单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,第1页/共39页,第1页/共39页,1,如图,一架救援飞机在离灾区地面,500m,高处以,100m/s,的速度作水平直线飞行,.,为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面,(,不记空气阻力,),飞行员应如何确定投放时机呢？,友情提示：,即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？,？,救援点,投放点,创造情境,第2页/共39页,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速,2,x,y,500,O,分析,:,物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成：,（,1,）沿,O,x,作初速为,100m/s,的匀速直线运动；,（,2,）沿,O,y,反方向作自由落体运动,.,创造情境,如图,一架救援飞机在离灾区地面,500m,高处以,100m/s,的速度作水平直线飞行,.,为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面,(,不记空气阻力,),飞行员应如何确定投放时机呢？,第3页/共39页,xy500O分析:物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成,3,x,y,500,o,如图,一架救援飞机在离灾区地面,500m,高处以,100m/s,的速度作水平直线飞行,.,为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面,(,不记空气阻力,),飞行员应如何确定投放时机呢？,第4页/共39页,xy500o如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以10,4,（,1,）,且对于,t,的每一个允许值,由方程组,(1),所确定的点,M(,x,y,),都在这条曲线上,则方程,(1),就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x ,y,的变数,t,叫做参变数,简称参数,.,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。,1,、参数方程的概念：,一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x,y,都是某个变数,t,的函数,第5页/共39页,（1） 且对于t 的每一个允许值, 由方程组,5,关于参数几点说明：,参数是联系变数,x, y,的桥梁,参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义；,2.,同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样,;,3.,在实际问题中要确定参数的取值范围,;,第6页/共39页,关于参数几点说明： 参数是联系变数 x, y 的桥梁,第6页,6,一架救援飞机以,100m/s,的速度作水平直线飞行,.,在离灾区指定目标水平位移为,1000m,时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速度,g=10m/s,）,问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到,1m,）,变式练习,:,x=100t=1000,t=10,y=gt,2,/2=1010,2,/2=500m.,第7页/共39页,一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指,7,例,1:,已知曲线,C,的参数方程是,（,1,）判断点,M,1,(0, 1),，,M,2,(5, 4),与曲线,C,的位置关系；,（,2,）已知点,M,3,(6,a,),在曲线,C,上,求,a,的值。,解：,(1),把点,M,1,的坐标,(0,1),代入方程组，解得,t=0,，所以,M,1,在曲线上,把点,M,2,的坐标,(5,4),代入方程组，得到,(2),因为点,M,3,(6,a),在曲线,C,上，所以,解得,t=2, a=9,所以，,a=9.,这个方程组无解，因此点,M,2,不在曲线上,第8页/共39页,解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得,8,练习,1,、曲线,与,x,轴的交点坐标是,( ),B,A(1,，,4),；,B (25/16, 0) C(1, -3) D(25/16, 0),2,、方程,所表示的曲线上一点的坐标是,( ),D,A(2,，,7),；,B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1,，,0),A,B,C,D,3,.,下列在曲线,上的点是,( ),B,第9页/共39页,练习 1、曲线与x轴的交点坐标是( )BA(1，4)；,9,3.,已知曲线,C,的参数方程,且点,M(5,4),在该曲线上,.,（,1,）求常数,a;,（,2,）,求曲线,C,的普通方程,.,解,:,(1),由题意可知,:,1+2t=5,at,2,=4,解得,:,a=1,t=2,a=1,(2),由已知及,(1),可得,曲线,C,的方程为,:,x,=1+2t,y,=t,2,由第一个方程得,:,代入第二个方程得,:,故所求曲线的普通方程为（,x,-1),2,= 4,y,第10页/共39页,3.已知曲线C的参数方程 解:(1)由题意可知: 1,10,4.,已知动点,M,作匀速直线运动,它在,x,轴和,y,轴方向的速度分别为,5,和,12 ,运动开始时位于点,P(1,2),求点,M,的轨迹参数方程。,解：设动点,M (,x,y,),运动时间为,t,，依题意，得,所以，点,M,的轨迹参数方程为,A,一个定点,B,一个椭圆,C,一条抛物线,D,一条直线,D,第11页/共39页,4.已知动点M作匀速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度分别,11,（,1,）建立直角坐标系,设曲线上任一点,P,坐标为,(,x,y,);,（,2,）选取适当的参数,;,（,3,）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义等,建立点,P,坐标与参数的函数式,;,（,4,）证明这个参数方程就是所求的曲线的参数方程,.,参数方程求法,第12页/共39页,（1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为(x,y);,12,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x,，,y,都是某个变数,t,的函数,（,1,）,并且对于,t,的每一个允许值，由方程组（,1,）所确定的点,M(,x,y,),都在这条曲线上，,那么方程（,1,）就叫做这条曲线的参数方程，,系变数,x,y,的变数,t,叫做参变数，简称参数。,课堂小结,第13页/共39页,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（1）并,13,圆的参数方程,第14页/共39页,圆的参数方程第14页/共39页,14,y,x,o,r,M(x, y),圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，,怎样刻画运动中点的位置呢？,第15页/共39页,yxorM(x, y) 圆周运动中，当物体绕定轴作匀,15,那么,=t.,设,|OM|=r,，那么由三角函数定义，有,如果在时刻,t,，点,M,转过的角度是,，坐标是,M(x, y),，,即,这就是圆心在原点,O,，半径为,r,的圆的参数方程,参数,t,有物理意义,(,质点作匀速圆周运动的时刻,),考虑到,=t,，也可以取,为参数，于是有,第16页/共39页,那么=t. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有如,16,圆心为原点，半径为,r,的圆的参数方程为：,其中参数,的几何意义是,OM,0,绕点,O,逆时针旋转到,OM,的位置时，,OM,0,转过的角度,第17页/共39页,圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程为： 其中参,17,例1,如图,圆,O,的半径为,2,，,P,是圆上的动点，,Q(6,0),是,x,轴上的定点，,M,是,PQ,的中点，当点,P,绕,O,作匀速圆周运动时，求点,M,的轨迹的参数方程。,y,o,x,P,M,Q,解：设点,M,的坐标是,(x, y),则点,P,的坐标是,(2cos,2sin,).,由中点坐标公式可得,因此，点,M,的轨迹的参数方程是,第18页/共39页,例1 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动,18,.,5,已知点,P,是圆 上一个动点,定点,A(12, 0),，,点,M,在线段,PA,上，且,2|PM|=|MA|,，当点,P,在圆上运动,时，求点,M,的轨迹,解：设点,M,的坐标是,(x, y),则点,P,的坐标是,(4cos,4sin,).,2|PM|=|MA|, ,由题设,(x-12, y)=,因此，点,M,的轨迹的参数方程是,第19页/共39页,.5 已知点P是圆,19,圆心为 ，,半径为,r,的圆的参数方程,一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，,另外，要注明参数及参数的取值范围。,解：,x,2,+y,2,+2x-6y+9=0,化为标准方程, (x+1),2,+(y-3),2,=1,参数方程为,(,为参数,),例2,已知圆方程,x,2,+y,2,+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。,第20页/共39页,圆心为 ，半径为r 的圆的参数,20,练习：,第21页/共39页,练习：第21页/共39页,21,例,3,已知,x,、,y,满足,求,的最大值和最小值,解：由已知得：圆的参数方程为,第22页/共39页,例3 已知x、y满足,求的最大值和最小值解：由已知得：,22,2,点,P(x, y),是曲线,为参数,),上任意一点，则,的最大值为,( ),A 1 B 2 C D,练习,1 P(x, y),是曲线,(,为参数,),上任意一点,则,的最大值为,( ),A,A,36 B,6 C,26 D,25,D,法二：数形结合（把参数,方程表示的圆画出来）,法一：直接代入（应用,辅助角公式）,(,为参数,),上任意一点,则,3,点,P(x, y),是曲线,的最大值为,.,第23页/共39页,2 点P(x, y)是曲线为参数)上任意一点，则的最大值为,23,4,圆,的圆心的轨迹是,( ),A,圆,B,直线,C,椭圆,D,双曲线,A,第24页/共39页,4 圆的圆心的轨迹是( )A第24页/共39页,24,参数方程和普通方程的互化,第25页/共39页,参数方程和普通方程的互化 第25页/共39页,25,把它化为我们熟悉的普通方程，有,cos=x-3, sin=y;,于是,(x-3),2,+y,2,=1,，,轨迹是什么就很清楚了,在课本例2中，由参数方程,直接判断点,M,的轨迹是什么并不方便，,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x,，,y,的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的,.,把参数方程化为普通方程：,第26页/共39页,把它化为我们熟悉的普通方程，有 在课本例2中,26,第27页/共39页,第27页/共39页,27,这是以 、 为端点的一段抛物线弧,第28页/共39页,这是以 、 为端点,28,(1),(2),(3),x=t+1/t,y=t,2,+1/t,2,(1) (x-2),2,+y,2,=9,(2) y=1- 2x,2,（,- 1x1,）,(3) x,2,- y=2,（,x2,或,x- 2,）,练习、,将下列参数方程化为普通方程：,步骤：,（,1,）消参； （,2,）求定义域。,因为表示整支圆，所以不需要再限定范围,第29页/共39页,(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1),29,练习 将下列参数方程化为普通方程,(2),第30页/共39页,练习 将下列参数方程化为普通方程(2)第30页/共39页,30,B,例,2,求参数方程,表示（ ）,（,A,）双曲线的一支,这支过点（,1, 1/2,）,;,（,B,）抛物线的一部分,这部分过（,1, 1/2,）,;,（,C,）双曲线的一支,这支过点（,1, 1/2);,（,D,）抛物线的一部分,这部分过（,1, 1/2).,第31页/共39页,B例2 求参数方程表示（ ）（A）双曲线的一支,31,参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：,1.,代入法：,利用解方程的技巧求出参数,t,然后代入消去参数,2.,三角法：,利用三角恒等式消去参数,3.,整体消元法：,根据参数方程本身的结构特征,整体上消去,化参数方程为普通方程为,F(x,y)=0,：在消参过程中注意,变量,x,、,y,取值范围的一致性,，必须根据参数的取值范围，确定,f(t),和,g(t),值域得,x,、,y,的取值范围。,小 结,第32页/共39页,参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方,32,普通方程化为参数方程：,普通方程化为参数方程需要引入参数：,如：直线,l,的普通方程是,2x-y+2=0,，可以化为参数方程,:,一般地,如果知道变量,x, y,中的一个与参数,t,的关系,例如,x=f(t),，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数,t,的关系,y=g(t),，那么,:,就是曲线的参数方程。,在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x, y,的取值范围保持一致,第33页/共39页,普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程需要引入参数：如：,33,第34页/共39页,第34页/共39页,34,第35页/共39页,第35页/共39页,35,在,y=x,2,中，,xR, y0,，,因而与,y=x,2,不等价；,练习,:,曲线,y=x,2,的一种参数方程是（ ）,.,在,A,、,B,、,C,中，,x, y,的范围都发生了变化，,而在,D,中，,x, y,范围与,y=x,2,中,x, y,的范围相同，,代入,y=x,2,后满足该方程，,从而,D,是曲线,y=x,2,的一种参数方程,.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x,，,y,的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的,.,解：,第36页/共39页,在y=x2中，xR, y0，因而与 y=x2不等,36,练习 将下列参数方程化为普通方程,(2),第37页/共39页,练习 将下列参数方程化为普通方程(2)第37页/共39页,37,(1),，设,，,t,为参数；,(2),，设,，,为参数。,练习 把下列普通方程化为参数方程：,第38页/共39页,(1)，设，t为参数；(2)，设，为参数。练习 把下列,38,感谢您的观看！,第39页/共39页,感谢您的观看！第39页/共39页,39,