单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,定义,1.1.1,既有大小又有方向的量叫做,矢量,，或称,向量,.,矢量,(,向量,),既有大小又有方向的量,.,向量的几何表示：,1.1,向量的概念,|,向量的模：,向量的大小,.,或,或,两类量,:,数量,(,标量,):,可用一个数值来描述的量,;,有向线段,有向线段的方向表示,向,量的方向,.,有向线段的长度表示,向,量的大小,所有的零向量都相等,.,模为,1,的向量,.,零向量：,模为,0,的矢量,.,单位向量：,定义,1.1.2,如果两个矢量的模相等且方向相同，那么叫做,相等向量,.,记为,定义,1.1.3,两个模相等，方向相反的矢量叫做互为,负（反）矢量,.,1.2,向量的线性运算,所谓线性运算是指向量的加法运算和数乘运算。,1.2.1,向量的加、减法,O,A,B,这种求两个向量和的方法叫,三角形法则,.,定理,1.2.1,如果把两个向量 为邻边组成一个平行四边形,OACB,，那么对角线向量,O,A,B,C,这种求两个向量和的方法叫做,平行四边形法则,定理,1.2.2,向量的加法满足下面的运算规律：,（,1,）交换律：,（,2,）结合律：,（,3,）,（,3,）,O,A,1,A,2,A,3,A,4,A,n-1,A,n,这种求和的方法叫做,多边形法则,向量减法,A,B,C,1.2.2,向量的数量乘法,定理,1.2.2,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（,2,）结合律：,（,3,）第一分配律：,（,4,）第二分配律：,（,1,）,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量,.,例,1.2.4,用向量法证明中线定理：三角形两边中点的连线平行且等于第三边的一半。,例,1.2.5,用向量法证明：四面体对边中点的连线交与一点且互相平分。,A,B,C,D,E,F,P,1,e,1,e,2,e,3,连接,AF,，因为,AP,1,是,AEF,的中线，所以有,又因为,AF,1,是,ACD,的中线，所以又有,1.2.3,向量的线性关系与向量的分解,1.3,向量的内积、外积与混合积,1.3.1,两向量的内积,1.3.2,两向量的外积,1.3.3,三向量的混合积,1.3.2,两向量的二重外积,启示,实例,两向量作这样的运算,结果是一个数量,.,1.3.1,两向量的内积,M,1,M,2,1.,两个向量的夹角,内积也称为“,点积,”,.,定义,1.3.2,定理,1.3.1,关于数量积的说明：,证,证,空间一点在轴上的射影,空间一向量在轴上的投影,数量积符合下列运算规律：,（,1,）交换律,：,（,2,）分配律,：,（,3,）若 为数,：,若 、为数,：,关于向量的,投影定理（,2,）,（可推广到有限多个）,实例,1.3.2,两向量的外积,定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为,“,叉积,”,.,证,/,/,向量积模的几何意义,1.3.3,向量的混合积,1.3.4,向量的二重外积,1.3.4,拉格朗日恒等式及其应用,