单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,微分方程,#,例如,线性无关,线性相关,1).,函数的线性相关性,例如,2),二阶齐次线性方程的通解,2.,二阶非齐次线性方程的解的结构,1),通解的构成,2),特解的叠加原理,(,二,),降阶法与常数变易法,1.,齐次线性方程求线性无关特解,-,降阶法,代入,(1),式,得,则有,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),2.,非齐次线性方程通解求法,-,常数变易法,(5),(4),(5),联立方程组,积分可得,非齐次方程通解为,解,对应齐方一特解为,由刘维尔公式,对应齐方通解为,例,设原方程的通解为,解得,原方程的通解为,小结,主要内容,线性方程解的结构；,线性相关与线性无关；,降阶法与常数变易法；,补充内容,可观察出一个特解,(,三）齐次线性方程,1.,定义,2.,解法,1,、由对结果的猜想得：,2,、对判别式的讨论,齐次线性方程,有两个不相等的实根,由定理,2,得通解：,特征根为,有两个相等的实根,特征根为,问：如何求通解？,通解显然不是,于是须寻找新函数,由此得通解：,注,:,也可由降阶法,(,刘维尔公式,),得,y,3,有一对共轭复根,特征根为,如何得实数解？,由欧拉公式,y,1,y,2,是齐次线性方程的解，则,:,由此得,:,也是原方程的解,.,由定理,1:,也是原方程的解,.,综上得特征方程法：,二阶常系数齐次线性方程解法小结,例,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例,1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例,2,练 习 题,练习题答案,（四）非齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,难点,：,如何求特解？,方法,：,待定系数法（,同型化！,）,.,猜测：,代入原方程,1,、,指数式乘多项式型,:,综上讨论知可设特解：,注意,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐次线性微分方程,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,例,1,2,、指数式乘三角式型：,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐次线性微分方程,.,注,:,实际计算中,常有,:,或,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例,2,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例,3,所求非齐方程特解为,原方程通解为,注意,解,对应齐方通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例,4,三、小结,(,待定系数法,),只含上式一项解法,：,作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解,.,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式,.,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,练 习 题,练习题答案,