单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3-1,刚体,刚体的定轴转动的描述,刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。,当物体自身线度,l,与所研究的物体运动的空间范围,r,相比不可以忽略；物体又不作平动而作转动时，即必须考虑物体的空间方位时，我们可以引入刚体模型。,刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。,质点模型基本上只能表征物体的平动特征。,平动和转动是刚体的两种基本运动形式。刚体的任何复杂运动都可以看成平动与转动的合成。,本节讨论转动中最简单的运动定轴转动。,一、,刚体,3-1刚体 刚体的定轴转动的描述 刚体是指在任何,1,二、,刚体定轴转动的描述,若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆周运动，这种运动称之为转动。,该直线称为,转轴。,二、 刚体定轴转动的描述 若物体在运动过程中，其所,2,若转动轴固定不动，即既不能改变方向又不能平移，这个转轴为,固定轴,，这种转动称为,定轴转动,。,我们只讨论定轴转动。,O,Z,、转动瞬轴、定轴转动,若转轴的方向或位置在运动过程中变化，这个轴在某个时刻的位置称为该时刻的,转动瞬轴。,若转动轴固定不动，即既不能改变方向又不能平移，这个转轴,3,垂直于转动轴的平面为,转动平面。,）角量描述：,角位移,角速度,角加速度,由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部可用。,以转动平面与轴的交点为原点，任引一射线为极轴，原点引向考察点的矢径与极轴的夹角,为角位置，并引入,0,x,2,、 定轴转动的角量描述,垂直于转动轴的平面为转动平面。 ）角量描述：角位移角速度,4,),刚体定轴转动的特点,所有质点的角量都相同,；,质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比,。,)刚体定轴转动的特点所有质点的角量都相同 ；,5,一、力矩,1,、力对固定点的力矩,1,）定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即,力矩是矢量，,M,的方向垂直于,r,和,F,所决定的平面，其指向用右手螺旋法则确定。,2,）力矩的单位、 牛,米,(Nm),o,m,3-2,力矩,刚体定轴转动的转动定律,一、力矩 1、力对固定点的力矩 1）定义：作用于质点的力对惯,6,3,）力矩的计算：,M,的大小、方向均与参考点的选择有关,在直角坐标系中，其表示式为,3）力矩的计算： M 的大小、方向均与参考点的选择有关,7,力矩在,x,y,z,轴的分量式，称,力对轴的矩。,例如上面所列,x, M,y, M,z,即为力对轴、轴、轴的矩。,、力对轴的矩：,设力,的作用线就在,Z,轴的转动平面内，作用点到轴的位矢为,r,，则力对轴的力矩为,式中,为力,F,到轴的距离,若力的作用线不在转动在平面内，则只需将力分解为与轴垂直、平行的两个分力即可。,r,F,力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列,8,1.,力对固定点的力矩为零的情况：,力,F,等于零，,力,F,的作用线与矢径,r,共线（力,F,的作用线穿过,0,点,即，有心 力对力心的力矩恒为零）。,2.,力对固定轴的力矩为零的情况：,有两种情况,B,）,力的方向沿矢径的方向,（ ）,有心力的力矩为零,A),1.力对固定点的力矩为零的情况：力F等于零，2.力对固定轴,9,3.,质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零,3.质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零,10,二、刚体定轴转动的转动定律：,刚体绕定轴转动，在刚体上取一质元 ，绕轴作半径 的圆周运动，作用在质点上的合力矩,由牛顿第二定律可知,则质点所受力矩,二、刚体定轴转动的转动定律： 刚体绕定轴转动，在刚体上取一质,11,对刚体所受所有力矩求和得：,由于刚体各质点相对轴距离不变，令,对刚体所受所有力矩求和得：由于刚体各质点相对轴距离不变，令,12,2,、刚体定轴转动的转动定理,作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的力矩之和成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。,其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。,转动定律说明了,J,是物体转动惯性大小的量度。因为：,2、刚体定轴转动的转动定理 作定轴转动的刚体，其转动角加速,13,即,J,越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，,J,越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态的能力越弱，或者说转动惯性越小。,如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若 受力和力矩一样，谁转动得快些呢？,M,M,即 J 越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性,14,转动惯量计算举例：,转动惯量的单位：千克,米,2,（,kgm,2,）,4,、转动惯量的计算,对于单个质点,质点系,若物体质量连续分布,，,转动惯量计算举例： 转动惯量的单位：千克米2（kgm2,15,解,(1),转轴通过棒的中心并与棒垂直,例如图所示，求质量为,m,，长为,l,的均匀细棒的转动惯量：,(1),转轴通过棒的中心并与棒垂直；,(2),转轴通过棒一端并与棒垂直,.,在棒上任取一质元，其长度为,dx,，距轴,O,的距离为,x,，设棒的线密度,(,即单位长度上的质量,),为,，则该质元的质量,dm,dx,.,该质元对中心轴的转动惯量为,整个棒对中心轴的转动惯量为,解例如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量：在棒,16,(2),转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为,由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同,.,(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为由,17,解,(1),求质量为,m,，半径为,R,的圆环对中心轴的转动惯量,.,如图,2.36(a),所,示，在环上任取一质元，其质量为,dm,，该质元到转轴的距离为,R,，则该质元对转轴的转动惯量为,考虑到所有质元到转轴的距离均为,R,，所以细圆环对中心轴的转动惯量为,例设质量为,m,，半径为,R,的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量,.,解(1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图,18,则整个圆盘对中心轴的转动惯量为,(,2,),求质量为,m,，半径为,R,的圆盘对中心轴的转动惯量,.,整个圆盘可以看成许多半径不同的同心圆环构成,.,为此，在离转轴的距离为,r,处取一小圆环，如图,2.36,(,b,),所示，其面积为,dS,2rdr,，设圆盘的面密度,(,单位面积上的质量,),，则小圆环的质量,dm,dS,2rdr,，该小圆环对中心轴的转动惯量为,以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转动惯量不同,.,则整个圆盘对中心轴的转动惯量为(2)求质量为m，半径为R的圆,19,(2),质量元的选取：,线分布,面分布,体分布,(1),刚体的转动惯量,以上各例说明：,线分布,体分布,面分布,与刚体的总质量有关，,与刚体的质量分布有关，,与轴的位置有关。,(2)质量元的选取：线分布面分布 体分布 (1)刚体的转动惯,20,(3),由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于,定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。,(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，对,21,例如图,(,a,),所示，质量均为,m,的两物体,A,，,B. A,放在倾角为,的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与,B,相连,.,定滑轮是半径为,R,的圆盘，其质量也为,m.,物体运动时，绳与滑轮无相对滑动,.,求绳中张力 和 及物体的加速度,a(,轮轴光滑,).,解物体,A,，,B,，定滑轮受力图见图,2.37(,b,).,对于作平动的物体,A,，,B,，分别由牛顿定律得,对定滑轮，由转动定律得,例如图 (a)所示，质量均为m的两物体A，B. A放在倾角,22,由于绳不可伸长，所以,联立式，得,由于绳不可伸长，所以联立式，得,23,例转动着的飞轮的转动惯量为,J,，在,t,0,时角速度为,.,此后飞轮经历制动过程，阻力矩,M,的大小与角速度,的平方成正比，比例系数为,k,(,k,为大于零的常数,),，当,时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？,解,(1),由题知 ，故由转动定律有,即,将 代入，求得这时飞轮的角加速度为,例转动着的飞轮的转动惯量为J，在t0时角速度为,24,(2),为求经历的时间,t,，将转动定律写成微分方程的形式，即,分离变量，并考虑到,t,0,时，,，两边积分,故当 时，制动经历的时间为,(2)为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即分离,25,1,、转动动能,可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方,乘积的一半。,注意比较,转动动能,平动动能,i,质点的动能,整个刚体的动能,对,i,求和,3-3,刚体定轴转动的动能定理,1、转动动能 可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量,26,2,、力矩的功,对于,i,质点其受外力为,F,i,，,对,i,求和，当整个刚体转动,d,，则力矩的元功,式中,M,为作用于刚体上外力矩之和,-,其表明：,力矩的元功等于力矩与角位移之乘积,（内力矩之和为零）,当刚体转过有限角时，力矩的功为,2、力矩的功 对于i 质点其受外力为 Fi，对 i 求和，当,27,3,、刚体定轴转动的动能定理：,力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。,3、刚体定轴转动的动能定理： 力矩对刚体所做的功，等于刚体转,28,4,、刚体的势能,其中,m,为刚体的总质量,y,c,为刚体质心的高度。,质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，质心的位置为它的几何中心。,O,X,Y, m,i,M,C,4、刚体的势能其中m为刚体的总质量, yc为刚体质心的高度。,29,例如图所示，一根质量为,m,，长为,l,的均匀细棒,OA,，可绕固定点,O,在竖直平面内转动,.,今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成,30,角时中心点,C,和端点,A,的速度,.,解棒受力如图,2.39,所示，其中重力,G,对,O,轴的力矩大小等于 ，是,的函数，轴的支持力对,O,轴的力矩为零,.,由转动动能定理，有,等式左边的积分为重力矩的功,.,即,式中,是棒的质心所在处相对棒的质心,C,在最低点,(,即棒在竖直位置,处,),的高度,.,例如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点,30,则中心点,C,和端点,A,的速度分别为,将 及,代入式，得,则中心点C和端点A的速度分别为将,31,3-4,刚体定轴转动的角动量定理,角动量守恒定律,3-4 刚体定轴转动的角动量定理,32,一、,质点的角动量,在质点的匀速圆周运动中，动量,mv,不守恒，但,角动量的引入：,开普勒行星运动定律的面积定律,许多实例都说明 是一个独立的物理量，,再考虑到行星的质量,m,为恒量，,一、 质点的角动量 在质点的匀速圆周运动中，动量m,33,在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此必须引入一个新的物理量角动量,L,，来描述这一现象。,卫星,地球,+,在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星,34,、质点对固定点的角动量,动量为,mv,的质点，对惯性系内某参考点,0,的角动量，等于质点对该参考点的位矢,r,与其动量,mv,的矢积。,角动量是矢量，角动量,L,的方向垂直于,r,和,mv,所组成的平 面，其指向可用右手螺旋法则确定。,注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量,L,画在参考点上。,L,的大小为,L,、质点对固定点的角动量 动量为 mv 的质点，对惯,35,角动量的单位是：千克,米,2,秒,-1,(kgm,2,s,-1,),。,当质点作圆周运动时,有,v=r,且,r,与,v,互相垂直，,故有,是相对量： 与参照系的选择有关，,与参考点的选择有关,L,r mv=m r,2,角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线运动。, 角动量的单位是：千克米2秒-1(kgm2s-1,36,2,、质点对轴的角动量,假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为,r,，则质点对,z,轴的角动量为 ，方向沿,z,轴，可正、可负,质点动量不在转动平面内，则只需考虑动量在转动平面内的分量；,或运用坐标分量式求得：,2、质点对轴的角动量 假定质点的动量就在转动平面内，且质点,37,质点的角动量定理,、对点的角动量定理（微分形式）,若用,r,叉乘牛顿定律 即,式中,r,是质点对参考点,o,的位矢。,又,于是有,或,即：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。,质点的角动量定理、对点的角动量定理（微分形式）若用,38,、角动量定理的积分形式：,叫冲量矩,*,：,M,和,L,必须是对同一点而言,a,、对点的角动量守恒律,若 ，则,质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量守恒。这就是质点的,角动量守恒定律。,外力距对某固定点的冲量距等于质点对该点的角动量的增量。,若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒。,质点角动量守恒定律,、角动量定理的积分形式： 叫冲量矩 *：M 和 L,39,b,、对轴的角动量守恒律：,若,M,z,=0,， 则,L,z,=,常数，即若力矩在某轴上的分量为零（或力对某轴的力矩为零），则质点对该轴的角动量守恒。,b、对轴的角动量守恒律： 若 Mz=0， 则 Lz,40,二、,质点系的角动量定理,1,、质点系对固定点的角动量定理,i,质点对固定点,O,的角动量定理,设有一质点系，共有,n,个质点，其第,i,个质点受力为,则,i,质点对固定点,o,的角动量定理为,二、 质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理,41,对,i,求和,质点系对固定点,O,的角动量定理,由于内力成对出现，每对内力对,O,的力矩之和为零，因此内,力矩之总和为零，于是有,（,i),内力矩对系统的总角动量无贡献，（与质点系的动量定理,相似）,对i求和质点系对固定点O的角动量定理由于内力成对出现,42,(iii),质点系对固定点的角动量定理的物理意义：,质点系对,o,点的角动量随时间的变化率等于外力对该点力矩的矢量和。,(ii),在质点系的情况下，求外力对固定点的力矩之和时，不能先求合力，再求合力矩。只能说外力矩之和不能说合外力之矩。,(iii) 质点系对固定点的角动量定理的物理意义：质点系对,43,2,、质点系对轴的角动量定理,如果将作用于质点系上的外力矩之矢量和及质点系的角动量分别向给定轴投影，即可得质点系对轴的角动量定理。,式中,r,i,为,i,质点到,z,轴的距离，,i,是,v,i,与,r,i,间的夹角。,若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度,作圆周运动，则这时,则有,为简单记只讨论沿,z,轴的角动量定理,这时组成质点系的,n,个质点位于,z,轴的转动平面内，于是有,2、质点系对轴的角动量定理如果将作用于质点系上的外力矩之矢,44,将其与线动量相比,m,表示物体的平动惯性，则,J,表示转动惯性，故将,命名为对轴的,转动惯量，,（式中,r,i,为,m,i,到轴的距离）,即：,若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度,作圆周运动，则这时系统对轴的角动量为,此时质点系对轴的角动量定理为,将其与线动量相比 m 表示物体的平动惯性，则 J,45,1,、对轴的角动量定理,已知质点对轴的角动量定理的积分形式为,可以证明，这个结论对刚体定轴转动同样成立，同时考虑到,即：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内角动量的增量。这一关系称刚体的角动量定理。,三、,刚体组对轴的角动量定理及其守恒定律,1、对轴的角动量定理已知质点对轴的角动量定理的积分形式为,46,2,、定轴转动的角动量守恒,若,M,z,外,0,，,若外力对轴的力矩为零，则刚体（或刚体组）对轴的角动量守恒，,称之为刚体对轴的角动量守恒定律。,若为刚体，当角动量守恒时，因,J,常数，则,亦为常数，,这与转动定律是一致的。,2、定轴转动的角动量守恒若 Mz外0， 若外力对,47,3,、物体组内各质点以相同角速度绕同一轴转动时的角动量守恒,J,可变，,亦可变，但仍有,J,=,常数，故有,3、物体组内各质点以相同角速度绕同一轴转动时的角动量守恒,48,4,、刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒,总角动量,4、刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒 总角动量,49,解此题可分解为三个简单过程：,(1),棒由水平位置下摆至竖直位置但尚未与物块相碰,.,此过程机械能守恒,.,以棒、地球为一系统，以棒的重心在竖直位置时为重力势能零点，则有,例如图，质量为,m,，长为,l,的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴,O,转动,.,现将棒拉到水平位置,(,OA,),后放手，棒下摆到竖直位置,(,OA,),时，与静止放置在水平面,A,处的质量为,M,的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一段距离,s,后停止,.,设物体与水平面间的摩擦系数,处处相同，求证,解此题可分解为三个简单过程：(1)棒由水平位置下摆至竖直位,50,(2),棒与物块作完全弹性碰撞，此过程角动量守恒,(,并非动量守恒,),和机械能守恒，设碰撞后棒的角速度为,，物块速度为,v,，则有,(3),碰撞后物块在水平面滑行，其满足动能定理,联立以上四式，即可证得：,(2)棒与物块作完全弹性碰撞，此过程角动量守恒(并非动量守恒,51,平 动,转 动,动量,角动量,动量定理,角动量定理,动量守恒定律,角动量守恒定律,动能定理,动能定理,机 械 能 守 恒 定 律,条件： （或只有保守力作功）,质点平动与刚体定轴转动的对应关系,平 动,52,END,END,53,