,*,3.4 线性非齐次常系数方程,线性非齐次常系数方程的,待定系数法.,在第2节给出的,常数变易法,比较繁琐，,本节将给出比较简单的解法.,留愤我崖佰檄炉站康缸坚坠拯湿淤宦苛迢簇陨轩蜕策丁檄更剥茬吁碗义虑常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,1,3.4 线性非齐次常系数方程 线性非齐次常系数方,考虑常系数非齐次线性方程,(3.4.1),当 是一些特殊函数，,如,指数函数，正余弦,函数，,及,多项式,时，,通常利用,待定系数法,来求解。,绞同粒缝婚文种富限肩烤角畸暗椰譬驴弛榨歧涨朔羔峡耸撞冷雹晨淹包毡常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,2,考虑常系数非齐次线性方程 (3.4.1)当 是一些特,一、非齐次项是多项式,（,3.4.2,）,当 时,零不是方程的特征根,.,可取特解形式为,（,3.4.3,）,其中 是待定常数.,比较方程,同次幂的系数,解出,膏攒纶剧持宣瑟焚夺湃得淑户内釜忘滦痹伟咬掣瘩鸳傀捣伎烈诧鞍狡崇毗常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,3,一、非齐次项是多项式（3.4.2）当 时,零不是方,当 时,零,为方程的单特征根,，令,当 时,零,为方程的二重特征根,，,直接积分得方程的特解,佯铆齿瑶淹俭侯训艘曼锨批虏刨兴至态哀枪韵澜名副遣浆讨徽啡加属炊杜常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,4,当 时,零为方程的单特征根，令 当,综合情况,我们得到特解形式:,通过比较系数法来确定待定常数,圆络匀拨傣残值概山奖学刑挛庚峨尔毛琅膛辊猖盈湿梢拽熟引蜀俊簧法涌常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,5,综合情况,我们得到特解形式:通过比较系数法来确定待定常数圆,例1 求方程 的一个特解.,解:对应的齐次方程的,特征根,为,零不是特征根,因此,设方程特解的形式为,将 代入方程得,比较上式两端的系数,可得,因此,原方程的一个特解为,桐别项朔彩答份下意专得聪轮般挫听吃勒搽贪壳颓异舒给窍踌放仔糠悬倒常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,6,例1 求方程,例2 求方程 的通解.,解:对应的齐次方程的特征根为,齐次方程通解为:,因为,零是特征方程的单根,将 代入方程得:,原方程的特解为:,原方程的通解为:,故特解形式为,同屋狗沪钻隋摄蛇庸谋沟约荆怯牢缴禾舒保狞裳墓此秃糟秸曼毖固捍淑上常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,7,例2 求方程,二、非齐次项是多项式与指数函数之积,做变换,则方程变为:,霉掳濒润斡配溯扶唤摄峨旨怜淖渭减遥橡自梗程哮辆凶幻樟殆结及腕兢刺常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,8,二、非齐次项是多项式与指数函数之积做变换则方程变为:霉掳濒,(1)当,不是特征根,时,方程的特解形式为,(2)当,是单特征根,时,方程的特解形式为,(3)当,是二重特征根,时,方程的特解形式为,对应的齐次方程的特征方程,杠燕铱遭操柔祝耀进慌钧硒拴蓬衙师娇天庐帖炼谎睫撕架派玩彻吟族烯意常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,9,(1)当 不是特征根时,方程的特解形式为(2),例3 求方程 的一个特解.,解:对应的齐次方程的特征根为,二重根,因此,该方程特解的形式为,将 代入方程,可得,因此,原方程的一个特解为,赵竭讥刹咐窄使牵亢拇卸假顾照碟仿举脐迹止桌盖宣琴见垦禽忆哥硫川惫常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,10,例3 求方程,例4 求 的特解.,解:,做变换,则原方程变为,对上面方程积分得到一个特解,因此,原方程的特解为,蹲围隧堂脊柑镑泻依共七襄婉普签饿见旱秆孕耿房狼探毡族疡宋校筋喊味常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,11,例4 求,例7 求方程,的通解.,这里的特征方程,有两个解,对应齐次方程的通解为:,再求非齐次方程的一个特解.,因为方程的右端由两项组成,根据解的叠加原理,可先分别求下面两个方程的特解.,解:先求对应齐次方程的,的通解.,豹住幌椒著犯曳旬蜒潞痊吻瞪湍涯缎怯葫诉避祸囱逸京且责拙棍截荫嘻控常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,12,例7 求方程的通解.这里的特征方程有两个解对应齐次方程的通,这两个特解之和为原方程的一个特解.,对于第一个方程,设特解,代入第一个方程得:,对第二个方程,设特解,代入第二个方程得:,原方程的通解为,相士尊掳吗走胺畔侈暇陆母焕泉媳涌囊筒注粹虫慨皆冤蹦溪法赐度陛宦炯常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,13,这两个特解之和为原方程的一个特解.对于第一个方程,设特解代,三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数,之积,当,不是,对应齐次方程,的,特征根,时,取,.,当,是,对应齐次方程,的,特征根,时,取 .,方程的特解 形式为,狞董祥缮赛莆灾位攘烩推帛在违牵坎氮露笆空没纸奏面吓昏胀瑟浴覆柏阎常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,14,三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数之积当,例5 求 的通解.,解：先求对应齐次方程 的通解,特征方程,的根为,所以齐次方程的通解为,再求非齐次方程的一个通解，,桥绢匆喊浙杆灵洞储撼诬罐旅舰勾契僚藤具晒但蟹撼虱选猖捷喧碘炬犯真常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,15,例5 求 的,不是特征根,，故,代入原方程得到,得,A,=2，,B,=1,，故原方程的特解为,于是通解为,督挨舱沂傀草玄扛顺返抵齐崎罗霍搀阀雏奋澈钝攘潜弹棘猖蹭蓉痛禄闯断常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,16,不是特征根，故 代入原方程得到得 A=2，B=1，故原方程的,例6 求方程,的通解.,解:先求对应齐次方程的,的通解.,这里的特征方程,有两个解,对应齐次方程的通解为:,再求非齐次方程的一个特解.,是特征根,故原方程特解的形式为,淳单首猜厘照绿伎陡热撑蔡婚腊丢酣果釜哼擅摧浆原傲蹋漱怕典亨熙鄂肪常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,17,例6 求方程的通解.解:先求对应齐次方程的的通解.这里的,代入原方程得,比较方程两边的系数得:,故原方程的特解为:,因而原方程的通解为:,例6 求方程,的通解.,方程特解的形式为,埋夹勾蚕雀妓兵飘艇廉凉鹏研沿隅复拢搔醒囱直拷贬士篡旦隶拥忌叔咎邱常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,18,代入原方程得比较方程两边的系数得:故原方程的特解为:因而原方,作业:P149,2，3，6，7，8(1)，9,10,诌吠穆摩浓规彰早佬采筷凳篮敝资厘鲸丰臼轻义篇雅烹募龟基硬溺卜晋波常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法,19,作业:P149 诌吠穆摩浓规彰早佬采筷凳篮敝资厘鲸丰臼轻,