26.1,反比例函数,人教版 数学 九,年级 下册,26.1.2,反比例函数的图象和性质,26.1 反比例函数人教版 数学 九年级 下册26.1.2,1,初步认识反比例函数的图象和性质,第一课时,返回,初步认识反比例函数的图象和性质第一课时返回,2,导入新知,（,2,）试一试，你能在坐标系中画出这个函数的图象吗？,刘翔在,2004,年雅典奥运会,110 m,栏比赛中以,12.91s,的成绩夺得金牌，被称为中国“飞人”,.,如果刘翔在比赛中跑完全程所用的时间为,t,s,，平均速度为,v,m/s,.,（,1,）你能写出用,t,表示,v,的函数,表达式吗,?,导入新知（2）试一试，你能在坐标系中画出这个函数的图象吗？,3,2.,结合图象分析并掌握反比例函数的,性质,.,1.,会用描点法画反比例函数的,图象,.,素养目标,3.,体会函数的三种表示方法，领会,数形结合,的思想方法,.,2. 结合图象分析并掌握反比例函数的性质.1. 会用描点法画,画,出,反比例函数 与 的图象,.,探究新知,知识点,1,反比例函数的图象和性质,【,想一想,】,用“描点法”画函数图象都有哪几步？,列表,描点,连线,画出反比例函数 与 的图象.探究新知知识点1,5,解：,列表如下：,x,6,5,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6,1,1.2,1.5,2,3,6,6,3,2,1.5,1.2,1,2,2.4,3,4,6,6,4,3,2.4,2,探究新知,12,12,注：,x,的值不能为零，但可以以零为基础，左右均匀、对称地取值。,解：列表如下：x654321123456,6,O,2,描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出各点,5,6,x,y,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6,3,4,1,5,6,1,2,3,4,5,6,连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可,得 的图象,探究新知,O2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出,7,x,增大,O,2,5,6,x,y,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6,3,4,1,5,6,1,2,3,4,5,6,观察这两个函数图象，回答问题：,【,思考,】,(,1,),每个函数图象分,别位于哪些象限？,(,2,),在每一个象限内，,随着,x,的增大，,y,如何,变化？你能由它们的,解析式说明理由吗？,y,减,小,探究新知,x 增大O256xy43211234563415,8,(,3,),对于反比例函数,(,k,0,),，考虑问题,(,1,)(,2,),，你能得出同样的结论吗？,O,x,y,探究新知,(3) 对于反比例函数 (k0)，考虑问题(1)(,9,（,1,）由两条曲线组成，且分别位于第,一,、,三,象限，它们与,x,轴、,y,轴都不相交；,（,2,）在每个象限内，,y,随,x,的增大而,减小,.,反比例函数,(,k,0,),的,图象,和,性质,：,归纳：,探究新知,O,x,y,（1）由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与 x 轴,10,1,. (,1,),函数,图象在第,_,_,_,象限,，在,每个象限内，,y,随,x,的增大而,_,.,一、三,减小,巩固练习,(,2,),已知反比例函数 在每一个象限内,，,y,随,x,的增大而减小，则,m,的取值范围是,_.,m,2,1. (1)函数 图象在第_象限，在每,11,A.,y,1,y,2,B.,y,1,=,y,2,C.,y,1, y2B. y1 = y2C. y1 0,时,两支双曲线分别位于第,一、三,象限内,;,当,k,0,时,在每一象限内,y,随,x,的增大而,减小,;,当,k,、,=,或,巩固练习,（,2,）,已知点(,-1,y,1,),(,2,y,2,),(,3,y,3,)在反比例函数,（,k,0,),的图象上,则下列结论中正确的是(),A.,y,1,y,2,y,3,B.,y,1,y,3,y,2,C.,y,3,y,1,y,2,D.,y,2,y,3,y,1,B,2.（1）已知点 A（3，a），B（2，b），在双曲线,17,例,2,已知反比例函数 ，在每一象限内，,y,随,x,的增大而增大，求,a,的值,.,解：,由题意得,a,2,+,a,7=,1,，且,a,10,，,一、三象限,双曲线,k,0,，,二、四象限,x,y,o,x,y,o,当,k,0,时,在每一象限,内,y,随,x,的增大而减小,当,k,0,时,在每一象限,内,y,随,x,的增大而增大,增减性,双曲线的两支无限靠近坐标轴,，,但无交点,对称性,既是,轴对称图形,也是,中心对称图形,与 的图象关于,x,轴对称,也关于,y,轴对称,课堂小结,或,或,解析式 图象所在渐进性k0,27,反比例函数的图象和性质,的综合运用,第二课时,返回,反比例函数的图象和性质第二课时返回,28,二、四象限,一、三象限,函数,正比例函数,反比例函数,解析式,图象形状,K,0,K,0,位置,增减性,位置,增减性,y,=,kx,(,k,0,),直线,双曲线,y,随,x,的增大而增大,一、三象限,在每个象限，,y,随,x,的增大而减小,二、四象限,y,随,x,的增大而减小,在每个象限，,y,随,x,的增大而增大,正比例函数和反比例函数的区别,用对比的方法去记忆效果如何？,导入新知,y,x,o,y,x,o,o,y,x,o,y,x,二、四象限一、三象限函数正比例函数反比例函数解析式图象形状,29,3.,深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会,数形结合,及,转化,的思想方法,.,1.,理解反比例函数的,系数,k,的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中,.,2.,能解决反比例函数与一次函数的综合问题,素养目标,3. 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及,已知反比例函数的图象经过点,A,(,2,，,6,).,(,1,),这个函数的图象分布在哪些象限,?,y,随,x,的增大如何变化,?,(,2,),点,B,(,3,，,4,),、,C,(,）和,D,（,2,，,5,）是否在这个,函数的图象上？,探究新知,知识点,1,利用待定系数法确定反比例函数解析式,解：,（,1,）因为点,A,（,2,6,）在第一象限，所以,这个函数的图象在第,一,、第,三,象限，在每个象限内，,y,随,x,的增大而,减小,。,已知反比例函数的图象经过点A(2，6).探究新知知识,31,解：,（,2,）设这个反比例函数的解析式为 ，,因为点,A,(,2,，,6,),在其图象上，所以有 ，,解得,k,=12,.,因为点,B,，,C,的坐标都满足该解析式，而点,D,的坐标不满足，所以点,B,，,C,在这个函数的图象上，点,D,不在这个函数的图象上,.,所以反比例函数的解析式为,.,探究新知,解：（2）设这个反比例函数的解析式为 ，因为点,32,方法总结：,已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质,.,或,用,待定系数法,求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边右边，则在；若不满足左边右边，则不在,【,讨论,】,已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质,?,以及所给的点是否在该图象上,?,探究新知,方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的,33,1.,已知反比例函数,的图象经过,点,A,(,2,，,3,),(,1,),求这个函数的表达式；,解：,反比例函数,的图象经过点,A,(,2,，,3,),，, 把点,A,的坐标代入表达式，得 ，,解得,k,=,6,., 这个函数的表达式为,.,巩固练习,1.已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3),34,(,2,),判断点,B,(,1,，,6,),，,C,(,3,，,2,),是否在这个函数的图象上，并说明理由；,解：,分别把点,B,，,C,的坐标代入反比例函数的解析式，因为点,B,的坐标不满足该解析式，点,C,的坐标满足该解析式，所以,点,B,不在该函数的图象上，点,C,在该函数的图象上,巩固练习,(2) 判断点 B (1，6)，C(3，2) 是否在这个函,35,(,3,),当 ,3,x, 0,，, 当,x, 0,时，,y,随,x,的,增大而减小,，, 当 ,3 ,x,1,时，,6 ,y,2,.,巩固练习,(3) 当 3 x ,a,，那 么,b,和,b,有怎,样的大小关系？,反比例函数的综合性题目,（,）,m,，在这个函数图象的任一支上，,y,随,x,的,增大而减小,，,当,a,a,时,，,b,b,解：（）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三,37,【,思考,】,根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围,?,注：,由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数,y,随,x,的增减性就不能连续的看，一定要强调“,在每一象限内,”，否则，笼统说,k,0,时，,y,随,x,的增大而增大，从而出现错误,.,探究新知,【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以,38,2.,如图，是反比例函数 的图象的一个分支，对于,给出的下列说法：,常数,k,的取值范围是 ；,另一个分支在第三象限；,在函数图象上取点 和 ，,当 时， ；,在函数图象的某一个分支上取点 和 ，,当 时， ,其中正确的是,_,（在横线上填出正确的序号）,巩固练习,O,x,y,2. 如图，是反比例函数 的图象,39,在反比例函数 的图象上分别取点,P,，,Q,向,x,轴、,y,轴作垂线，围成面积,分别,为,S,1,，,S,2,的矩,形，填写下页表格：,知识点,3,反比例函数中,k,的几何意义,探究新知,在反比例函数 的图象上分别取点P，Q,40,5,1,2,3,4,1,5,x,y,O,P,S,1,S,2,P,(2,，,2),Q,(4,，,1),S,1,的值,S,2,的值,S,1,与,S,2,的关系,猜想,S,1,，,S,2,与,k,的关系,4,4,S,1,=,S,2,S,1,=,S,2,=,k,5,4,3,2,1,4,3,2,3,2,4,5,1,Q,探究新知,5123415xyOPS1 S2P (2，2) S1,41,S,1,的值,S,2,的值,S,1,与,S,2,的关系,猜想与,k,的关系,P,(,1,，,4),Q,(,2,，,2),若在反比例函数 中也用同样的方法分别取,P,，,Q,两点，填写表格：,4,4,S,1,=,S,2,S,1,=,S,2,=,k,y,x,O,P,Q,S,1,S,2,探究新知,S1的值S2的值S1与S2的关系猜想与k 的关系P (1，,42,由前面的探究过程，可以猜想,：,若点,P,是 图象上的任意一点,，作,P,A,垂直于,x,轴，作,P,B,垂直于,y,轴，,矩形,AOB,P,的面积与,k,的关系是,S,矩形,AOB,P,=,|,k,|.,探究新知,由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是,43,y,x,O,P,S,我们就,k, 0,的情况给出证明：,设,点,P,的坐标为,(,a,，,b,),A,B,点,P,(,a,，,b,),在函数 的图,象上，,，,即,ab=k,.,S,矩形,AOB,P,=,PB,PA=,a,b=,ab=,k,；,若,点,P,在第二象限，则,a,0,，,若点,P,在第四象限,，,则,a,0,，,b, 0,的情况,.,探究新知,yxOPS我们就 k 0,）的图象上，横坐标是,1,，过点,B,分别向,x,轴、,y,轴作垂线，垂足为,A,、,C,，则矩形,OABC,的面,积为（,）,A.1,B.2,C.3 D.4,B,巩固练习,3.如图，点B在反比例函数 (x0）的图象上，横坐,46,例,1,如图，点,A,在反比例函数,的图象上，,AC,垂直,x,轴于点,C,，且 ,AOC,的面积为2，求该反比例函数的表达式,解：,设点,A,的坐标为,(,x,A,，,y,A,),，,点,A,在反比例函数,的图象上，,x,A,y,A,k,，,反比例函数的表达式为,探究新知,素养考点,1,通过图形面积确定,k,的值,，,k,4,，,例1 如图，点A在反比例函数 的图象上，,47,巩固练习,4.,如图所示，过反比例函数 （,x,0,）的图象上一点,A,，作,AB,x,轴于点,B,，连接,AO,.,若,S,AOB,=3,则,k,的,值为（,）,A.4,B.5,C.6,D.7,C,巩固练习4.如图所示，过反比例函数 （x0）的图,48,例,2,如图，,P,，,C,是函数,(,x,0,),图象上的任意两点，,PA,，,CD,垂直于,x,轴,.,设,POA,的面积为,S,1,，则,S,1,=,；梯形,CEAD,的面积为,S,2,，则,S,1,与,S,2,的大小关系是,S,1,S,2,；,POE,的面积,S,3,和,S,2,的大小,关系是,S,2,S,3,.,2,S,1,S,2,S,3,探究新知,素养考点,2,利用,k,的性质判断图形面积的关系,例2 如图，P，C是函数 (x0)图象上的,49,A.,S,A,S,B,S,C,B.,S,A,S,B,S,C,C.,S,A,=,S,B,=,S,C,D,.,S,A,S,C,SBSC B. SA0,b,0,k,1,0,k,2,0,b,0,x,y,O,x,y,O,探究新知,知识点,4,一次函数与反比例函数的组合图形,在同一坐标系中，函数 和 y= k2 x+b,53,k,2,0,b,0,k,1,0,k,2,0,x,y,O,k,1,0,x,y,O,探究新知,在同一坐标系中，函数 和,y= k,2,x+b,的图象大致如下，则,k,1,、,k,2,、,b,各应满足什么条件,？,k2 0xyO探究,54,例,4,函,数,y,=,kx,k,与,的图象大致是,( ),D.,x,y,O,C.,y,y,A.,x,B.,x,y,O,D,O,O,k,0,k,0,k,0,k,0,由一次函数增减性得,k,0,由一次函数与,y,轴交点知,k,0,，,则,k,0,x,提示：,可对,k,的正负性进行分类讨论,.,探究新知,素养考点,1,根据,k,的值识别函数的图形,例4 函数 y=kxk 与,55,7.,在同一直角坐标系中，函数,与,y,=,ax,+1,(,a,0,),的图象可能是,( ),A.,y,x,O,B.,y,x,O,C.,y,x,O,D.,y,x,O,B,巩固练习,7.在同一直角坐标系中，函数 与 y =,56,例,5,如图是一次函数,y,1,=,kx,+,b,和反比例函数 的图象，观察图象，当,y,1,y,2,时，,x,的取值范围为,.,2,3,y,x,0,2,x,3,解析：,y,1,y,2,即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时,.,观察右图，,探究新知,素养考点,2,通过函数图形确定字母的取值范围,方法总结：,对于一些题目，借助,函数图象,比较大小更加简洁明了,.,可知,2,x,3,.,例5 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数,57,8.,如图，直线,y,=,k,1,x,+,b,与双曲线 交于,A,、,B,两点，,其横坐标分别为,1,和,5,，则不等式,的解集,是,_,1,x,5,巩固练习,8. 如图，直线y=k1x+b与双曲线,58,例,6,已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点,P,(,3,，,4,).,试求出它们的解析式，并画出图象,.,由于这两个函数的图象交于点,P,(,3,，,4,),， 则点,P,的坐标分别满足这两个解析式,.,解：,设,y,=,k,1,x,和,.,所以 ，,.,解得,.,探究新知,素养考点,3,利用函数的交点解答问题,例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (,59,则这两个函数的解析式分别为 和 ，,它们的图象如图所示,.,这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？,【,想一想,】,探究新知,则这两个函数的解析式分别为 和,60,9.,反比例函数 的图象与正比例函数,y,= 3,x,的图象的交点坐标为,(2,，,6),，,(,2,，,6),解析：,联立两个函数解析式解方程得：,巩固练习,解得：,9. 反比例函数 的图象与正比例函数 y,61,连接中考,巩固练习,1.,（201,9,兰州,）如图，,矩形,OABC,的顶点,B,在,反比例函数,（,x,0,）的,图象,上,S,矩形,OABC,6,，则,k,y,x,O,6,A,B,C,连接中考巩固练习1.（2019兰州）如图，矩形OABC的顶,2.,（,2018,岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点,A,（,2,，,3,）和点,B,（点,B,在点,A,的右侧,），作,BC,y,轴，垂足为点,C,，连结,AB,，,AC,（,1,）求该反比例函数的解析式；,（,2,）若,ABC,的面积为6，求直线,AB,的表达式,连接中考,巩固练习,2.（2018岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（,解：,（,1,）由题意得，,k,=,xy,=23=6，,反比例函数的解析式为 ,（,2,）设,B,点坐标为（,a,，,b,），如图，作,AD,BC,于,D,，则,D,（,2,，,b,）,反比例函数,的图象经过点,B,（,a,，,b,），,S,ABC,.,设,AB,的解析式为,y,=,kx,+,b,，,将,A,（,2,，,3,），,B,（,6,，,1,）代入函数解析式，得,解得 ，,连接中考,巩固练习,，,解得,a,=6，,B,（,6，1,）,直线,AB,的解析式,为,.,D,解：（1）由题意得，k=xy=23=6，反比例函数的解析,1.,（,2018,无锡）已知点,P,（,a,，,m,），,Q,（,b,，,n,）都在反比例函数 的图象上，且,a,0,b,，则下列结论一定正确的是（）,A,m,+,n,0 B,m,+,n,0 C,m,n,D,m,n,课堂检测,D,基础巩固题,1.（2018无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反,65,2,.,（,2018,连云港）已知,A,（,4，y,1,），,B,（,1，y,2,）是反比例函数 图象上的两个点，则,y,1,与,y,2,的大小关系为,_,y,1,y,2,课堂检测,基础巩固题,2. （2018连云港）已知A（4，y1），B（1，y,66,3,.,在,反比例函数 图象的,每一支曲线上，,y,都随,x,的增大而减小,，则,k,的取值范,围是,_,k,9,课堂检测,基础巩固题,3. 在反比例函数 图象的每一支曲线上，y,67,1.,如图，正比例函数 与反比例函数,的图,象,交,于点,A,（,2,，,3,）,（,1,）求,k,、,m,的,值；,（,2,）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量,x,的取值范围,（,2,）由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时：,x,2,.,能力提升题,课堂检测,解：,（,1,）将,A,（,2,，,3,）分别代入,y,=,kx,和,可得：,3=2,k,和,解得： ，,m,=6,.,1.如图，正比例函数 与反比例,68,2,.,（,2018,贵港）如图，已知反比例函数,（,x,0,）的图象与一次函数,的图象交于,A,和,B,（,6，,n,）两点,（,1,）求,k,和,n,的值；,（,2,）若点,C,（,x,，,y,）也在反比例函数,（,x,0,）的图象上，求当,2,x,6时，函数值,y,的取值范围,课堂检测,能力提升题,2. （2018贵港）如图，已知反比例函数 （x,69,课堂检测,能力提升题,解：,（,1,）当,x,=6,时，,，,点,B,的坐标为（,6，1,）,反比例函数,过点,B,（,6，1,），,k,=61=6,（,2,）,k,=60，,当,x,0时，,y,随,x,值增大而,减小,，,当2,x,6时，,1,y,3,课堂检测能力提升题解：（1）当x=6时，,70,如图，反比例函数 与一次函,数,y,=,x,+,2,的图象交于,A,，,B,两点,.,(,1,),求,A,，,B,两点的坐标；,A,y,O,B,x,解：,y,=,x,+ 2,，,解得,x,= 4,，,y,=,2,所以,A,(,2,，,4),，,B,(4,，,2),.,或,x,=,2,，,y,= 4.,课堂检测,拓广探索题,如图，反比例函数 与一次函数 y,71,作,AC,x,轴于,C,，,BD,x,轴于,D,，,则,AC,=4,，,BD,=2.,(,2,),求,AOB,的面积,.,解：,一次函数与,x,轴的交点为,M,(,2,，,0,),，,OM,=2,.,O,A,y,B,x,M,C,D,S,OMB,=,OM,BD,2=2,2,2=2,，,S,OMA,=,OM,AC,2=2,4,2=4,，,S,AOB,=,S,OMB,+,S,OMA,=2+4=6,.,课堂检测,拓广探索题,作ACx轴于C，BDx轴于D， (2) 求AOB,72,面积问题,与一次函数的综合,反比例函数图象和性质的综合运用,课堂小结,面积不变性,反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点,关于原点中心对称,判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行,分类讨论,，并注意,b,的正负,面积问题与一次函数的综合反比例函数图象和性质的综合运用课堂小,73,