14.2.2,完,全平方公式,人教,版数学八年级上册,14.2.2 完全平方公式人教版数学八年级上册,1,2,3,4,(,a,+,b,)(,m,+,n,),=,a,m,1,2,3,4,+,a,n,+,b,m,+,b,n,多项式的乘法法则：,多项式与多项式相乘，先用一个多项式的,每一项,分别,乘以另一个多项式的,每一项,，再把所得的,积,相加,。,复习巩固,1234(a+b)(m+n)=am1234+an+bm+bn,(a+b)(a-b)=(a),2,-(b),2,相同项,相反项,(,相同项,),2,-(,相反项,),2,复习巩固,平方差公示：,两数,和,与这两数,差,的,积,等于这两个数的,平方差,相同项 相,导入新知,某学校要对一个边长为,a,的正方形操场进行改造，改造方案有如下两种：（1）扩建成一个边长比原来大,b,的正方形操场，（2）分割出一个边长比原来小,b,的正方形操场，,(,如图,),用,不同的形式表示改造后的新操场面,积，并,进行比较，,你有什么发现呢？,b,a,b,a,b,a,b,a,（,1,）,（,2,）,导入新知 某学校要对一个边长为a的正方形操场进行改,某学校要对一个边长为,a,的正方形操场进行改造，方案（,1,）扩建成一个边长比原来大,b,的正方形操场，用不同的方法表示新操场的面积。,b,a,b,a,（,1,）,+,+,探究新知,间接求：,总面积,=,a,2,+,ab+ab+b,2,你发现了什么？,直接求：,总面积,=,(,a+b,)(,a+b,),某学校要对一个边长为a的正方形操场进行改造，方案（1）,某学校要对一个边长为,a,的正方形操场进行改造，方案（,2,）若现要分割出一个边长比原来小,b,的正方形操场，用两种不同的方法表示新操场的面积。,b,a,b,a,（,2,）,探究新知,间接求：,总面积,=,a,2,-,ab-ab+b,2,你发现了什么？,直接求：,总面积,=,(,a-b,)(,a-b,),某学校要对一个边长为a的正方形操场进行改造，方案（2）,(,a,+,b,),2,=,.,a,2,+2,ab,+,b,2,(,a,b,),2,=,.,a,2,2,ab,+,b,2,两,个数的,和,(,或差,),的,平,方，等,于它们的平方,和，加上,(,或,减,去,),它,们的积的,2,倍,.,探究新知,完全平方公式,你能用语句叙述你的发现吗？,(a+b)2=,下列计算结果为2aba2b2的是(),(ab)2=a22ab+b2,(a+b)2=.,直接求：总面积=(a+b)(a+b),(a+b)2=a2+2ab+b2,(3)(+)2；,例1 利用完全平方公式计算：,运用乘法公式计算(a2)2的结果是(),例1：利用完全平方公式进行计算,相反项,弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面),下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？,16x224xy+9y2,(x+y)2x2y22xy,解：(1)原式3a(b2)3a(b2),(a+b)2=.,(1)(x+y)2=x2+y2,16x224xy+9y2,x2y2(xy)22xy(x+y)22xy，(xy)2(x+y)24xy.,4ab=(a+b)2(ab)2.,(a+b),2,=,a,2,+2ab+b,2,(a,-,b),2,=,a,2,-,2ab+b,2,口答：,(1)(p+1),2,(2)(m+2),2,(3)(P-1),2,(4)(m-2),2,你能用你的发现快速说出下列各式的结果吗？,完全平方公式,=p,2,+2,p,+1,=m,2,+4,m,+4,=p,2,2,p,+1,=m,2,4,m,+4,下列计算结果为2aba2b2的是()(a,(,a,+,b,),2,=,.,a,2,+2,ab,+,b,2,(,a,b,),2,=,.,a,2,2,ab,+,b,2,探究新知,完全平方公式,观,察完全平方公,式，比,一,比，回,答下列问题：,(1),说,一说积的次数和项数,.,(2),两,个完全平方式的积有相同的项吗？,与,a,，,b,有什,么关系？,(,3),两,个完全平方式的积中不同的是哪一项？,与,a,，,b,有什么关系？它的符号与什么有关？,(,a,+,b,),2,=,.,完全平方公式,(a+b)2=,公式特征：,公式,中的字母,a,，,b,可以表示,数,、,单,项式和多项式,.,积,为,二次三项式,；,积,中两项为两数的,平方和,；,另,一项是,两数积的,2,倍,，且,与两数中间的,符号相同,.,探究新知,(,a,+,b,),2,=,.,完全平方公式,(,a,b,),2,=,.,a,2,2,ab,+,b,2,a,2,+2,ab,+,b,2,首平方，尾平方,;,积的二倍,放,中央,符号与前一个样,.,公式特征：公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多,下,面各式的计算是否正确？如果不正,确，应当,怎样改正？,(,1,),(,x,+,y,),2,=,x,2,+,y,2,(2)(,x,y,),2,=,x,2,y,2,(3)(,x,+,y,),2,=,x,2,+2,xy,+,y,2,(4)(2,x,+,y,),2,=4,x,2,+2,xy,+,y,2,(,x,+,y,),2,=,x,2,+2,xy,+,y,2,(,x,y,),2,=,x,2,2,xy,+,y,2,(,x,+,y,),2,=,x,2,2,xy,+,y,2,(2,x,+,y,),2,=4,x,2,+4,xy,+,y,2,探究新知,想一想,下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？,解,:,(4,m,+,n,),2,=,=16,m,2,(,1,),(4,m,+,n,),2,；,(,a,+,b,),2,=,a,2,+,2,ab,+,b,2,(4,m,),2,+2,(4,m,),n,+,n,2,+8,mn,+,n,2,；,例,1,：,利用完全平方公式进行计算,精讲点拨,(,2,),(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,+,b,2,y,2,=,y,2,y,+,解：,=,+,2,y,使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,明确哪个是,a,哪个是,b.,注意,解:(4m+n)2=16m2(1)(4m+n)2；(a,例题解析,2,+,=,+,;,=,例,1,利用完全平方公式计算,：,(3),(,+,),2,；,(4),(4,x,-,5,y,),2,;,(5),(-2n,-,5,m,),2,.,边念边写,：,解：,(3),(,+,),2,(),2,+,+,(),2,首平方，尾平方；,积的二倍,放,中央，符号与前一个样,.,精讲点拨,例题解析2+=+;=例1 利用完全平方公式计算：,(,1,),102,2,；,=,(100,1),2,=10000,200+1,解：,102,2,=,(100+2),2,=10000+400+4,=10404.,(,2,),99,2,.,99,2,=9801.,例,2,运用完全平方公式计算：,利用完全平方公式进行简便计算,精讲点拨,(1)1022；=(100 1)2=10000 20,用完全平方公式计算,计算：,巩固练习,(6),2,(5),(,n,+,1,),2,n,2,.,用完全平方公式计算计算：巩固练习(6)2(5)(n,例,3,已,知,x,y,6,，,xy,8.,求,:,(,1,),x,2,y,2,的值,；,(,2,),(,x,+,y,),2,的值,.,36 16,20,；,解,：,(1),x,y,6,，,xy,8,，,(,x,y,),2,x,2,y,2,2,xy,，,x,2,y,2,(,x,y,),2,2,xy,(2),x,2,y,2,20,，,xy,8,，,(,x,+,y,),2,x,2,y,2,2,xy,20 16,4.,利用完全平方公式的变形求整式的值,拓展提升,方法总结：,本题要熟练掌握完全平方公式的变式：,x,2,y,2,(,x,y,),2,2,xy,(,x,+,y,),2,2,xy,，,(,x,y,),2,(,x,+,y,),2,4,xy,.,例3 已知xy6，xy8.36 1620；解,例,4,运用,乘法公式计算,:,(,2,),(,x,+2,y,3)(,x,2,y,+3),;,解,:,(1),原式,=,(,a+b,)+,c,2,=,x,2,(2,y,3),2,=,x,2,(4,y,2,12,y,+9),=,x,2,4,y,2,+12,y,9,.,=,(,a+b,),2,+2(,a+b,),c,+,c,2,=,a,2,+2,ab,+,b,2,+2,ac,+2,bc,+,c,2,.,拓展提升,(,1,),(,a+b+c,),2,.,(2),原式,=,x,+(2,y,3),x,(2,y,3),例4 运用乘法公式计算:解:(1)原式=(a+b)+,(x+y)2x2y22xy,(1)(4m+n)2；,(a+b)2=a2+2ab+b2,运用乘法公式计算(a2)2的结果是(),(ab)2=.,(5)(n+1)2 n2.,某学校要对一个边长为a的正方形操场进行改造，方案（1）扩建成一个边长比原来大b的正方形操场，用不同的方法表示新操场的面积。,=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.,Ca24 Da24a4,(1)(x+y)2=x2+y2,(2)原式=x+(2y3)x(2y3),Ca24 Da24a4,=x2(2y3)2,(a b)2=a2 2ab +b2,直接求：总面积=(a+b)(a+b),例1 利用完全平方公式计算：,解：(1)xy6，xy8，,(xy)2x2y22xy，,(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2,利用完全平方公式进行简便计算,例,4,运用,乘法公式计算,:,(3),(,a,b,c,),2,；,(4),(12,x,y,)(1,2,x,y,),14,x,2,4,xy,y,2,.,解,：,(3),原,式,(,a,b,),c,2,(,a,b,),2,c,2,2(,a,b,),c,a,2,2,ab,b,2,c,2,2,ac,2,bc,；,(4),原式,1,(2,x,y,)1(2,x,y,),1,2,(2,x,y,),2,拓展提升,(x+y)2x2y22xy例4 运用乘法公式计算:,完全平方公式,注意,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab+b,2,1.,在解题过程中要,准确确定,a,和,b,、,对照公式原形的两边,做到不丢项、不弄错符号、,2,ab,时不少乘,2,；,2.,不能直接应用公式进行计算的式,子，可,能需要,先添括号变形成符合公式的要求,才,行,常用,结论,3.,弄清,完全平方公式和平方差公式不,同,(,从,公式结构特点及结果两方,面,),a,2,+,b,2,=(,a+b,),2,2,ab,=(,ab,),2,+2,ab,;,4,ab,=(,a+b,),2,(,ab,),2,.,课堂小结,本节课你学到了什么？,完全平方公式注意(ab)2=a22ab+b21.在解题,2.,下列计算结果为,2,ab,a,2,b,2,的,是,(,),A,(,a,b,),2,B,(,a,b,),2,C,(,a,b,),2,D,(,a,b,),2,1,.,运,用乘法公式计,算,(,a,2,),2,的结果,是,(,),A,a,2,4,a,+4 B,a,2,2,a,+4,C,a,2,4 D,a,2,4,a,4,A,D,基础巩固题,课堂检测,2.下列计算结果为2aba2b2的是(),3.,运用完全平方公式计算,:,(1),(6,a,+5,b,),2,=_,；,(2),(4,x,3,y,),2,=_,；,(3),(2,m,1),2,=_,；,(4),(2,m,1),2,=_,.,36,a,2,+60,ab,+25,b,2,16,x,2,24,xy,+9,y,2,4,m,2,+4,m,+1,4,m,2,4,m,+1,4.,由完全平方公式可知：,3,2,235,5,2,(3,5),2,64,，运,用这一方法计算：,2,2,_,25,课堂检测,基础巩固题,3.运用完全平方公式计算:(1)(6a+5b)2=_,计算,:(1),(3,