,单击此处编辑母版标题样式,7/8/2015,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,4,章,静定结构,位移计算,第4章,第,4,章,静定结构,位移,计算,学习内容,学习目的和要求,4.1,概述,4.2,变形,体系的,虚功原理,4.3,单位,荷载法计算,位移,4.4,荷载,作用下的位移,计算,4.5,图乘法,4.6,静定结构,在非荷载因素作用下的位移,计算,4.7,线,弹性体系的互等定理,领会,变形,体系虚功,方程。,掌握,实功与虚功、广义力与广义位移确 定，掌握非荷载,因,素,作用下的位移计算；线弹性体系互等定理,；,熟练,掌握荷载产生的位移计算、用图乘法求位移。,第4章 静定结构位移计算学习内容学习目的和要求4.1 概述,2,4.1,概,述,由于,变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为,结构的位移,。,引起,位移的原因除荷载外，还有温度变化、支座位移、材料收缩、制造误差等因素,。,4.1 概 述 由于变形，结构上各点的位置将,4.1.2,计算结构位移的目的,计算,结构位移的目的主要有以下,三个方面,：,1.,计算结构变形、验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值。,2.,为计算超静定结构打下基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，考虑变形协调条件必须计算结构的位移。,3.,在施工过程中应用。在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。,在,结构力学中计算结构位移的一般方法是以虚功原理为基础的。本章先介绍虚功原理，然后讨论在荷载等外界因素的作用下静定结构位移的计算方法。,4.1.2 计算结构位移的目的,4.1.3,基本假定,在计算结构位移时，为了使计算简化，通常采用以下几个假定：,1,）结构的材料在线弹性范围内工作，且符合胡克定律，即应力与应变成线性关系。,2,）结构的位移是微小的，不影响变形后荷载的作用位置。,符合,上述假定的结构体系称为线弹性变形体系。由于线弹性体系的位移与荷载成比例，因此在计算位移时可以应用叠加原理。对于实际结构的位移计算，按照上述假定的结果精确度是满足要求的。,对于,位移与荷载不成比例的体系称为非线性变形体系。线性变形体系和非线性变形体系统称为变形体系。这里只讨论线性变形体系。,4.1.3 基本假定,4.2,变形,体系的虚功原理,4.2.1,功、实功与虚功,一,个不变的集中力的值与其作用点沿其作用线方向所发生的位移的乘积称为功。如图,4-3,所示，大小和方向都不变的集中力,F,在其作用下产生的位移,上,所做的功,W,为：,这样的功通常称为常力功。,位移是由做功的力本身所引起的，则所做的功称为实功,。,这样的功常称为外力实功,。,4.2 变形体系的虚功原理4.2.1功、实功与虚功这样的功通,而,当做功的力与相应位移彼此独立无关时，也就是力在不是由它本身引起的位移上做功，则所做的功称为虚功,，简支梁,在,C,点因,F,作用而达到实曲线平衡位置后，如果由于各种原因（如其他荷载或温度变化等）使梁继续发生微小变形到虚线位置，力对相应位移所做的功就是虚功，即虚功为,:,式中，,C,点的位移,不是,由力,F,所引起的。做功时力,F,大小和方向是保持不变的，这样的功常称为外力虚功。,而当做功的力与相应位移彼此独立无关时，也就是,从以上可以看出实功和虚功的主要区别有：,（,1,）实功是指力在自身所引起的位移上所作的功；虚功是指力在其他原因引起的位移上所作的功。,（,2,）做实功时，力与位移是逐渐增加的，系数,为,；做虚功时，力始终保持常量，系数为,1,。,（,3,）实功恒为正；虚功可正可负。,从以上可以看出实功和虚功的主要区别有：,4.2.2,广义力与广义位移,在,虚功中，力和,位移是,分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，其中力系所属的状态称为力状态或第一,状态，,位移所属状态称为位移状态或第二,状态。,如果,一组力经历相应的位移做功，结果可表示为式（,4-3,）的形式。即一组力可以用一个符号,F,表示，相应的位移也可用一个符号 表示，这种力和位移分别称为,广义力,和,广义位移,，这里的,广义位移是,与,广义力相,对应的。,4.2.2广义力与广义位移 在虚功中，力和位移,4.2.3,虚功原理,变形体系的虚功原理,：,体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有外力做的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形上作的虚功总和，即：,式中，,体系的外力虚功,体系的内力虚功,这里，几何可能的位移和变形是指位移和变形是微小的，约束条件允许的位移，变形是协调的。,虚功原理有两种情况，一种是虚设位移求力，称为,虚位移原理,；一种是虚设力系求位移，称为,虚力原理,。本章主要应用虚力原理来求静定结构的位移，采用的方法是,单位荷载法,。,4.2.3虚功原理,4,.3,单位,荷载法计算位移,外力虚功为：,4.3 单位荷载法计算位移外力虚功为：,图,d,微段的内力在,图,c,微段变形上所作的内力虚功为,：,结构所有微段内力虚功的和为,根据虚功原理,有,可,得,平面杆件结构位移计算的一般公式,该公式形式上是虚功方程，实质上是一个几何方程，该公式只适用于小变形的情况。,图d微段的内力在图c微段变形上所作的内力虚功为：结构所有微段,这种,利用虚功原理，沿所求位移方向虚设单位荷载（,F=1,）求结构位移的方法，称为单位荷载法。应用这种方法，每次可以计算一个位移。求位移时首先要虚设力状态，在所求位移地点沿所求位移方向加一个单位荷载，单位荷载的方向自定，如果所求位移结果为正值，即表示实际位移方向与虚设的单位力方向相同，为负则相反。,单位,荷载法不仅可以用于计算结构的线位移，还可以计算任意的广义位移，只要虚设的单位荷载与所计算的广义位移相对应即可,。,这种利用虚功原理，沿所求位移方向虚设单位荷载,几种与所求位移对应的虚设力,状态,几种与所求位移对应的虚设力状态,虚功原理求位移的计算,步骤,：,把在任何实际因素作用下的结构作为第二状态，即实际位移状态。,根据问题的要求，在结构上欲求位移处沿欲求位移的方向，加一单位集中力，作为第一状态，即虚设力状态。,计算虚设力状态的外力、内力在实际状态的位移和变形上所作的外力虚功和内力虚功，带入虚功方程，即得所求位移。,虚功原理求位移的计算步骤：,4.4,荷载,作用下的位移,计算,4.4.1,荷载,作用下位移计算的一般公式,现在,讨论结构在荷载作用下的位移计算方法。如果结构只承受荷载作用，且不考虑支座位移等非荷载因素的影响，则公式（,4-5,）可转化为,由材料力学可知,，,代入,得到,平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,4.4 荷载作用下的位移计算4.4.1 荷载作用下位移计算,（,1,）梁和,刚架,（,2,）,桁架,（,3,）,组合结构,（,4,）,拱,（1）梁和刚架（2）桁架（3）组合结构（4）拱,4.4.2,荷载作用下的位移计算示例,例,4-1,试计算,图,a,所示悬臂梁,A,点的竖向位移，,EI,为常数。,解,：（,1,）在,A,点加一竖向单位荷载作为虚设力状态如图,4-9b,所示。由于实际荷载作用分段，所以应分段列内力方程。,AC,段,BC,段,4.4.2荷载作用下的位移计算示例例4-1试计算图a所示悬臂,（,2,）实际,荷载作用下的内力方程为,AC,段,BC,段,（,3,）计算位移。,AC,段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零，所以只需计算,BC,段,。,设杆件截面为矩形,k,=1.2,。,（2）实际荷载作用下的内力方程为AC段（3）计算位移。AC段,（,4,）讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响。,设材料的泊松比,为,，则由材料力学知识得,。,设矩形截面的宽度为,b,、高度为,h,，则,有 ，,代入上式得,可见,，受弯杆件在计算位时，剪切变形的影响,可以忽略不计。,（4）讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响。设材料的泊松比为,例,4-2,试求图,4-10a,所示曲杆（,1/4,圆弧，圆弧半径,R,）顶点的竖向位移,y,。,解：（,1,）虚设力状态如图,4-10b,所示，曲杆内力方程为,（,2,）曲杆在实际荷载作用下的内力方程为,例4-2试求图4-10a所示曲杆（1/4圆弧，圆弧半径R）顶,（,3,）由位移计算公式（,4-7,）得,（,4,）讨论,常用的钢筋混凝土结构,G0.4E,，设杆件截面为矩形,k=1.2,，,I/A=h2/12,。,如果,则,（3）由位移计算公式（4-7）得（4）讨论如果 则,例,4-3,求,图,4-11,所示等截面梁,B,端的转角。,解：（,1,）虚设力状态如图,4-11b,所示，内力方程为,（,2,）实际荷载作用下必须分段进行计算内力，内力方程为,（,3,）由位移计算公式（,4-7,）得,（,）,例4-3 求图4-11所示等截面梁B端的转角。解：（1）虚设,4.5,图,乘法,计算受弯杆件组成结构的位移时，经常遇到如下的积分式,其条件是：杆件轴线为直线；,EI,为常数； 和,MP,图中至少有一个为直线图形。对于等截面直杆，上述的前两个条件自然能被满足。至于第三个条件，虽然在均布荷载作用下，其,MP,图为曲线图形，但 图却总是由直线段组成的，只要分段考虑就可得到满足。于是，对由等截面直杆所组成的结构，在位移计算中，均可采用图乘法来代替积分运算，从而简化计算工作。,4.5 图乘法计算受弯杆件组成结构的位移时，经常遇到如下的,等,截面直杆,AB,的两个弯矩图，其中,图为直线图形,，,图为任意形状。建立以杆轴线为,x,轴的坐标系,xoy,，则积分式,中,ds,可用,dx,代替，,EI,为常数可提到积分号外,，,图,为直线图形，,有,tan,为常数,等截面直杆AB的两个弯矩图，其中 图为直线图形，,根据,合力矩定理，它应等于,M,P,图的面积,乘以其形心到,y,轴的距离,x,C,即,有,由直线 图可知，,x,C,tan=y,C,，,y,C,是,MP,图的形心对应于 图中的竖标。故可得,若结构所有杆件都符合图乘法的条件，则公式（,4-8,）可以写为,图,乘法计算位移所使用的,公式,根据合力矩定理，它应等于MP图的面积乘以其形心到y轴的距离,应用,图乘法计算时要注意以下几点：,（,1,）应用条件：杆件应是等截面直杆，两个弯矩图中至少一个是直线图形组成的，竖标,yC,应取自直线图形中。,（,2,）符号规定：面积,与竖标,y,C,在杆件的同一侧时，乘积,yC,取正号，反之,取负号。,几种常见图形的面积和形心的位置：,应用图乘法计算时要注意以下几点：几种常见图形的面积和形心的位,应用,图乘法时，如遇到弯矩图的形心位置或面积不便于确定的情况，我们可将该图形分解为几个易于确定形心位置或面积的部分，并将这些部分分别与另一图形相乘，将所得结果相加，即得两图相乘之值。常见有以下几种情况。,（,1,）如图两个图形都是直线图形，则竖标,yC,可取自其中任一图形。,（,2,）如果一个图形是曲线。另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分段考虑,。,应用图乘法时，如遇到弯矩图的形心位置或面积不,（,3,）如果两个图形都是,梯形，,可以把梯形分为两个三角形（也可分为一个矩形和一个三角形）。分别应用图乘法。因此,（,4-14,）,其中竖标,y1,和,y2,可用下式计算,（,4-15,）,（3）如果两个图形都是梯形，可以把梯形分为两个三角形（也可分,结构力学-教学ppt课件-第4章静定结构位移计算,图,4-19a,所示为一直杆,AB,在均布荷载,q,作用下的比较复杂的,M,P,图。由叠加法可知，,M,P,图是由两端弯矩,MA,、,MB,组成的直线图（图,4-19b,的,M,图）和简支梁在均布荷载,q,作用下的弯矩图（图,4-19c,的,M,图）叠加而成。因此可将图,a,中的,M,P,图分成图,b,和,c,的两个简单图形,M,图和,M,图，分别应用图乘法。,图4-19a所示为一直杆AB在均布荷载q作用下的比较复杂的M,例,4-4,试用图乘法求,图,a,所示简支梁,A,端的角位移和截面,C,的竖向位移，,EI,为常数,。,解,：分别,作出实际位移状态和两个虚设力状态的弯矩图如,图,b,、,c,、,d,所示。,将图,4-20b,与图,4-20c,相图乘，则有,将,图,b,与,图,d,相图乘，则有,（ ）,例4-4试用图乘法求图a所示简支梁A端的角位移和截面C的竖向,例,4-5,试用图乘法计算,图,a,所示悬臂梁,B,端的转角和竖向位移，,EI,为常数。,解：计算,B,端竖向位移虚设力状态如,图,c,，计算,B,端转角虚设力状态如,图,d,。分别作出荷载作用下和两个虚设力状态的弯矩图如,图,b,、,c,、,d,所示。,将,图,b,与,图,c,相图乘，则有,将图,b,与图,d,相图乘，则有,例4-5试用图乘法计算图a所示悬臂梁B端的转角和竖向位移，E,例,4-6,试用图乘法求,图,a,所示简支梁中点的竖向位移，,EI,为常数。,解,：分别,作出荷载作用下和虚设力状态的弯矩图如,图,b,、,c,。,MP,图是分段图形，所以图乘时应分三段计算。将图,4-22b,与图,4-22c,相图乘，则有,例4-6试用图乘法求图a所示简支梁中点的竖向位移，EI为常数,例,4-7,试用图乘法,求右图所,示刚结点,B,的水平位移，并分析轴向变形对位移的影响。设各杆件截面均为矩形，截面面积为,A=bh,，惯性矩为,I,，弹性模量为,E,。,解：（,1,）作实际位移状态的,MP,图如,图,b,。,（,2,）虚设力状态并作相应的 图如,图,c,。,（,3,）利用图乘法计算位移。,MP,图取面积， 图取竖标,。则,例4-7试用图乘法求右图所示刚结点B的水平位移，并分析轴向变,结构力学-教学ppt课件-第4章静定结构位移计算,（,4,）轴向变形对,B,点水平位移的,影响,与只考虑弯曲变形引起的位移相比，两者的比值为,将矩形截面的,A=bh,和,I=b(h,3,/12,）代入上式得,如果 ，,则,。,可见，轴向变形对位移的影响比弯曲变形对位移的影响小得多，可忽略不计。,（4）轴向变形对B点水平位移的影响与只考虑弯曲变形引起的位移,例,4-8,试用图乘法求,图,a,所示刚架,A,、,B,两点的相对水平线位移，,EI,为常数。,解,：分别,作出荷载作用下弯矩图和虚设力状态的,弯矩图。,AD,、,BC,杆件可直接图乘；,CD,杆件图乘时要分成两部分，图乘后相加,。,例4-8试用图乘法求图a所示刚架A、B两点的相对水平线位移，,叠加可得,A,、,B,两点的相对水平线位移为,计算结果为负值，说明,A,、,B,两点实际的相对水平线位移与虚设的单位荷载的指向相反，即,A,、,B,两点是相互靠近的。,叠加可得A、B两点的相对水平线位移为计算结果为负值，说明A、,4.6,静定结构,在非荷载因素作用下的位移,计算,4.6.1,静定结构,支座位移时的位移计算,静定结构,在支座位移时，不会产生内力和变形，因而,d,、,du,、,ds,均为零，带入静定结构位移计算一般公式（,4-5,）中,可得,式,(4-17),为静定结构在支座位移时的位移计算公式，式中 是虚设力状态时的支座反力，,c,为结构实际的支座位移， 为支座反力虚功，当 与,c,方向一致时其乘积取正，反之为负。此外，公式中带有一个负号，计算时千万不要漏掉。,4.6 静定结构在非荷载因素作用下的位移计算4.6.1,例,4-9,如图所,示刚架支座,B,垂直下沉,a,，水平移动,b,，试求由此引起的铰,C,两侧截面的相对转角。,解：虚设力状态,如右下图所,示。由整体平衡计算支座反力。,取右半刚架为隔离,体,，,得,例4-9 如图所示刚架支座B垂直下沉a，水平移动b，试求,4.6.2,静定结构,温度变化时的位移计算,一,个长度为,ds,的微段，截面高度为,h,，轴线到上下边的距离分别为,h,1,和,h,2,。若杆件上侧温度变化为,t,1,，下侧温度变化为,t,2,，设,t,2,t,1,，温度沿截面高度线性变化，则上下两侧的温度差为 ，轴线上的温度变化为,4.6.2 静定结构温度变化时的位移计算,当杆件截面对称于形心轴时，即,，则有,如果材料的线膨胀系数为,，则中性轴的伸长为,t,0,ds,，上下两侧边缘的伸长分别为,t,1,ds,和,t,2,ds,，因此得到微段的中性轴伸长为,微段两端截面的相对转角为,当杆件截面对称于形心轴时，即,温度,变化不引起剪切变形，因而,，将上述各物理量代入到静定结构位移计算一般公式（,4-6,）得,若杆件为等截面杆，则,对于桁架结构，不需考虑弯矩项，计算位移时可用下式,温度变化不引起剪切变形，因而,例,4-10,求,图,a,所示刚架,C,点的竖向位移。各杆件截面为矩形，截面高度为,h,，材料的线膨胀系数为,，温度变化如图所示。,解：（,1,）虚设力状态如,图，分别,作虚设力状态时的轴力图和,弯矩图,（,2,）计算温度变化量，外侧温度变化,t1=0,，内侧温度变化,t2=10,，截面为矩形截面，则,（,3,）计算位移。实际温度变化使刚架内侧受拉，而虚设力状态使刚架外侧受拉，因此,例4-10求图a所示刚架C点的竖向位移。各杆件截面为矩形，截,4.7,线,弹性体系的互等,定理,互,等定理应用的条件是：,（,1,）材料处于弹性阶段，应力与变形成正比。,（,2,）结构变形很小。,4.7.1,功的互等,定理,以,M,2,、,F,N2,、,F,Q2,F,2,所产生的各项内力，对应的变形为,设以,M,1,、,F,N1,、,F,Q1,代表,F,1,所产生的各项内力，则对应的变形为,4.7 线弹性体系的互等定理互等定理应用的条件是：4.7.,把,第一状态作为力的状态，把第二状态作为位移状态，则第一状态的外力在第二状态的位移上所作的外力虚功,为,第一状态的内力在第二状态的变形上所作的内力虚功为,把第一状态作为力的状态，把第二状态作为位移状,则由虚功原理有：,把,第二状态作为力的状态，把第一状态作为位移状态，则第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功为,第二状态的内力在第一状态的变形上所作的内力力虚功为,则由虚功原理有：,则由虚功原理有： 把第二状态作为力的状态，把第,可见,，等号右边项是相等的，因而左边也相等。可得：,也可写成：,式,（,4-24,）或式（,4-25,）既是功的互等原理，可叙述如下：第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。,可见，等号右边项是相等的，因而左边也相等。可得：,4.7.2,位移互等原理,应用,上述功的互等定理，来看一种特殊的情况。设两个状态中的荷载为单位集中力，即,F,1,=F,2,=1,，如图,4-29,所示。,由功的互等定理式,4-24,可得：,式中， 和 都是由单位力引起的，为了便于识别，用小写字母 和 表示，于是有：,式（,4-26,）即为位移互等定理。即第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移等于第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移。,通常,称为位移影响系数。,4.7.2位移互等原理由功的互等定理式4-24可得：,4.7.3,反力互等定理,反,力互等定理也是功的互等定理的一种特殊情况。它用来说明超静定结构在两个支座分别产生单位位移时，两种状态中反力的互等关系。,由,功的互等定理有：,如果支座发生的位移都为单位位移，即,c,1,=c,2,=1,，可得,这里的,F,R12,和,F,R21,都是由单位力引起的，为了便于识别，用小写字母,r,12,和,r,21,表示，于是有：,4.7.3反力互等定理由功的互等定理有：,