单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元复合函数的求导法则,第九章,第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链,1,一、多元复合函数求导的链式法则,定理.,若函数,处偏导连续,在点,t,可导,则复合函数,证:,设,t,取增量,t,则相应中间变量,且有链式法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有增量,u,v,一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,2,(全导数公式),(,t0,时,根式前加“”号),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)机动,3,若定理中,说明,:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续,减弱为,偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定理结论,不一定成立.,若定理中 说明:例如:易知:但复合函数偏导,4,推广:,1)中间变量多于两个的情形.,例如,设下面所涉及的函数都可微.,2)中间变量是多元函数的情形.,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函,5,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,是二元函数,z,(,x,y,)对,x,的偏导数；,导数，且仅有第一个中间变量,x,在变；此时，不用,与,不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是三元函数,f,(,x,u,v,)对第一个中间变量,x,的偏,对,u,(,x,y,),v,(,x,y,)中的,x,求导,又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里是二元函数 z,6,例1.设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.设解:机动 目录 上页 下页 返回,7,例,2.,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.解:机动 目录 上页 下页 返回,8,例3.,设,求全导数,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注1:,等偏导数的中间变量与,f,完全,相同；,若题目条件中有“,f,有二阶连续偏导数”，则,注2:,一定合并,否则不能合并；,例3.设 求全导数解:机动 目录 上页 下页,9,为简便起见,引入记号,例4.,设,f,具有二阶连续偏导数,求,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为简便起见,引入记号例4.设 f 具有二阶连续偏导数,10,例5.,设,其中,F,f,有连续（偏）导数，求,解：,例5.设其中F,f,有连续（偏）导数，求解：,11,例6.,【研】,设,f,有二阶连续偏导数且,例6.【研】设 f 有二阶连续偏导数且,12,例7.,设,f,有二阶连续偏导数，,例7.设 f 有二阶连续偏导数，,13,例8.,设,f,有二阶连续偏导数，,二阶可导，,例8.设 f 有二阶连续偏导数，二阶可导，,14,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论,u,v,是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做,全微分形式不变性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u,v,15,例1.,例9.,利用全微分形式不变性再解例1.,解,:,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.例9.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以机动,16,内容小结,1.复合函数求导的链式法则,例如,2.全微分形式不变性,不论,u,v,是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结1.复合函数求导的链式法则例如,2.全微分形式不,17,备用题,1.已知,求,解:,由,两边对,x,求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题1.已知求解:由两边对 x 求导,得机动 目,18,2.,【研】,求,在点,处可微,且,设函数,解:,由题设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.【研】求在点处可微,且设函数解:由题设机动 目,19,3.,【研】,设,f,(,x,y,z,)可微分，,k,0为常数，且对任意,t,等式二边对,t,求导得,有,令,t,=1,解：,3.【研】设 f(x,y,z)可微分，k0为常数，且,20,