单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,精选课件,*,三峡大学,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,1.4 平面的投影,一、平面的表示法,a,b,c,a,b,c,不在同一直线上的三个点,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,d,d,两平行直线,a,b,c,a,b,c,两相交直线,*,a,b,c,a,b,c,平面图形,1、用几何元素表示平面,直线及线外一点,精选课件,2.迹线表示法(见书本P33),空间平面与投影面的交线,叫平面的迹线。,平面P与H面的交线为,水平迹线P,H,，与V面的交线为,正面迹线P,V,，与W面的交线为,侧面迹线P,W,。,精选课件,平行,垂直,倾斜,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,二、平面的投影,平面/投影面,投影反映实形面,平面,投影面,投影积聚成直线,平面,投影面,投影类似原平面,精选课件,各种位置平面的投影(,三类七种情况,),投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,特殊位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，,垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,铅垂面(H),正垂面(,V,),侧垂面(,W,),水平面(/H),正平面,(/V,),侧平面,(/W),精选课件,V,W,H,P,P,H,铅垂面,投影特性：,1.,abc,积聚为一条线，与,OX,、,OY,H,的夹角,反映,、,角；,2.,a,b,c,、,a,b,c,为,ABC,的类似形；,A,B,C,a,c,b,a,b,a,b,b,a,c,c,c,1）投影面垂直面的投影,精选课件,V,W,H,Q,Q,V,正垂面,投影特性：,1.,a,b,c,积聚为一条线，与,OX,、,OZ,的夹角,反映,、,角；,2.,abc,、,a,b,c,为,ABC,的类似形。,a,b,a,b,b,a,c,c,c,A,c,C,a,b,B,精选课件,V,W,H,S,W,S,侧垂面,投影特性：,1、,a,b,c,积聚为一条线，与,OY,W,、,OZ,的夹角,反映,、,角,；,2、abc、,a,b,c,为,ABC,的类似形。,C,a,b,A,B,c,a,b,b,b,a,a,c,c,c,精选课件,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,2.另两个投影面上的投影有类似性。,是什么位置的平面？,投影特征,：一斜两类似,精选课件,V,W,H,水平面,投影特性：,1.,a,b,c,/OX,、,a,b,c,/OY,W，,分别,积聚为直线;,2.水平投影,abc,反映,ABC,实形,。,C,A,B,a,b,c,b,a,c,a,b,c,c,a,b,b,b,a,a,c,c,2）投影面平行面的投影,精选课件,正平面,V,W,H,投影特性：,1.,abc/OX,、,a,b,c,/OZ，,分别,积聚为直线；,2.正面投影,a,b,c,反映,ABC,实形。,c,a,b,b,a,c,b,c,a,b,a,c,a,b,c,b,c,a,C,B,A,精选课件,投影特性：,1.,abc,/,OY,Y,、,a,b,c,/OZ，,分别,积聚为直线；,2.侧平面投影,a,b,c,反映,ABC,实形。,侧平面,V,W,H,a,b,b,b,a,c,c,c,a,b,c,b,a,c,a,b,c,C,A,B,a,精选课件,a,b,c,a,b,c,a,b,c,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。,2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,投影特征,：两线一实形,精选课件,一般位置平面,投影特性,1.,abc、a,b,c,、a,b,c,均为,ABC的类似形；,2.不反映,、,、,的真实角度。,a,b,c,b,a,c,a,b,a,b,b,a,c,c,b,a,c,C,A,B,3）一般位置平面的投影（,三类似,）,精选课件,Q,H,R,V,例：用有积聚性的迹线表示下列平面：过直线AB的正垂面P；过点C的正平面Q；过直线DE的水平面R。,a,b,a,b,P,V,P,H,精选课件,b,a,c,水平,正垂,侧垂,投影面平行面:,两线一实形,投影面垂直面:,一斜两类似,精选课件,在平面内取直线的方法,定理一,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,定理二,若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,平面上取任意直线,三、平面上的直线和点,精选课件,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,a,d,m,n,n,m,d,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,精选课件,例2：在,平面ABC内,作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,10,c,a,b,c,a,b,唯一解！,精选课件,平面上取点,若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。,即：点在线上，则点在面上。,精选课件,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,b,a,c,c,a,k,b,k,面上取点的方法：,首先面上取线,a,b,c,a,b,k,c,d,k,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线(细实线)求解,精选课件,例2 已知,ABC,给定一平面,试判断点,D,是否属于该平面。,d,d,a,b,c,a,b,c,e,e,点D不属于平面ABC,d,d,a,b,c,a,b,c,e,e,点D属于平面ABC,精选课件,例3：作出三角形ABC平面内三角形DEF的水平投影。,d,e,求线先找两已知点，,求点先找已知线。,a,a,b,c,c,b,f,e,f,d,1,2,1,2,精选课件,四、相互垂直的两直线的投影特性,两直线同时平行于某一投影面时,，在该投影面上的投影反映直角。,两直线中有一条平行,于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。,两直线均为一般位置直线时,，在三个投影面上的投影不一定反映直角。,直角投影定理,a,c,b,a,b,c,.,即要在投影图中画垂直或判断垂直，必须有投影面平行线。,小结,精选课件,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面（三类似）,投影面垂直面（一斜两类似）,投影面平行面（两线一实形）,三个投影为边数相等的类似多边形。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线。,另外两个投影为类似多边形。,在其平行的投影面上的投影反映实形。,另外两个投影积聚为直线。,a,b,a,b,b,a,c,c,c,a,b,b,b,a,a,c,c,c,b,b,a,a,c,c,b,a,c,精选课件,二、平面上的点与直线(P27-30),平面上的点,一定位于平面内的某条直线上.,平面上的直线（,求线先找已知点,）,过平面上的两个点。,过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。,d,d,a,b,c,a,b,c,e,e,精选课件,1.5,直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括,平行、相交（垂直）。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,直线与平面平行,定理:,若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必平行。,即：将线面/，转化为线线/,精选课件,直线与平面平行,1.,当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影,平行于,平面的具有,积聚性,的同面投影，如图。,g,g,/,2.当直线与平面都为特殊情况且平行时，直线与平面的,积聚性投影,在同面投影上。,特殊情况：,精选课件,例1：过A点作平面平行于线段BC。,b,b,c,c,a,a,X,O,d,d,作图：ad/bc，,ad/bc,故，BC/平面DAF,分析：,线线/，则线面/；过A点做直线AD/BC。,f,f,可过A点任意作直线AF,精选课件,n,a,c,b,m,a,b,c,m,n,有无数解,分析:过M点作一条/平面内的任意直线的直线,即得.,例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。,精选课件,正平线,c,b,a,m,a,b,c,m,n,唯一解,n,分析:在平面ABC内作一条正平线,MN/此正平线,即得.,例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,精选课件,若一平面上的,两相交直线,对应平行于另一平面上的,两相交直线,，则这两平面相互平行。,若两,投影面垂直面,相互平行，则它们,具有积聚性,的那组投影必相互平行,。,f,h,a,b,c,d,e,f,h,a,b,c,d,e,c,f,b,d,e,a,a,b,c,d,e,f,2.两平面平行,/,精选课件,平行,举例,例 判断下列两平面是否平行,不平行,精选课件,直线与平面相交,平面与平面相交,直线与平面相交,(实物),直线与平面相交，其,交点,是直线与平面的,共有点，且交点,是直线与平面可见与不可见的,分界点。,要讨论的问题：,求,直线与平面的,交点。,判别两者之间的相互遮挡的,可见性。,我们只讨论直线与平面中至少,有一个元素处于特殊位置的情况,（直线特殊或者平面特殊）。,二、相交问题,精选课件,（1）.直线与平面相交（,平面为特殊位置）,V,H,P,H,P,A,B,C,a,c,b,k,N,K,M,精选课件,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,1.空间,及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性（V面）,由水平投影可知，,KN段在平面ABC前，故正面投影上,k,n,为可见。,再根据:,交点是可见与不可见的分界点,，求得k,m,上一段不可见。,还可通过重影点判别可见性。,k,1,(,2,),2.作图,k,2,1,抓住交点是共有点的特点,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性,精选课件,（2）直线为特殊位置,精选课件,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,1.空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性（V面）用重影点判断,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故,k,2,为不可见,。,1,(,2,),k,2,1,2.作图,用面上取点法,精选课件,两平面相交,(实物),两平面相交其交线为直线，,交线是,两平面的,共有线，,同时,交线上的点,都是两平面的,共有点，交线,是两平面可见与不可见的,分界线。,要讨论的问题：,求两平面的交线,方法：,确定两平面的,两个共有点。,确定,一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况（即两种情况：一个平面处于特殊，两个平面都处于特殊）。,判别两平面之间的相互遮挡的,可见性。,精选课件,（1）两平面都为特殊平面,精选课件,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m,(,n,),1.空间及投影分析,平面ABC与DEF都为,正垂面,，它们的正面投影都积聚成直线。,交线必为一条正垂线,。,求交线,判别可见性（H面）,2.作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,n,m,例1：求两平面的交线MN，并判别可见性。,精选课件,V,H,（2）.其中一平面为特殊平面,F,B,A,C,E,H,a,b,c,M,N,m,n,P,精选课件,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1.,空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。,a,b,与,e,f,h,的交点,m,、,b,c,与e,f,h,的交点,n,即为两平面的两个共有点的正面投影，故,m,n,是MN的正面投影,。,求交线,判别可见性(H面),m,n,b在efh上面，,故水平投影mnb可见，其他可见性可根据投影特点得出。,2.作图,m,n,n,m,（2）.其中一平面为特殊平面（求交线MN）,精选课件,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的