Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六章集合(jh)代数简,1,第一页，共42页。,（一）集合(jh)间的关系及其符号化,第二页，共42页。,思考题,采用一阶逻辑构造证明法证明如下(rxi)推理：,如果AB并且BC，则AC。,集合(jh)的关系及其符号化,第三页，共42页。,定义(dngy)6.1（包含关系）设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B为A的子集。这时也称B被A包含，或A包含B。记作BA。,BA的符号化为：x(xBxA),定义(dngy)6.2（相等关系）设A，B为集合，如果BA且AB，则称A与B相等，记作AB。,显然ABABBA,AB的符号化为：,x(xBxA)x(xAxB),第四页，共42页。,定义6.3（真包含关系(gun x)）设A，B为集合，如果BA且BA，则称B是A的真子集，记作BA。,显然BABABA,BA的符号化为：,x(xBxA),(x(xBxA)x(xAxB),第五页，共42页。,定义6.3（真包含关系）设A，B为集合(jh)，如果BA且BA，则称B是A的真子集，记作BA。,显然BABABA,BA的符号化为：,x(xBxA)x(xAxB),第六页，共42页。,采用一阶逻辑构造证明法证明如下(rxi)推理：,如果AB并且BC，则AC。,证：设F(x)：xA，G(x)：xB，H(x)：xC,前提：x(F(x)G(x)，x(G(x)H(x),结论：x(F(x)H(x),证明：,x(F(x)G(x)前提引入,F(y)G(y)UI规则,x(G(x)H(x)前提引入,G(y)H(y)UI规则,F(y)H(y)假言推理,x(F(x)H(x)UG规则,第七页，共42页。,思考题,采用一阶逻辑构造证明法证明如下推理(tul)：,(1)如果A=B并且B=C，则A=C,(2)如果AB并且BC，则AC,第八页，共42页。,（二）三类(sn li)特殊的集合,第九页，共42页。,=（AA）（BA）,P（A）=，1，2，3，,即利用(lyng)已知的恒等式来证明集合恒等式。,第三十二页，共42页。,2、其次在矩形内画一些圆（或任何其它适当的闭曲线(qxin)），用圆的内部表示集合。,第二十二页，共42页。,A=1000/5=200,=（AB）A,解:令A，B，C，D分别(fnbi)表示会英、法、德、日语的人的集合。,(1)如果A=B并且B=C，则A=C,第二十四页，共42页。,这一方法还可以用于集合公式包含关系(gun x)的证明,欲证PQ，也就是要证明对任意的x有xPxQ成立。,第三十一页，共42页。,CA=d,或 x(A-B)(B-A),已知会日语的人不会法语和德语，分别(fnbi)求只会一种语言（英、法、德、日）的人数和会三种语言的人数。,定义6.4（空集(kn j)）不含任何元素的集合叫做空集(kn j)，记作。,空集(kn j)的性质：,定理 空集(kn j)是一切集合的子集。,推论 空集(kn j)是唯一的。,例：判断(pndun)下列命题的真值。,（1）（2）（3）（4）,解：（1）（3）（4）为真，（2）为假,注意和的区别：不含任何元素(yun s)；含有唯一一个元素(yun s)。,第十页，共42页。,定义6.5(幂集)集合的全体子集构成的集合叫作的幂集，记作P（A）或2A，即P（A）=x|xA。,含有n个元素的集合简称n元集。,一个(y)集合的含有m个元素的子集称作它的m元子集。,问题(wnt)：A=n，则P(A)=?,说明(shumng)：对于n元集A，不同的子集总数为,Cn0+Cn1+Cnn=2n,即若A=n，则P(A)=2n,第十一页，共42页。,例 A1，2，3，求A的全部(qunb)子集及P（A）。,解：将A的子集从小到大分类：,0元子集，即空集，只有一个：,1元子集，有C31个：1，2，3,2元子集，有C32个：1，2，1，3，2，3,3元子集，有C33个：1，2，3,P（A）=，1，2，3，,1，2，1，3，2，3，1，2，3,第十二页，共42页。,例：已知（1）A=；（2）B=，。,分别(fnbi)求P（A）和P（B）。,解：（1）P（A）为20=1元集，,P（）=.,（2）P（B）为22=4元集，,P（B）=，,第十三页，共42页。,定义6.6（全集）：在一个具体问题中，如果(rgu)涉及到的集合均是某一个集合的子集，则称该集合是全集，记作E。,全集的概念是相对，所研究的问题不同，所取的全集也不同。,第十四页，共42页。,（三）集合的五种(w zhn)基本运算,第十五页，共42页。,设集合A，B为集合，E为全集，则,并：AB=xxAxB,交：AB=xxAxB,（绝对(judu)）补：A=EA=xxExA=xxA,相对补：AB=xxA xB=AB,对称差：AB=（AB）（BA）,=（AB）（AB）,第十六页，共42页。,例：A=a，b，c，B=a，C=b，d，,分别(fnbi)求AB、BA、A-C、CA、AC。,则有,AB=b，c,BA=,A-C=a,c,CA=d,AC=a，cd=a，c，d,或AC=a，b，c，db=a，c，d,第十七页，共42页。,集合(jh)运算性质(P101),ABA，ABB,AAB，BAB,ABA,AB=AB,AB=BABAB=AA-B=,AB=BA,（AB）C=A（BC）,A=A,AA=,AB=ACB=C,第十八页，共42页。,例 化简下列集合表达式,（ABC）（AB）-（A（B-C）A）,解：因为(yn wi)AB ABC，A A（B-C）,所以（ABC）（AB）=AB,（A（B-C）A=A,原式=（AB）-A,=（AB）A,=（AA）（BA）,=BA,=B-A,第十九页，共42页。,（四）集合(jh)恒等式的证明及化简,第二十页，共42页。,恒等式的证明,方法一：等值演算法,证明的基本思想：欲证P=Q，即证明对任意的x,有xPxQ。,这一方法还可以用于集合公式包含关系(gun x)的证明,欲证PQ，也就是要证明对任意的x有xPxQ成立。,第二十一页，共42页。,并：xAB xAxB,交：xAB xAxB,绝对(judu)补：xA xA(xA),相对补：xAB xAxB,对称(duchn)差：xAB x(AB)-(AB),或 x(A-B)(B-A),第二十二页，共42页。,例 证明(zhngmng)A-（BC）=（A-B）（A-C）,证明(zhngmng)对任意的x，,xA-（BC）,xAxBC,xA(xBC),xA(xBxC),xA(xBxC),xAxBxC,（xAxB）（xAxC）,xA-BxA-C,x（A-B）（A-C）,第二十三页，共42页。,恒等式的证明,方法二：恒等变换,即利用(lyng)已知的恒等式来证明集合恒等式。,第二十四页，共42页。,集合运算的主要(zhyo)恒等式（P99-100）,其中的A，B，C表示任意的集合，E是全集,幂等律 AA=A AA=A,结合律 （AB）C=A（BC）,（AB）C=A（BC）,交换律 AB=BA AB=BA,分配律 A（BC）=（AB）（AC）,A（BC）=（AB）（AC）,第二十五页，共42页。,同一律 A=A AE=A,零律 AE=E A=,排中律 AA=E,矛盾律 AA=,吸收(xshu)律 A（AB）=A A（AB）=A,德摩根律 A-（BC）=（A-B）（A-C）,A-（BC）=（A-B）（A-C）,（BC）=BC,（BC）=BC,=E E=,双重否定律 （A）=A,第二十六页，共42页。,例 证明(zhngmng)A-（BC）=（A-B）（A-C）,证明(zhngmng)A-（BC）,=A（BC）,=A（BC）,=（AB)(AC）,=（A-B)(A-C）,第二十七页，共42页。,（五）集合(jh)计数（文氏图）,第二十八页，共42页。,文氏图,以图形的形式来描述集合之间的相互(xingh)关系和集合之间的运算,第二十九页，共42页。,下面(xi mian)列举一些文氏图的实例,A,B=,A,B,A-B,A,B,A,B,A,B,第三十页，共42页。,A,（A,B）,C,第三十一页，共42页。,文氏图的构造方法：,1、首先画一个大矩形表示全集E,2、其次在矩形内画一些圆（或任何其它适当的闭曲线(qxin)），用圆的内部表示集合。,在一般情况下，如果不作特殊说明，这些表示集合的圆应该是彼此相交的。,如果两个集合是不交的，则表示它们的圆彼此相离,通常在图中用画有阴影的区域表示新组成的集合,第三十二页，共42页。,有24人，其中会英、日、德和法语的人分别(fnbi)为13，5，10和9人，同时会英语和日语的有2人，会英、德和法语中任两种的都是4人。已知会日语的人不会法语和德语，分别(fnbi)求只会一种语言（英、法、德、日）的人数和会三种语言的人数。,解:令A，B，C，D分别(fnbi)表示会英、法、德、日语的人的集合。根据题意画出文氏图。,第三十三页，共42页。,4-x,4-x,4-x,x,y2,y1,2,5-2,y3,设同时会三种语言的有x人，只会英、法、德语一种语言的分别为y1，y2和y3人。将x和y1，y2，y3填入图中相应(xingyng)的区域，然后依次填入其它区域的人数，根据已知条件列出方程组如下：,第三十四页，共42页。,因为会英、法、德和日语的人分别(fnbi)为13，9，10，5人，所以可得方程组,y1+2（4-x）+x+2=13,y2+2（4-x）+x=9,y3+2（4-x）+x=10,y1+y2+y3+3（4-x）+x=24-5,解得,x=1，y,1,=4，y,2,=2，y,3,=3,。,第三十五页，共42页。,求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6，也不能被8整除(zhngch)的数有多少个？,解：设1到1000之间的整数构成全集E，而A，B，C分别代表其中可被5，6，8整除(zhngch)的数的集合。,按题意画出文氏图,第三十六页，共42页。,说明(shumng)：用x表示小于等于x的最大整数，lcm（x1，x2，xn）表示x1，x2，xn的最小公倍数。,首先计算ABC,ABC=1000/lcm（5，6，8）=1000/120=8,将结果填入ABC的区域,第三十七页，共42页。,其次(qc)AB、AC、BC,AB=1000/lcm（5，6）=33,AC=1000/lcm（5，8）=25,BC=1000/lcm（6，8）=41,将结果分别填入AB、AC、BC的区域中去,第三十八页，共42页。,最后(zuhu)计算A、B、C,A=1000/5=200,B=1000/6=166,C=1000/8=125,将这些数据依次填入文氏图,150,100,67,第三十九页，共42页。,精品(jn pn)课件！,第四十页，共42页。,精品(jn pn)课件！,第四十一页，共42页。,由图可知(k zh)，不能被5，6和8整除的数有,1000-（150+100+67+25+33+17+8）=600个。,1000,第四十二页，共42页。,