单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,13.4,课题学习,最短路径问题,人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）,13.4 课题学习 人民教育出版社义务教育教科书八年级数学,能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想,学习重点：,利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题,学习目标,学习目标,如图所示，从,A,地到,B,地有三条路可供选择，选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，选走哪条路最近？,(),两点在一条直线异侧,已知：如图，,A,，,B,在直线,L,的两侧，在,L,上求一点,P,，使得,PA+PB,最小。,P,连接,AB,线段,AB,与直线,L,的交点,P,，就是所求。,()两点在一条直线异侧 已知：如图，A，B在直线L的,思考？,为什么这样做就能得到最短距离呢？,根据：,两点之间线段最短,.,P,思考？根据：两点之间线段最短.P,如图，要在燃气管道,L,上修建一个泵站，分别向,A,、,B,两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？,P,所以泵站建在点,P,可使输气管线最短,应用,如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵,自学指导,1,认真阅读课本,第,85-86,页,问题,2,以上部分内容，并认真思考：,如何在,L,上找到点,C,，使得这个点到,A,的距离和到,B,点的距离之和最短？,自学指导1认真阅读课本第85-86页问题2以上部分内容，并认,A,B,l,B,/,P,点,P,的位置即为所求,.,M,作法：,作点,B,关于直线,l,的对称点,B,/,.,连接,AB,/,交直线,l,于点,P.,(),两点在一条直线同侧,已知：如图,A,、,B,在直线,L,的同一侧，在,L,上求一点，使得,PA+PB,最小,.,为什么这样做就能得到最短距离呢？,MA+MB,PA+PB,即,MA+MB,PA+PB,三角形任意两边之和大于第三边,ABl B/P 点P的位置即为所求.M 作法：,问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区,A,、,B,提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从,A,、,B,到它的距离之和最短,请你自己动手 试一试！,自学检测,1,问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居,只有,A,、,C,、,B,在一直线上时，才能使,AC,+,BC,最小,作点,A,关于直线“街道”的对称点,A,，然后连接,A,B,，交“街道”于点,C,，则点,C,就是所求的点,只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小作点A,2.,如图，,A,、,B,是两个蓄水池，都在河流,a,的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到,A,、,B,两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。,作法：,作点,B,关于直线,a,的对称点点,C,连接,AC,交直线,a,于点,D,，则点,D,为建,抽水站的位置。,A,B,a,2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧,自学指导,2,认真阅读课本,第,86-87,页,内容，并认真思考问题,2,：,如何在,L,上找到点,C,，使得这个点到,A,的距离和到,B,点的距离之和最短？,自学指导2 认真阅读课本第86-87页内容，并认真思,如图，,A.B,两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥,MN,，桥造在何处才能使从,A,到,B,的路径,AM,、,NB,最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,A,B,分析例题,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN,作法：,1.,将点,B,沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到,E,，,2.,连接,AE,交河对岸与点,M,则点,M,为建桥的位置，,MN,为所建的桥,。,证明：由平移的性质，得,BNEM,且,BN=EM,MN=CD,BD,CE,BD=CE,所以,A.B,两地的距,:,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在,CD,处，连接,AC.CD.DB.CE,则,AB,两地的距离为：,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在,ACE,中，,AC+CE,AE,AC+CE+MN,AE+MN,即,AC+CD+DB,AM+MN+BN,所以桥的位置建在,CD,处，,AB,两地的路程最短。,A,B,M,N,E,C,D,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，ABM,1,、如图，张庄,A,、李庄,B,位于河沿的同侧，现要在,河沿,g,上修一提灌站,C,向张庄,A,、李庄,B,提水。当提,灌站修在河沿,g,的,C,处时，所用水管最短，为,3,千米。,已知,BC,的长为,2,千米，你能在图中找出张庄,A,的位,置吗？,g,.,提灌站,C,李庄,B,自学指导,2,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,1、如图，张庄A、李庄B位于河沿的同侧，现要在g.提灌站C,2,、如图，小河边有两个村庄,A,B,要在河边建一自,来水厂向村庄,A,与村庄,B,供水。,(1),若要使厂部到,A,B,村庄的距离相等，则应选择在,哪建厂？,（,2,）若要使厂部到,A,B,村的水管最省料，应建在什,么地方？,A,村,B,村,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,2、如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自A村B村,小结,这节课你学到了什么？,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,小结这节课你学到了什么？最短路径问题实用课件1（P,草地,河边,.,驻地,A,例,3.,如图：一位将军骑马从,驻地,A,出发，先牵马去,草地,OM,吃草，再牵马去,河边,ON,喝水，最后回到驻地,A,，,问：这位将军怎样走路程最短？,O,M,N,(,三,),二次轴对称：,一点在两相交直线内部,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,草地河边.驻地A例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马,例,3,变式：已知,P,是,ABC,的边,BC,上的点，,你能在,AB,、,AC,上分别确定一点,Q,和,R,，,使,PQR,的周长最短吗？,(,三,),二次轴对称：,一点在两相交直线内部,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,例3变式：已知P是ABC的边BC上的点，(三)二次轴对称：,例,4,：,如图，,A,为马厩，,B,为帐篷，,将军,某一天要,从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。,（四）二次轴对称：,两点在两相交直线内部,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要（四）二次轴对称,A,B,A,/,B,/,P,Q,最短路线：,A P Q B,l,M,N,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,ABA/B/PQ最短路线：A P Q BlMN最,例,4,变式,：,如图，,OMCN,是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于,B,、,A,两点的位置上，,试问怎样撞击白球，使白球,A,依次碰撞球台边,OM,、,ON,后，反弹击中黑球？,（四）二次轴对称：,两点在两相交直线内部,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位,.,.,.,.,.,.,A,A,B,B,C,D,M,O,N,例,4,变式：,（四）二次轴对称：,两点在两相交直线内部,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,.AABBCDMON例4变式：（四）二次轴对称,两点在一条河两侧,例,5.,如图：古希腊一位将军骑马从城堡,A,到城堡,B,，,A,和,B,两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥,MN.,桥建在何处才能使将军从,A,到,B,的路径,AMNB,最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,B,A,(,五,),造桥选址问题,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,两点在一条河两侧例5.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡,思维分析,B,A,1,、如图假定任选位置造桥，连接和，从,A,到,B,的路径是,AM+MN+BN,，那么怎样确定什么情况下最短呢？,2,、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,最短路径问题实用课件,1,（,PPT,优秀课件）,思维分析BA 1、如图假定任选位置造桥，连接,