材料力学 Mechanics of Materials,Cease to struggle and you cease to live.,生命不止，奋斗不息,第四章 杆件的变形计算,直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向变形相应变细或变粗,杆件在轴线方向的伸长,纵向应变,由胡克定律,得到轴向拉压变形公式,第一节 拉压杆的轴向变形,公式的适用条件:,1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律,2）在计算杆件的伸长时，,l,长度内其,F,N,、A、l,均应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。,横向也会发生变形,横向应变,通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应变和横向应变存在如下的比例关系,泊松比,泊松比,、弹性模量,E,、切变模量,G,都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系,例题4-1,(教材70页),如图所示阶梯形直杆，已知该杆,AB,段横截面面积,A,1,=800mm,2,，BC段横截面面积,A,2,=240mm,2,，杆件材料的弹性模量,E,=200GPa，求该杆的总伸长量。,1）求出轴力，并画出轴力图,2）求伸长量,mm,伸长,缩短,缩短,例4-2 节点位移问题(教材70页),如图所示桁架，钢杆AC的横截面面积,A,1,=960mm,2,，弹性模量,E,1,=200GPa。木杆BC的横截面面积,A,2,=25000mm,2,，长1m，弹性模量,E,2,=10GPa。求铰接点C的位移。,F,=40 kN。,分析,通过节点,C,的受力分析可以判断,AC,杆受拉而,BC,杆受压，,AC,杆将伸长，而,BC,杆将缩短。,因此，,C,节点变形后将位于,C,3,点,由于材料力学中的,小变形假设,，可以近似用,C,1,和,C,2,处的圆弧的切线来代替圆弧（,以切代弧法,），得到交点,C,0,解,1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预先设为拉力）,拉,压,伸长,缩短,2）求AC和BC杆分别的变形量,3）分别作,AC,1,和,BC,2,的垂线交于,C,0,C,点总位移：,(此问题若用圆弧精确求解),第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角,在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距,为 d,x,的两个相邻截面之间有相对转角d,j,取,单位,长度扭转角用来表示扭转变形的大小,单位,长度扭转角的单位:rad/m,抗扭刚度,越大，单位长度扭转角越小,在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，就可得到两端相对扭转角,j,。,相对扭转角的单位:rad,当 为常数时：,请注意,单位长度扭转角,和,相对扭转角,的区别,同种材料阶梯轴扭转时:,例4-3,一受扭圆轴如图所示，已知：,T,1,=1400Nm，,T,2,=600Nm，,T,3,=800Nm，,d,1,=60mm，,d,2,=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计算最大单位长度扭转角。,1）根据题意，首先画出扭矩图,2）,AB,段单位长度扭转角：,3）,BC,段单位长度扭转角：,综合两段，最大单位长度扭转角应在,BC,段 为 0.03978 rad/m,例4-4,图示一等直圆杆，已知,d,=40mm,a,=400mm,G,=80GPa,j,DB,=1,求:1)最大切应力;2）,j,AC,1）画出扭矩图,2）求最大切应力,首先要求出,M,的数值,梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。,一、梁的变形,第三节 梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程,梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿,x,轴方向的直线变成一条在,xy,平面内的曲线，该曲线称为,挠曲线,。,某截面的竖向位移，称为该截面的,挠度,某截面的法线方向与x轴的夹角称为该截面的,转角,挠度和转角的大小和截面所处的,x,方向的位置有关，可以表示为关于,x,的函数。,挠度方程（挠曲线方程）,转角方程,挠度和转角的正负号规定：,在图示的坐标系中，,挠度,w,向上为正，向下为负,。,转角规定截面法线与,x,轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角,q,为正。,挠度和转角的关系,在小变形假设条件下,挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角,二、挠曲线近似微分方程,纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:,横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。,高等数学中，关于曲率的公式,在梁小变形情况下，,梁的挠曲线近似微分方程最终可写为,梁的挠曲线近似微分方程,对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁,EI,为常数）,再进行一次积分,可得到挠度方程,其中，,C,和,D,是积分常数，需要通过,边界条件,或者,连续条件,来确定其大小。,第四节 用积分法求梁的弯曲变形,边界条件,在约束处的转角或挠度可以确定,连续条件,在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为,n,段积分，则要出现2,n,个待定常数，总可找到2,n,个相应的边界条件或连续条件将其确定。,例4-5,如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角 和挠度 。,（1）按照图示坐标系建立弯矩方程,请同学们自己做一下（时间:1分钟）,（2）挠曲线近似微分方程,（3）积分,（4）确定积分常数 由边界条件,代入上面两式,（5）列出转角方程和挠曲线方程，将,C,、,D,的值代入方程,（6）求,B,点的挠度和转角,在自由端，,x,=,l,例4-6(教材75页例4-5),如图所示，简支梁受集中力,F,作用，已知,EI,为常量。试求,B,端转角和跨中挠度。,（1）求约束反力,F,A,F,B,（2）列出弯矩方程,AC,段,CB,段,（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在,C,点处分段，故应对,AC,和,CB,分别计算,F,A,F,B,（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在,C,点处分段，故应对,AC,和,CB,分别计算,AC段,CB段,F,A,F,B,利用边界条件和连续条件确定四个积分常数,AC段,CB段,边界条件:,连续条件:,由于挠曲线在,C,点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角和挠度应相等。即,代入上面的式子,F,A,F,B,得到转角方程和挠度方程,AC段,CB段,（5）求指定截面处的挠度和转角,若,通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运算较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转角，这时采用叠加法比积分法方便。,在杆件符合,线弹性、小变形,的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样,只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法,。,用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查,教材7879页表4-2,计算得出。查表时应注意载荷的方向、跨长及字符一一对应。,第五节 用叠加法求梁的弯曲变形,例4-7,求图中所示梁跨中点的挠度及,A,点的转角。已知 ，梁的抗弯刚度,EI,为常数。,=,+,例4-8,如图，梁的左半段受到均布载荷,q,的作用，求,B,端的挠度和转角。梁的抗弯刚度,EI,为常数,。,考虑其变形:,由于,CB,段梁上没有载荷，各截面的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此段并不产生变形，即,CB,仍为直线。根据几何关系可知：,由于在小变形的假设前提下,查表:,代入上面的计算式,在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表4-2中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移。,类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。,一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（,逐段刚化法,）。,例4-9,求图11-4所示外伸梁的,C,截面的挠度转角,EI,为常数。,怎样应用表4-2中已有的结果？,对梁进行分段刚化，利用受力与变形等效的原则来处理,首先刚化AB段，这样BC段就可以作为一个悬臂梁来研究，,再刚化BC段，由于BC段被刚化，可将作用于BC段的均布载荷简化到B支座，得到一个力和一个力偶,力,F,直接作用于支座，对梁的变形没有影响，力偶,M,引起简支梁,AB,的变形，同样，段上的均布载荷也将引起,AB,段变形，,第四章 杆件的变形计算,作业,82-83页,拉压变形问题:4-1 4-5b（刚性杆变形忽略不计）,扭转变形问题:4-8 4-9,用积分法求梁的变形：4-14a,用叠加法求梁的变形:4-15a 4-15b 4-16a,