,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,18.1.1,平行四边形的性质,第十八章 平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,2,课时 平行四边形的对角线的特征,18.1.1 平行四边形的性质第十八章 平行四边形导入,学习目标,1.,掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点）,2.,经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透,转化思想，体会图形性质探究的一般思路,.,（难点）,学习目标1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点）,导入新课,一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：,当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗,?,为什么,?,情景引入,导入新课 一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到,讲授新课,平行四边形的对角线的性质,一,我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢,?,A,B,C,D,O,如图，,在,ABCD,中，连接,AC,BD,并设它们相交于点,O.,OA,与,OC,OB,与,OD,有什么关系,?,猜一猜,OA=OC,OB=OD,怎样证明这个猜想呢？,讲授新课平行四边形的对角线的性质一 我们知道平行四边形,已知：如图,ABCD,的对角线,AC,、,BD,相交于点,O,.,求证：,OA,=,OC,，,OB,=,OD,.,证明：,四边形,ABCD,是平行四边形，,AD=BC,，,ADBC,1=2,，,3=4,AOD,COB,（,ASA,）,OA=OC,，,OB=OD.,A,C,D,B,O,3,2,4,1,证一证,已知：如图,ABCD的对角线AC、BD相交于点O.证明：,A,C,D,B,O,平行四边形的,对角线互相平分,.,平行四边形的性质,应用格式：,四边形,ABCD,是平行四边形，,OA=OC,，,OB=OD.,归纳总结,ACDBO平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质应用格,例,1,已知,ABCD,的周长为,60cm,，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,AOB,的周长比,DOA,的周长长,5cm,，求这个平行四边形各边的长,解：,四边形,ABCD,是平行四边形，,OB,OD,，,AB,CD,，,AD,BC,.,AOB,的周长比,DOA,的周长长,5cm,，,AB,AD,5cm.,又,ABCD,的周长为,60cm,，,AB,AD,30cm，,则,AB,CD,17.5cm,AD,BC,12.5cm.,平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差,归纳,例1 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相,【变式题】,如图，在平行四边形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，平行四边形,ABCD,的周长是100cm，,AOB,与,BOC,的周长的和是122cm，且,AC,:,DB,=2,:,1，求,AC,和,BD,的长,解：四边形,ABCD,是平行四边形，,AD,=,BC,，,AB,=,CD,，,OB,=,OD,，,AB,+,BC,=50,.,AOB,与,BOC,的周长的和是122cm，,OA,+,OB,+,AB,+,OB,+,OC,+,BC,=122，,即,AC,+,BD,=122-50=72,.,又,AC,:,DB,=2,:,1，,AC,=48cm，,BD,=24cm,【变式题】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交,例,2,如图,平行四边形,ABCD,中，,AC,、,BD,交于,O,点，点,E,、,F,分别是,AO,、,CO,的中点，试判断线段,BE,、,DF,的关系并证明你的结论,解：,BE,DF,，,BE,DF,.,理由如下：,四边形,ABCD,是平行四边形，,OA,OC,，,OB,OD,OE,OF,.,在,OFD,和,OEB,中，,OE,OF,，,DOF,BOE,，,OD,OB,，,OFD,OEB,，,OEB,OFD,，,BE,DF,，,BE,DF,.,例2 如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E,例,3,如图，,ABCD,的对角线,AC,BD,交于点,O,.,点,O,作直线,EF,分别交,AB,CD,于点,E,，,F,.,求证：,OE,=,OF,.,A,B,C,D,F,E,O,证明,:,四边形,ABCD,是平行四边形,ODF,=,OBE,DFO,=,BEO,DOF,BOE,（,AAS,）,AB,CD,OD,=,OB,OE,=,OF,.,思考,改变直线,EF,的位置，,OE,=,OF,还成立吗,?,例3 如图，ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作,A,B,C,D,O,E,F,A,B,C,D,O,E,F,A,B,C,D,O,E,F,请判断下列图中，,OE,=,OF,还成立么？,议一议,同例,3,易证明,OE,=,OF,还成立,.,过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等,.,归纳,ABCDOEFABCDOEFABCDOEF请判断下列图中，O,1.,如图，平行四边形,ABCD,的对角线,AC,，,BD,交于点,O,，若,AD,=16，,AC,=24，,BD,=12，则,OBC,的周长为 （）,A,.,26 B,.,34 C,.,40 D,.,52,练一练,B,1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若A,2.,如图，在,ABCD,中，对角线,AC,和,BD,相交于点,O,，,AOB,的周长为15，,AB,=6，则对角线,AC,、,BD,的长度的和是 （）,A,.,9 B,.,18 C,.,27 D,.,36,B,2.如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AO,A,B,C,D,O,解：四边形,ABCD,是平行四边形，,根据勾股定理得,BC,=,AD,=8,CD,=,AB,=10.,是直角三角形,.,又,OA,=,OC,例,4,如图，在,ABCD,中，,AB,=10,，,AD,=8,，,AC,BC,.,求,BC,，,CD,，,AC,，,OA,的长，以及,ABCD,的面积,平行四边形的面积,二,ABCDO解：四边形ABCD是平行四边形，根据勾股定理得,例,5,如图，平行四边形,ABCD,中，,DE,AB,于,E,，,DF,BC,于,F,，若平行四边形,ABCD,的周长为48，,DE,=5，,DF,=10，求平行四边形,ABCD,的面积,.,解：设,AB,=,x,，则,BC,=24-,x,.,根据平行四边形的面积公式可得5,x,=10,(,24-,x,),，,解得,x,=16,则平行四边形,ABCD,的面积为516=80,已知平行四边形的高,DE,，,DF,，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解,.,归纳,例5 如图，平行四边形ABCD中，DEAB于E，DF,问题,平行四边形的对角线分平行四边形,ABCD,为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？,解：相等,.,理由如下：,四边形,ABCD,是平行四边形，,OA,OC,，,OB,OD,.,ADO,与,ODC,等底同高，,S,ADO,=,S,ODC,.,同理可得,S,ADO,=,S,ODC,=,S,BCO,=,S,AOB,.,还可结合全等来证哟,.,平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等,.,归纳,问题 平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，,A,B,C,D,O,F,E,例,6,如图，,AC,BD,交于点,O,，,EF,过点,O,平行四边形,ABCD,被,EF,所分的两个四边形面积相等吗？,M,N,解：设直线,EF,交,AD,BC,于点,N,M,.,AD,BC,NAO,=,MCO,ANO,=,CMO,.,又,AO,=,CO,NAO,MCO,，,S,四边形,ANMB,=,S,NAO,+,S,AOB,+,S,MOB,=,S,MCO,+,S,AOB,+,S,MOB,=,S,AOB,+,S,COB,=.,S,四边形,ANMB,=,S,四边形,CMND,即平行四边形,ABCD,被,EF,所分的两个四边形面积相等,.,典例精析,ABCDOFE例6 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,A,B,D,O,E,F,A,B,C,D,O,E,F,C,A,B,C,D,O,E,F,思考,如图，,AC,BD,交于点,O,，,EF,过点,O,平行四边形,ABCD,被,EF,所分的两个四边形面积相等吗？,过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分,.,归纳,同例,5,易求得,平行四边形,ABCD,被,EF,所分的两个四边形面积相等,.,ABDOEFABCDOEFCABCDOEF思考 如图，AC,1.,把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm,2,和12cm,2,，求平行四边形的面积,解：（9+12）2,=212,=42（,cm,2,）,答：平行四边形的面积是42,cm,2,练一练,1.把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积,2.,如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？,B,M,C,D,A,O,解：如图所示,2.如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方,当堂练习,1.,如图，,ABCD,的对角线,AC,、,BD,相交于点,O,且,AC+BD,=16,CD,=6,则,ABO,的周长是（）,A.10 B.14 C.20 D.,22,B,B,C,D,A,O,当堂练习1.如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且,2.,如图，在平行四边形,ABCD,中，下列结论中错误的是（）,A,ABO,=,CDO,B,BAD,=,BCD,C,AO,=,CO,D,AC,BD,B,C,D,A,O,D,2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）,3.,在,ABCD,中，,AC,=24,BD,=38,AB,=,m,则,m,的取值范围是,(),A.24,m,39 B.14,m,62,C.7,m,31 D.7,m,12,B,C,D,A,O,C,3.在ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m,则m,4.,如图，,ABCD,的对角线,AC,，,BD,相交于,O,，,EF,过点,O,与,AD,，,BC,分别相交于,E,，,F,，若,AB,=4，,BC,=5，,OE,=1.5，那么四边形,EFCD,的周长为（）,A,.,16 B,.,14 C,.,12 D,.,10,A,D,C,B,F,E,O,C,4.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与,5.,如图，平行四边形,ABCD,的面积为20，对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，点,E,，,F,分别是,AB,，,CD,上的点，且,AE,=,DF,，则图中阴影部分的面积为,_,5,5.如图，平行四边形ABCD的面积为20，对角线AC，BD相,6.,如图，平行四边形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,AB,AC,，,AB,=3,，,AD,=5,，则,BD,的长是,.,6.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，,7.,如图，平行四边形,ABCD,的对角线相交于点,O,，且,AB,AD,，过,O,作,OE,BD,，交,BC,于点,E,.,若,CDE,的周长为10，则平行四边形,ABCD,的周长是多少？,解：四边形,ABCD,是平行四边形，,AB,=,CD,，,BC,=,AD,，,OB,=,OD,.,OE,BD,，,BE,=,DE,.,CDE,的周长为10，,DE,+,CE,+,CD,=,BE,+,CE