单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 可用变量代换法求解的一阶微分方程,一、齐次方程,二、可化为齐次型的方程,三、,利用变量代换求微分方程的解,四、伯努利方程,一、齐次方程,的微分方程称为,齐次方程,.,2.,解法,令,代入原方程,得,可分离变量的方程,1.,定义,两边积分,得,积分后再用,代替,u,便得原方程的通解,.,分离变量，,例,1,求解微分方程,解,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,即,故原方程的通解为,(,当,C,=0,时,y,=0,也是方程的解,),例,2,求解微分方程,解,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,说明,:,显然,x,=0,y,=0,y=x,也是原方程的解,但在,求解过程中丢失了,.,例,3,求解微分方程,解,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,可得 ,OMA,=,OAM,=,解,:,设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕,x,轴旋转而成,.,过曲线上任意点,M,(,x,y,),作切线,M T,由光的反射定律,:,入射角,=,反射角,取,x,轴平行于光线反射方向,从而,AO,=,OM,而,AO,于是得微分方程,:,例,4,在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反射出去有良好的方向,性,试,求反射镜面的形状,.,利用曲线的对称,性,不妨设,y,0,积分得,故有,得,(,抛物线,),故反射镜面为旋转抛物面,.,于是方程化为,(,齐次方程,),二、可化为齐次型的方程,为齐次方程,.,(,h,和,k,是待定的常数,),否则为非齐次方程,.,2.,解法,1.,定义,原方程化为,令,解出,h,k,(,齐次方程,),求,出其通解后,即得,原方程的解,.,解,代入原方程得,分离变量,方程变为,得原方程的通解,令 则,两边积分即可得通解。,三、利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,有时可通过适当的变量代换把一个方程化为可分离变量的方程：,解,令,则,故有,即,解得,所求通解,:,解,解,代入原式,分离变量法解得,所求通解为,另解,伯努利,(Bernoulli),方程的标准形式,方程为,线性微分方程,.,方程为,非线性微分方程,.,四、伯努利方程,解法,:,需经过变量代换化为线性微分方程,.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,解,例,1,解,例,2,所求通解为,解,例,3,令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解,:,五、小结,1,、齐次方程,齐次方程的解法,2,、可化为齐次方程的方程,3,、伯努利方程,伯努利方程的解法,六、几点说明,:,1,、一阶微分方程的类型较多,不同类型有不同的解法,因此首先要识别方程的类型,然后应用相应的解法,.,2,、有时所给的方程并非标准型,应把方程转化为标准形式再求解,.,思考题,方程,是否为齐次方程,?,解,方程两边同时对,x,求导,:,原方程,是,齐次方程,.,练 习 题,练习题答案,思考：,例,求解微分方程,提示,:,上述方法不能用,.,可分离变量的微分方程,.,可分离变量的微分方程,.,可分离变量的微分方程,.,例,用适当的变量代换解下列微分方程,:,解,分离变量法解得,所求通解为,通解为,解,