-,*,-,1.3,弧度制,1,.,理解弧度制的定义,体会弧度也是度量角的单位,.,2,.,掌握角度与弧度的换算公式,并能熟练地进行角度与弧度的换算,.,3,.,掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式,并会用弧长公式、扇形面积公式解决有关问题,.,1,2,3,1,.,弧度制,(1),定义,:,以,弧度,作为单位来度量角的单位制,叫作弧度制,.,(2),度量方法,:,在单位圆中,长度为,1,的,弧,所对的,圆心角,称为,1,弧度角,.,如图中的单位圆,AOB,就是,1,弧度角,.,(3),记法,:,弧度的单位符号是,rad,读作,弧度,.,1,2,3,【做一做,1,】,下列说法中正确的是,(,),A.1,弧度就是,1,度的圆心角所对的弧,B.1,弧度是长度为半径的弧,C.1,弧度是,1,度的弧与,1,度的角之和,D.1,弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位,解析,:,弧度是度量角的大小的一种单位,1,弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角的大小,.,答案,:,D,1,2,3,1,2,3,名师点拨,角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集,R,之间建立起一一对应关系,:,每一个角都有唯一的一个实数,(,即这个角的弧度数,),与它对应,;,反过来,每一个实数也都有唯一的一个角,(,即弧度数等于这个实数的角,),与它对应,如图,.,1,2,3,A.30,B.45,C.60,D.6,答案,:,A,【做一做,2,-,2,】,1 080,=,(,),答案,:,D,1,2,3,3,.,弧度数与弧长公式,(1),一般地,正角的弧度数是一个,正,数,;,负角的弧度数是一个,负,数,;,零角的弧度数是,0,.,(2),如图,l,r,分别是弧长、半径和弧所对的圆心角的弧度数,.,弧长公式,:,l=,|r,这就是说,弧长等于弧所对的圆心角,弧度数,的绝对值与,半径,的积,.,1,2,3,1,2,3,答案,:,A,1,2,3,【做一做,3,-,2,】,已知扇形的周长为,20 cm,则这个扇形面积的最大值为,.,解析,:,设扇形的半径为,r,cm,弧长为,l,cm,则,2,r+l=,20,即,l=,20,-,2,r,故扇形的面积,：,故当,r=5,时,S,有最大值,25,.,故填,25 cm,2,.,答案,:,25 cm,2,题型一,题型二,题型三,题型四,(1),将,1,2,用弧度表示出来,并指出它们终边所在的象限,;,(2),将,1,2,用角度表示出来,并在,-,720,0,范围内找出与它们具有相同终边的所有角,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,1,.,将角度制化为弧度制,当角度制中含有,“,分,”“,秒,”,单位时,应先将它们统一转化为,“,度,”,再利用,转化为弧度,.,2,.,以弧度为单位表示角时,常把弧度写成多少,的形式,.,题型一,题型二,题型三,题型四,答案,:,A,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,2,】,(1),将,-,1 485,表示成,2,k,+,(,k,Z,),的形式,且,0,2;,(2),用弧度表示顶点在原点,始边与,x,轴的非负半轴重合,终边落在图中的阴影部分内的角的集合,(,不包括边界,),.,分析,:,(1),-,1 485,k,360,+,(,k,Z,),0,360,的形式,2,k,+,(,k,Z,),0,2,的形式,(2),先把角度化成弧度,再,分析边界角的大小,写出阴影区域的不等关系,最后写成集合的形式,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,1,.,解答此类问题可以先化成角度表示终边相同的角,再转化为弧度,;,也可以直接化为弧度,再写成弧度制表示终边相同的角的形式,.,另外,要注意条件,0,2,.,2,.,解答此类题目的关键在于正确识图,以动态的观点分析阴影区域是由哪些角所围成,的,(,其中不等关系的表示是分析此类题目的重要方式,应正确给出角的不等关系,),是否包含边界,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,2,】,用弧度制形式表示顶点在原点,始边在,x,轴的非负半轴上,终边落在阴影部分内的角的集合,(,不包括边界,),.,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,(1),图,中,终边落在射线,OA,上的所有角可表示为,1,=,150,+k,360,(,k,Z,);,终边落在射线,OB,上的所有角可表示为,2,=-,45,+k,360,(,k,Z,),.,故适合题意的角的集合为,|-,45,+k,360,150,+k,360,k,Z,.,题型一,题型二,题型三,题型四,(2),图,中,终边落在阴影部分内的角的集合可看成终边在,x,轴上方与,x,轴下方两部分的角的集合的并集,.,故适合题意的角的集合为,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,3,】,(1),已知半径为,120 mm,的圆上,有一条弧的长为,144 mm,求该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值,;,(2),在直径为,20 cm,的圆中,求,165,的圆心角所对的弧长及扇形的面积,.,分析,:,(1),弧长公式,逆用,弧度数的绝对值,(2),角度化为弧度,弧长公式,弧长,面积,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,3,】,(1),已知扇形的面积为,1 cm,2,它的周长为,4 cm,求它的圆心角,;,(2),已知扇形的圆心角是,72,半径等于,20 cm,求扇形的面积,.,解,:,(1),设扇形的弧长为,l,cm,半径为,r,cm,则,l=,4,-,2,r.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点,因混用角度制与弧度制而致误,【例,4,】,把角,-,690,化为,2,k,+,(0,2,k,Z,),的形式为,.,错解,-,690,=-,720,+,30,=-,4,+,30,故应填,-,4,+,30,.,错因分析,上述解法中,表示一个角,既用了角度又用了弧度,这种混合用的写法是错误的,.,即表示一个角时,要么只用角度,要么只用弧度,.,1,2,3,4,5,1.,关于弧度制有下列说法,:,扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大,;,大圆中,1,弧度的角大于小圆中,1,弧度的角,;,大圆中,1,弧度的角等于小圆中,1,弧度的角,.,其中正确的个数是,(,),A,.,0B,.,1C,.,2D,.,3,解析,:,只有说法,是正确的,.,答案,:,B,1,2,3,4,5,答案,:,C,1,2,3,4,5,答案,:,D,1,2,3,4,5,4.,已知扇形,AOB,的面积为,4,圆心角的弧度数为,2,则该扇形的弧长为,.,故扇形弧长,l=|r=,2,2,=,4,.,答案,:,4,1,2,3,4,5,5.,如图,已知扇形,AOB,的圆心角为,120,半径长为,6,求弓形,ACB,的面积,.,