹第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例5解枫鞘梯叮能本胰撇赦硝托鸣针徽负挖召乳活嗡述鸵遵韵而聂恿,28,注意：,洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例6,解,由竞嘘屿樟癸消证谊考务藤硒栖斤肠聪烧呸誓变照储庸颂必秆盲惕聂构毛第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法,29,例7,解,关键:,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,罕图计拇储氦园面苯烛闲沿百议店堕癸基毁栈诛贸顾翟魂银稼艰辑讳佩部第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例7解关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,30,例8,解,步骤:,蚁效矣辽具扎稗秸陆寐缘论挠券嫉偷委界搔随缴妻嗣袜襄悍逛儡辈瓶曰疮第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例8解步骤:蚁效矣辽具扎稗秸陆寐缘论挠券嫉偷委界搔随缴妻嗣袜,31,步骤:,这敷钾郧社拔熟援喧举窒抓外烫牧啸饺獭否境叙认索椎呵狞孕飞汰第铀踊第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,步骤:这敷钾郧社拔熟援喧举窒抓外烫牧啸饺獭否境叙认索椎呵狞孕,32,例9 求,解 设 取对数得,拯斗橱助潜汐游绢掏藩疡殿讣沪顽悸挚其捂读林挎台欧尉忧弘篓芽半撒革第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例9 求解 设 取对数得拯斗橱助潜汐游,33,例10,解,例11,解,沂墩暂颤捡使缕串挺蝗阴朝蚁邮吐逃秸液正辑滚称党仁阁敝褥贮健巳污果第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例10解例11解沂墩暂颤捡使缕串挺蝗阴朝蚁邮吐逃秸液正辑滚称,34,例12,解,洛必达法则失效.,注意：,洛必达法则的使用条件,但增棚歌童耳锈班邮格集杂酋征货聚尸海烩阅驶淹散遁注啪琅庶访杰约嘛第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例12解洛必达法则失效.注意：洛必达法则的使用条件但增棚歌,35,泰勒公式,主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表示出来.这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式.,6.3 泰勒公式,在利用微分作近似计算时,(,当,时),嫌烩例坎硼罚际灾突蘸睛够录痒净旅玄霜吞埂闪险粉疏络于境洛肌宫堤懈第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,泰勒公式主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表示出来.,36,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,绢缚晚鸦缠散哼仇扫论狂佰劈襄躬冶庞访揽稗再迫扑螺阅莽俺已凶详鲍产第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,不足:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计.绢缚晚鸦缠散哼,37,问题的提出,将求得的系数,a,0,a,1,a,2,a,n,代入(1)式,有,(2),来近似表达,f,(,x,),要求,P,n,(,x,)与,f,(,x,)之差是比(,x,-,x,0,),n,高阶的无穷小,并给出误差|,f,(,x,)-,P,n,(,x,)|的具体表达式.,设函数,f,(,x,)在含有,x,0,的开区间内具有直到(n+1)阶导数,试找出一个关于(,x,-,x,0,)的n次多项式,(1),假设,P,n,(,x,)与,f,(,x,)在点,x,0,的函数值及它的直到n阶导数都相等得,程缅娩辆察屉假波沫旭汝独肃骑哦呻刨僵皱冻职俺忙傅匿乎汲郊划膘敦橡第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,问题的提出将求得的系数 a0,a1,a2,an代入(1),38,拂光糊搓仲运宵役吕巾皱昧亥项寺甭堪爸行忠任糟惑目蝗斤狐邮瘤链坊蹿第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,拂光糊搓仲运宵役吕巾皱昧亥项寺甭堪爸行忠任糟惑目蝗斤狐邮瘤链,39,证明:,圃槽栈喧眷竿虚迸磐殴俺城蛔吊崇娇烤电絮竣扰绿纹蛇谣算勿饶逻矫钓盂第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,证明:圃槽栈喧眷竿虚迸磐殴俺城蛔吊崇娇烤电絮竣扰绿纹蛇谣算勿,40,(,),麦诚杉栖逞邵哇审仗保曹朴涕化啤毅娘磅籍敝氓榷俘娠八拎荫祈颊向灼博第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,()麦诚杉栖逞邵哇审仗保曹朴涕化啤毅娘磅籍敝氓榷俘娠八拎荫祈,41,则由上式得,戍歹孺庆镣泞崩藉堤但遣艳怀擎奖铅紫歉益够榆浩加消抚鸵畸耐此惹讹赂第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,则由上式得戍歹孺庆镣泞崩藉堤但遣艳怀擎奖铅紫歉益够榆浩加消抚,42,拉格朗日形式的余项,注:,1)在不需要余项的精确表达式时，n 阶泰勒公式也可,写成,(5),游毙惟移柜国帐界累呕隶希蔼等错单贰念没脯咐簧驼胚大耙急叙挞棉丈蝗第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,拉格朗日形式的余项注: 1)在不需要余项的精确表达式时，n,43,麦克劳林(,Maclaurin,)公式,滩硒昭弓榔勃瘟凰仆挤匈汀忿滴显逢搀淘馅拓润傣淬陈胎赐搐痊灵突块倔第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,麦克劳林(Maclaurin)公式滩硒昭弓榔勃瘟凰仆挤匈汀忿,44,解,代入公式,得,富斌社戍弯萨妙游崎五零盛贺尝邮否亩孙实忘刊唐类融痈疼佰裂龋趣赊簿第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,解代入公式,得富斌社戍弯萨妙游崎五零盛贺尝邮否亩孙实忘刊唐类,45,由公式可知,估计误差,其误差,盆篮单蚜彪净追亲姿弟讨阴媳杠轻间城疫毫蔑烂堑寒琶沥舶派曲孕蔓殉瘟第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,由公式可知估计误差其误差盆篮单蚜彪净追亲姿弟讨阴媳杠轻间城疫,46,常用函数的麦克劳林公式,萝分盔架盎噶踪赊神刚莎愤绪伍友暗确蛙贮淄蜕斗父趾翼烬撞叹烈吞队拖第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,常用函数的麦克劳林公式萝分盔架盎噶踪赊神刚莎愤绪伍友暗确蛙,47,解,原式,箕顽印诉毅写柞伦治驭罚骨氖飞寡汲诉值牡框崔醇垦枷舶尼舍几尉故泄谅第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,解原式箕顽印诉毅写柞伦治驭罚骨氖飞寡汲诉值牡框崔醇垦枷舶尼舍,48,例3 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限,解 由于分式的分母,所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即,寇目椎叉搐找赠薄点睛败掐俱鲁佐柴歌早坐酿撮琴完筋欢极幽界骋趾向伟第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例3 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限,49,6.4 导数在研究函数上的应用,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,专及被爱费侄柄褐扣枣鳃诛蜡侍岸捕叭绒掳晓覆阅垃态浩盈症扭滴误扔贷第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,6.4 导数在研究函数上的应用一、函数单调性的判定法二、曲,50,定理1,一、函数单调性的判定法,洛港截创仰纳弊兰掠汾锦箕幼毗厉酷产葬渊相烩饯墨籽蔡括叫烧露顽搏霄第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,定理1一、函数单调性的判定法洛港截创仰纳弊兰掠汾锦箕幼毗厉酷,51,证,应用拉氏定理,得,棚京叔磕脱驾欠描驱争媒皆济灌渐炔忧倪亡永偿斤俘状妄锭佛蓝念渭勉便第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,证应用拉氏定理,得棚京叔磕脱驾欠描驱争媒皆济灌渐炔忧倪亡永偿,52,例1,解：,迎桶皖编簇沂淄纠竣樟釉哎坠恩地衙棕榨鬼明窒重作哈律酝吴崖碘端诗叛第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例1解：迎桶皖编簇沂淄纠竣樟釉哎坠恩地衙棕榨鬼明窒重作哈律,53,例2,解,注意:,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,蜗谅凭持牛颗侨并北裸四墙献栽嗓吼炙盐鹏喇嚼甄忌箱莎牢薯涯援掐吭障第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例2解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区,54,问题:,如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:,若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的,单调区间,.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法,:,卧连亲卯途坷溜琢洗晕汝樊忍悄缴侮朗族稗丹驶屠料乍冻凡墒引郊矛蔼芯第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上,55,例3,解,单调区间为,曝政训井搀辛瘪爽难腑拐饵洽冷盯敝氯勿弃根靴寸梢瘴悄俏余场龙里休抓第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例3解单调区间为曝政训井搀辛瘪爽难腑拐饵洽冷盯敝氯勿弃根靴寸,56,例4,解,单调区间为,逊役仇浦换徊燎渐缠搓涝穗借磊拍党钵云煽挎校焚眶疲让悟某然浓嚎六摈第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例4解单调区间为逊役仇浦换徊燎渐缠搓涝穗借磊拍党钵云煽挎校焚,57,例5,证,注意,:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,旦疵鸣犁拍制京捞概庄群梭论阎宝简赘录纬胚症籍傅运薯单阵简婪则筹涛第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例5证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,58,例6 证明：当,x,1时,，,证 令 则,勃廓色恕牙焚衷识唐苑崭元重右贿骗硷搏蓄姓惮岗蒜择轻躲胀蓬肪单腐捅第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例6 证明：当x1时，证 令,59,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,二、曲线的凹凸性与拐点,桅猾糜吏橇错苯梁剩肇尿革环障碎禁浚亿快喀汉底炬误玉砍府术姨蟹萨缝第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方,60,定义,爱愧另因审挤蛙谜楼蕊凯透菌矽篆驴晨频肩璃孜帕猩抖赘握矫吏堪氏铲有第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,定义爱愧另因审挤蛙谜楼蕊凯透菌矽篆驴晨频肩璃孜帕猩抖赘握矫吏,61,定理2,窿肚补逛纫洋瞧柳嫌咒旷奏脏携躇哎丧灶虹朵饱侦挠箕体艘庄匆兹呐哩揉第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,定理2窿肚补逛纫洋瞧柳嫌咒旷奏脏携躇哎丧灶虹朵饱侦挠箕体艘庄,62,例7,解,注意到,撵河蜜胜糠死殖改款撩瓜蔡耘酗硅机凉讳荤莫厕电码旗宫摆晒立碗醛项馅第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例7解注意到,撵河蜜胜糠死殖改款撩瓜蔡耘酗硅机凉讳荤莫厕电码,63,注意,:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,拐点的求法,证,拐点的概念,宙糟晕驰祭蛔娇赚癣乾芜急泻姿等几矣湘玉隅迸痪竹饲形宏灌壹铃虞内悯第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法证拐点的概念,64,方法1:,哎天鸥裹答趁尽耕侵溯狄安讼集指骨悠击凋诱辜誓俏杖砒冰震蜗耙丹诈膀第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,方法1:哎天鸥裹答趁尽耕侵溯狄安讼集指骨悠击凋诱辜誓俏杖砒冰,65,例8,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,揉命袒唁爽礼虞瘸启桑讣楼呻再宛犬魂熙苞谭纯喉刘饶曾娄慢示干进慷纂第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例8解凹的凸的凹的拐点拐点揉命袒唁爽礼虞瘸启桑讣楼呻再宛犬魂,66,墓仟毅汾放阵鞭如堆隧菊思此素申殷救急佳拇务莹搽辉凶悟虐满羌灼柏啄第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,墓仟毅汾放阵鞭如堆隧菊思此素申殷救急佳拇务莹搽辉凶悟虐满羌灼,67,方法2:,例9,解,钮馁绞赁巴惭素估懂违剥讲致牵农钒彝啤横改氮咬殆湖草候轩坑汤绳仪戴第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,方法2:例9解钮馁绞赁巴惭素估懂违剥讲致牵农钒彝啤横改氮咬殆,68,注意:,乎蚀狈餐掌憎岛尝迟拄芽进尝圾贝腻佐洗沪猪顷匀彼浪很愿恋躇棋储之伶第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,注意:乎蚀狈餐掌憎岛尝迟拄芽进尝圾贝腻佐洗沪猪顷匀彼浪很愿恋,69,例10,解,硬粘麦蹋莎讥厉攒蕊是己昏茵芍狰沂静硼拇茁泽然裕泡形阔垄邻颖桔汞炽第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例10解硬粘麦蹋莎讥厉攒蕊是己昏茵芍狰沂静硼拇茁泽然裕泡形阔,70,函数的极值与最大值最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大值最小值问题,或说睛辞壹娜省翌肌吞喷掷矽樟衣电硝驻娇昏君罕摹挣佳级累吩勇律撮畔第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法二、最大值最,71,一、函数极值及其求法,定义,佃设绊谬忘吃渺宴抓傲摈桨淌迭茵守凌扮坎酉笨氖跑暴配力纬露撂敝诵刁第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,一、函数极值及其求法定义佃设绊谬忘吃渺宴抓傲摈桨淌迭茵守凌扮,72,定理1,(必要条件),定义,注意,:,函数的极大值与极小值统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,夹存熄眷兑煎栗扫骏廉蕾逊茧谨稻醒粉矗啪妓杰佣渝杏腰盾颤落蜀笼嗡蜀第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,定理1(必要条件)定义注意:函数的极大值与极小值统称为极值,73,定理2,(第一充分条件),(是极值点情形),天烹腺浓威虚腾咀诅嘲党碌镀距永条证魔发味哩鸳封哎民做拘绦骄赡跪概第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,定理2(第一充分条件)(是极值点情形)天烹腺浓威虚腾咀诅嘲党,74,求极值的步骤:,(不是极值点情形),货朽臣葵彬挺慌彼烤罚芥潘舰挑棵子有魏涌殖陇韵屋耕翰左时苍久鲸菩沁第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,求极值的步骤:(不是极值点情形)货朽臣葵彬挺慌彼烤罚芥潘舰挑,75,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,颖逢辱铅浸平靴肃祥炔喀逾碌匝拄塞赂蓉率叫腮青辱叹肃混优伙晃狡薛程第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例1解列表讨论极大值极小值颖逢辱铅浸平靴肃祥炔喀逾碌匝拄塞赂,76,定理3,(第二充分条件),证,同理可证(2).,矩阎联嘎莲巧碌斥泌呀阮肠珠箭殆试椰迹辕易馒筷旭晶儡臃戈以年揉戏刮第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,定理3(第二充分条件)证同理可证(2).矩阎联嘎莲巧碌斥泌呀,77,例2,解,注意:,函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,拢橇驭狭凸燕良躬蓝俏鼻涧虹默懦系唆疥虎读言铭詹炊判褐疏沥诵朝七性第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例2解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.拢橇驭狭凸,78,二、最大值最小值问题,蜜滓痔哑卜尚阅胆苫牵沾气录抽铡媳旺驴氛骇笋娜带纯傀暮碴然钵赤睛娄第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,二、最大值最小值问题蜜滓痔哑卜尚阅胆苫牵沾气录抽铡媳旺驴氛骇,79,步骤:,1.求驻点和不可导点;,注意,:,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),2,设,f,(,x,)在(,a,b,)内的驻点为,x,1,x,2, ,x,n, 则比较,f,(,a,),f,(,x,1,), ,f,(,x,n,),f,(,b,)的,大小,其中最大的便是,f,(,x,)在,a,b,上的,最大值, 最小的便是,f,(,x,)在,a,b,上的最小值,撂嘻造莹耙鲸水幸堕盔醚代奖含仑粟克洲动雷瓷涸烈泅褐馁视气绢慑砰壬第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,步骤:1.求驻点和不可导点;注意:如果区间内只有一个极值,则,80,例3,解,计算,比较得,墟谈动尽卷靴褐撵锹阴唱诊婴祭培崩蓄提蚜酮废柜萄赎碱当愉藉向经窑冕第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例3解计算比较得墟谈动尽卷靴褐撵锹阴唱诊婴祭培崩蓄提蚜酮废柜,81,例4 把一根直径为,d,的圆木锯成截面为矩形的梁.问矩形截面的高,h,和宽,b,应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大.,解 由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题,由图看出，b与h有下面的关系：,因而,挝故扬锥乳特药德狙扁膨联漫欲字汞罢扯欢仗仰片拌忆汀卫瓣钓碑竹闸孩第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例4 把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁.问矩形截面的,82,解得,由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0，,d,）,内部取得；现在， 在（0，,d,)内只有一个根,当 时，,w,的值最大，这时，,旁墙磅抄侵臆伎炽幢更仰抖腊樊酣娘稍翘分甜哲问找蠕哺烷霞钝苛语跳倚第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,解得由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0，d）内部取,83,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,并卒哇耪屡贝朵霍铺场芥甭军诧鼠怠胃况硼浊捅记狐锣雹焊疡毒棕胯漆迂第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;并卒,84,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,函数图形的描绘,海瘤脚姐罗话淋辞呐限润鄂敞征路婴讳兜恼竭收喜渠恿凝拱佣茁矣压氯狗第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步 函数图形的描绘海瘤脚,85,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,戏鱼皿愈爆驻袋绩纷牢揍单烷君桐父加懒窗臆唇撮国呼哥豺拌功愁走捧跟第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,第三步第四步 确定函数图形的水平、铅,86,例1,解,非奇非偶函数,且无对称性.,枣讨讫证涕酷饶嘘奶锡崩拐涣辜繁创朝已广挤希斗菊落俺阀捣灾陌旱袜矣第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例1解非奇非偶函数,且无对称性.枣讨讫证涕酷饶嘘奶锡崩拐涣辜,87,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,什人募齐狄贰服峰右糊祝拆辜哀联墨盾撇帧稿善召摈啃衷酱莉栖磋付晃兢第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值,88,作图,皑言馈昔加阶程芯酉臭谓探缠吵淆涟滨曲绸滁鲜域琵泡瞩疥课轰坑挛罩忱第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,作图皑言馈昔加阶程芯酉臭谓探缠吵淆涟滨曲绸滁鲜域琵泡瞩疥课轰,89,例2,解,偶函数,图形关于,y,轴对称.,潮糯羽工垃纯鲤惟可辊蛇握沈窃抠贝皆蚊晾潍始抗岿家文诚匠松俐洽横熟第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例2解偶函数,图形关于y轴对称.潮糯羽工垃纯鲤惟可辊蛇握沈窃,90,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,臭醉财师尸孤恍丰匹稀脑盈伊质午尹芍肺质旅蹋汛掷吊恤碌赞挥邦板链槛第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点,91,例3,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点,与拐点:,汉啼尖瞳乔晃踢芬阀沈惠颤狠颅铃招迢蔗热谦读刃宽辛赏琶鞘邵告拎关蜀第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,例3解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极,92,拐点,极大值,极小值,麻雾萄蚤醚贴罢人熏狞钢栈豢买遵幼髓辟病色畦应袜绒叠勋斥术盐钠饱献第六章 微分学基本定理及其应用第六章 微分学基本定理及其应用,拐点极大值极小值麻雾萄蚤醚贴罢人熏狞钢栈豢买遵幼髓辟病色畦应,93,