单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,全概率公式和贝叶斯公式,定义,:,设,S,为试验,E,的样本空间，为一组事件，若满足,则称,为样本空间,S,的一个划分。,定理：,设,S,为试验,E,的样本空间，为,S,的一个划分，且 则对任意事件,A,有,称为全概率公式,(1),称为贝叶斯公式,(2),2024/11/18,1,三种常见离散型随机变量的分布律,1,、,(0-1),分布,若随机变量,X,的分布律为：,称,X,服从,(0-1),分布,即,X,P,0,1,1-,p,p,2,、二项分布,在,n,重伯努利试验中，以,X,表示事件,A,出现的次数，则,X,是一个随机变量，且,X,取值为,0,1,2,n,称,X,服从二项分布，记为,2024/11/18,2,3,、泊松分布,如果,X,的分布律为：,记为,其中,是常数，则称,X,服从参数为,的泊松分布。,2024/11/18,3,分布函数与密度函数,定义：设,X,是一个随机变量，,x,是任意实数，称函数,F,(,x,)=,P,X,x,-,x,+,为随机变量,X,的,分布函数,。,2024/11/18,4,三个重要的连续型随机变量的分布,定义：,若随机变量,X,的概率密度为,则称,X,在 上服从均匀分布，记为,1.,均匀分布,2024/11/18,5,2.,指数分布,定义：,若随机变量,X,的概率密度为,则称,X,服从参数为 的指数分布。,其分布函数为,2024/11/18,6,3.,正态分布,定义：,若随机变量,X,的概率密度为,则称,X,服从参数为 的正态分布。记为,其中 为常数,2024/11/18,7,定理：,若 则有,。,即，若 则有,对于任意区间,(,x,1,x,2,2024/11/18,8,连续型 的边缘概率密度 及相互独立的随机变量的判断,设 的概率密度为,的概率密度为,类似，的概率密度为,分别称 和 为 关于 的边缘概率密度。,2024/11/18,9,定义,：设,和,分别是,的分布函数及边缘函数，若对任意,x,y,有,则称,X,和,Y,是相互独立的。,当 是离散型随机变量时，和 独立的条件,当 是连续型随机变量时，和 独立的条件,2024/11/18,10,三个重要积分,2024/11/18,11,常见分布的期望和方差,分布,指数分布,2024/11/18,12,协方差常用计算公式,方差常用计算公式：,相关系数,若,X,与,Y,的相关系数,，,则称,X,与,Y,不相关,.,注,：,X,与,Y,不相关,X,与,Y,独立,2024/11/18,13,切比雪夫不等式,或,设随机变量,X,的期望为,E,(,X,),，,方差为,D,(,X,),则,下列不等式成立：,随机变量序列的依概率收敛的定义,记为,成立，则称序列,X,n,依概率收敛于,a,设,X,1,X,2,X,n,是一个随机变量序列，如果存在常数,a,，,使得,，,总有,2024/11/18,14,则,独立同分布的中心极限定理,或,设,X,1,X,2,X,n,是一个独立同分布的随机变量序列，且,2024/11/18,15,1.,定义,：设,X,1,X,2,X,n,是来自总体,N,(0,1),的样本，则称,服从自由度为,n,的 分布,记为,(,一,),分布,（二）,t,分布,1.,t,分布的定义,定义：设,且,X,Y,独立，则称,服从自由度为,n,的,t,分布,(,学生分布,),。记为,2024/11/18,16,（三）,F,分布,定义：设 且,X,Y,独立，则称,1.,F,分布的定义,服从自由度为,的,F,分布。记为,若,则,2024/11/18,17,定理,1,：,设总体,X,的均值为 ，方差为 ，取自总体,X,的 是样本，及 是样本均值和样本方差，则有,有关 及 的几个重要结论,（复习）,定理,2,：,设 是来自正态总体 的样本,给定 和 是样本均值和样本方差，则有,(1),与 相互独立,;,2024/11/18,18,则当,X,的,k,阶矩 存在时,令,设总体为,X,，,X,1,X,2,X,n,是,X,的一个样本，,矩估计法,2024/11/18,19,最大似然估计法,1,.X,为离散型随机变量,，分布律为,X,1,X,2,X,n,是,X,的一个样本,x,1,x,2,x,n,是相应于此样本的一个观察值,称 为,似然函数,。,取 使得：,此时的取值 作为 的估计值。,称,值,为参数 的最大似然估计,值,。,则,称统计,量,为参数 的最大似然估计,量,。,2024/11/18,20,2.,总体,X,为连续型随机变量,概率密度函数为：,设 是来自总体,X,的样本；,是一个观察值。,则随机点落在点 的邻域，即体积微元，边长分别为 的,n,维立方体内的概率近似为,由于 不随 变动，所以只要考虑,称 为似然函数。,和离散型类似，取 的估计值 使得以上概率取得最大。,称统计,量,为参数 的最大似然估计,量,。,称,值,为参数 的最大似然估计,值,。,2024/11/18,21,无偏性,则称 是 的无偏估计量。,定义：,若估计量 的数学期望 存在，且对于任意 有,有效性,则称 较 更有效。,定义：设 与 都是 的无偏估计量，若对任意 都有,2024/11/18,22,单个正态总体 的双侧置信区间,1,、均值,的置信区间,(1),为已知,置信区间为,(2),为未知,置信区间为,2,、方差 的置信区间,当,未知时,置信区间为,2024/11/18,23,单个正态总体 的单侧置信区间,1,、均值,的单侧置信区间,(1),为已知,置信上限,下限,(2),为未知,置信上限,下限,2,、方差 的单侧置信区间,当,未知时,单侧置信上限为,单侧置信下限为,2024/11/18,24,正态总体均值的,假设检验,单个总体 均值 的检验,1,、已知关于 的检验,(,Z,检验法,),统计量为,拒绝域,拒绝域,拒绝域,总体 为已知，是来自,X,的样本，给定显著性水平,。,2024/11/18,25,拒绝域,拒绝域,拒绝域,2,、未知关于 的检验,(,t,检验法,),统计量,2024/11/18,26,拒绝域为,:,单个总体 方差 的检验,(,检验,),(1),提出假设,:,(2),统计量,:,(3),拒绝域：,或,(4),实测值：,(5),判断,双边,右边,左边,拒绝域为,:,2024/11/18,27,