,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3.1空间向量,及其,运算,平面向量复习,定义：,既有大小又有方向的量叫向量,几何表示法：,用有向线段表示；,字母表示法：,用字母,a,、,b,等或者,用有向线段,的起点与终点字母 表示,相等的向量：,长度相等且方向相同的向量,A,B,C,D,平面向量的加减法运算,向量的加法：,a,b,a,+,b,平行四边形法则,a,b,a,+,b,三角形法则,(,首尾相连,),平面向量的加法运算律,加法交换律：,a,b,b,a,加法结合律：,(,a,b,),c,a,(,b,c,),推广,首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：,首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：,向量的减法,a,b,a,-,b,三角形法则,减向量,终点指向,被减向量,终点,一、空间向量的基本概念,空间向量,零,向量,单位,向量,相等,向量,相反,向量,既有,大小,，又有,方向,的量,长度为,零,的向量,长度为,1,的向量,方向,相同,，长度,相等,的向量,方向,相反,，长度,相等,的向量,向量的,模,表示向量的有向线段的,长度,9,a,b,a,b,b,b,a,+,b,a,b,A,B,b,C,O,a,-,b,二、空间向量的加减运算,11,加法交换律,加法,:,三角形法则或,平行四边形法则,减法,:,三角形法则,加法结合律,注,:,两个空间向量的加、减法,与两个平面向量的加、减法实质是一样的,.,2,、对空间向量的加法、减法的小结,A,B,C,D,A,B,C,D,例,1,解：,A,B,C,D,A,B,C,D,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量,为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,练习,1,、在如图所示的平行六面体中，,求证：,A,B,C,D,A,B,C,D,变式：,已知平行六面体 则下列四式中：,其中正确的是,。,15,例如,:,三、,空间向量的数乘运算法则,16,显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,F,E,D,C,B,A,17,四、共线向量及其定理,18,l,A,P,B,即，,P,A,B,三点共线。或表示为：,19,分析,:,证三点共线可尝试,用向量来分析,.,N,20,五,.,共面向量及其定理,:,1.,共面向量,:,平行于同一平面的向量,叫做共面向量,.,O,A,注意：,空间任意两个向量是共面的,，但空间任意三个向量就不一定共面的了。,21,22,23,1.,对于空间任意一点,O,，下列命题正确的是：,(A),若 ，则,P,、,A,、,B,共线,(B),若 ，则,P,是,AB,的中点,(C),若 ，则,P,、,A,、,B,不共线,(D),若 ，则,P,、,A,、,B,共线,2.,已知点,M,在平面,ABC,内，并且对空间任意一点,O,，,则,x,的值为,(),24,3.,下列,说明正确的是：,(A),在平面内共线的向量在空间不一定共线,(B),在空间共线的向量在平面内不一定共线,(C),在平面内共线的向量在空间一定不共线,(D),在空间共线的向量在平面内一定共线,4.,下列说法正确的是：,(A),平面内的任意两个向量都共线,(B),空间的任意三个向量都不共面,(C),空间的任意两个向量都共面,(D),空间的任意三个向量都共面,A,M,C,G,D,B,例,3(,课本例,1),如图，已知平行四边形,ABCD,从平,面,AC,外一点,O,引向量,求证：,四点,E,、,F,、,G,、,H,共面；,平面,EG/,平面,AC,.,例,3(,课本例,1),已知,ABCD,，从平面,AC,外一点,O,引向量,求证：,四点,E,、,F,、,G,、,H,共面；,平面,AC,/,平面,EG.,证明：,四边形,ABCD,为,（）,（）代入,所以,E,、,F,、,G,、,H,共面。,例,3,已知,ABCD,，从平面,AC,外一点,O,引向量,求证：,四点,E,、,F,、,G,、,H,共面；,平面,AC,/,平面,EG,。,证明：,由面面平行判定定理的推论得：,由,知,六、两个向量的夹角,两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是,(0,90,而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是,0,180,七、两个向量的数量积,注,:,两个向量的数量积是数量，而不是向量,.,规定,:,零向量与任意向量的数量积等于零,.,B,B,1,A,A,1,2,、空间两个向量的数量积的性质,3,、空间向量数量积的运算律,与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：,向量数量积的运算适合乘法结合律吗,?,即,(a,b,)c,一定等于,a(bc,),吗,?,例,4,、已知空间向量,a,，,b,满足,|a|=4,，,|b|=8,，,a,与,b,的夹角是,150,，计算：,(1)(a+2b)(2a-b),；,(2)|4a,一,2b|,如图，已知空间四边形,ABCD,的每条边和对角线长都等于,a,，点,E,、,F,、,G,分别是,AB,、,AD,、,DC,的中点。求下列向量的数量积：,练习,6,A,B,C,D,E,F,G,练习,7,解：,在平行四边形,ABCD,中，,AB=AC=1,，,ACD=90,，将它沿对角线,AC,折起，使,AB,与,CD,成,60,角，求,B,，,D,间的距离,练习,8,已知空间四边形,OABC,中，,M,，,N,，,P,，,Q,分别为,BC,，,AC,，,OA,，,OB,的中点，若,AB=OC,，求证：,PM,QN,证明：,练习,9,练习,11,八、向量的直角坐标运算,新课,1.,距离公式,（,1,）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,九、距离与夹角,在空间直角坐标系中，已知、,，则,（,2,）空间两点间的距离公式,2.,两个向量夹角公式,注意：,（,1,）当 时，同向；,（,2,）当 时，反向；,（,3,）当 时，。,例,5,已知,解,:,解：设正方体的棱长为,1,，如图建,立空间直角坐标系，则,例,6,如图,在正方体中，,，求与所成的角的余弦值,.,证明：不妨设已知正方体的棱长为,1,个单,位长度,设,分别以 为坐标向量建立空间直,角坐标系,则,例,8.,在正方体,