单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2024/11/18,1,第三章 三角恒等变换,3.1.1,两角差的余弦公式,2023/9/211第三章 三角恒等变换 3.1.1,2024/11/18,2,A,C,D,B,45,45,67,30,x,2023/9/212ACDB45456730 x,2024/11/18,3,某城市的电视发射塔建在市郊,的一座小山上,.,如图所示,小山高,BC,约为,30,米,在地平面上有一,点,A,测得,A,、,C,两点间距离约为,67,米,从,A,观测电视发射塔的视,角,(CAD),约为,45.,求这座电,视发射塔的高度,.,A,B,C,D,30,67,45,章头图给出的问题,2023/9/213某城市的电视发射塔建在市郊ABCD306,2024/11/18,4,设电视发射塔高,x,米，,CAB,则,在直角三角形,ABD,中，,得,于是，,解方程,A,B,C,D,30,67,45,x,因此,求发射塔的高度只需求,2023/9/214设电视发射塔高x米，CAB,2024/11/18,5,3.1.1,两角差的余弦公式,如何用任意角,的正弦、余弦值 来表示,cos(-),呢？,探究,问题,1:,你认为,cos(,-,)=cos,-,cos,成立吗,?,第一步：探求表示结果,探究,过程,第二步：对结果的正确性加以证明,cos(,),究竟可以表示成什么样子？,猜想：,问题,2:,你认为,cos(,-,)=cos,cos+sin,sin,成立吗,?,2023/9/2153.1.1 两角差的余弦公式 如何用任,2024/11/18,6,在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单位圆的交点为 ，等于角 与单位圆交点的横坐标，也可以用角 的余弦线来表示,大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来,.,）,探究过程：,y,O,x,P,1,M,2023/9/216在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设,2024/11/18,7,尝试探索：,O,x,y,作角,P,1,P,1,O,x,=,，,P,POP,1,=,，,则,PO,x,=,-,2023/9/217尝试探索：Oxy作角P1P1Ox=,2024/11/18,8,O,x,y,作角,P,POP,1,=,，,则,PO,x,=,-,找线,P,1,P,1,O,x,=,，,尝试探索：,cos(,-,),C,os,cos sin,sin,A,PAOP,1,B,ABx,轴,PAB=P,1,O,x,=,PCAB,C,PC,OB,C,os,OA sin,AP,BM,OB+BM,M,OM,PMOX,+,+,+,=,2023/9/218Oxy作角PPOP1=，则POx,2024/11/18,9,O,x,y,P,1,P,M,A,B,C,即,:,以上结果为,、,、,-,均为锐角，且,的情况下得到的，此式是否对任意角都成立呢？,cos(,-,)=cos,cos+sin,sin,思考？,2023/9/219OxyP1PMABC即:以上结果为、,2024/11/18,10,探究,2,对任意,，如何证明它的正确性？,cos(-)=coscos+sinsin,于是,OA=(cos,sin),怎样用向量数量积的运算,和定义得到结果？,OB=(cos,sin),结合图形，思考应选用哪几个向量？,y,O,x,A,B,看能否用向量的知识进行证明？,结合向量的数量积的定义和向量的工具性，,以上推导是否有不严谨之处？若有，请作出补充。,2023/9/2110探究2对任意,，如何证明它的正确性,2024/11/18,11,称为差角的余弦公式。,于是，对于任意角,，,都有,cos(-)=coscos+sinsin,当,-,为任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角,0,2,),使,cos,=,cos(,-,),简记为,C,(,-,),则,OA,OB,=,cos(2,-,),=,cos,=,cos(-),y,y,O,x,A,B,若,0,则,OA,OB=cos,=,cos(,-,),2,-,则,2,-,(0,）,若,(,2,）,O,x,B,A,2023/9/2111称为差角的余弦公式。于是，对于任意角,2024/11/18,12,cos(-)=coscos+sinsin,观察：公式有何特征？如何记忆？,.,公式的结构特征,:,左边是差角,的余弦,右边单角,、,的余弦积与正弦积的和,即,同名,三角函数,积,的,和,.,2.,差角,余弦：,符号不同积同名,cos(,-,)=coscos,+,sinsin,谐音记忆为,:,烤烤晒晒符号反,注意,2023/9/2112cos(-)=coscos+s,2024/11/18,13,应用,分析：怎样把,15,表示成两个特殊角的差？,解法,1:,例,1.,利用差角余弦公式求,cos15,的值,.,2023/9/2113应用分析：怎样把15表示成两个特殊角,2024/11/18,14,变式,1:,求,sin75,的值,.,思考,?,你还会求哪些非特殊角的余弦呢,?,cos75,、,cos105,、,cos(-15),、,cos165,的值。,解法,2,2023/9/2114变式1:求sin75的值.思考?,2024/11/18,15,应用,公式的逆用,cos,cos,+,sin,sin=cos(,-,),变式,2,：,(1).,求,求,cos27 cos12 +sin27 sin12,的值,.,(2).,求,cosxcos(x+15 )+sinx sin(x+15 ),的值,.,(3).,求 的值,.,2023/9/2115应用公式的逆用coscos+sin,2024/11/18,16,应用,解,:,由,sin,(,),得,5,4,2,分析,:,由,C,-,和本题的条件，要计算,cos(-),还应求什么？,又由,cos,=,，,是第三象限的角，得,13,5,-,所以,cos(-),coscos+sinsin,已知,sin,(,),cos,=-,是第三象限角，求,cos(-),的值。,5,4,2,13,5,例,2.,2023/9/2116应用解:由sin ,(,2024/11/18,17,已知,sin,(,),cos,=-,是第三象限角，求,cos(-),的值。,5,4,2,13,5,例,2.,变式,1:,如果去掉条件 ，对结果和求,解过程会有什么影响？,要求正确使用,分类讨论的思想方法,，,在表述上也有了更高的要求,2023/9/2117 已知sin,2024/11/18,18,解：,巩固练习,:,2023/9/2118解：巩固练习:,2024/11/18,19,变式,3:,以知,变式,2,：已知,cos=,，,cos,（,）,=,，,0,求,cos,的值。,温馨提示：,思考,?,若将,cos,（,）改为,cos,（,+,）呢,?,注,:,公式能够正用,逆用,变形用,.,2023/9/2119变式3:以知变式2：已知cos=,2024/11/18,20,作 业,小结,cos(,-,)=coscos,+,sinsin,差角的余弦公式,简记为,C,(,-,),a.,这节课我学到了什么知识？,b,.,在公式应用过程中应该注意什么问题？,c.,这节课我学到了哪些数学思想方法？,作业本,2023/9/2120作 业小结cos(-)=cos,2024/11/18,21,思考题？,你能利用,cos(,),的公式继续探究,的其它三角函数公式吗？如,2023/9/2121思考题？你能利用cos()的公,2024/11/18,22,再见,2023/9/2122再见,