单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数量关系,第,7,章,第一部分 矢量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式,基本方法,坐标,方程（组）,矢量代数与空间解析几何,点,线,面,坐标法;向量法,数量关系 第7章第一部分 矢量代数第二部分 空间解析几何,1,7.1,6.1.1 空间直角坐标系,6.1.2 矢量及其坐标表示,6.1.3 矢量的线性运算与性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,矢,(,向,),量及其线性运算,第,6,章,7.16.1.1 空间直角坐标系6.1.2,2,7.1.1 空间直角坐标系,分别作三条以,O,为原点且相互垂直的数轴,组成一个空间直角坐标系,坐标原点,坐标轴,x,轴(横轴),y,轴(纵轴),z,轴(竖轴),过空间一定点,O,坐标面,卦限(,八个,),zox,面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,各轴的正向依右手法则确定，,1.原点、坐标轴、坐标面及卦限,(,右手系,)。,7.1.1 空间直角坐标系分别作三条以,3,坐标轴:,坐标面:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.坐标面、坐标轴的表示,坐标轴:坐标面:机动 目录 上页 下页,4,向径,3.空间直角坐标系下点的坐标,坐标轴上各点的坐标：,坐标面上的各点坐标：,点,M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点,M,的,坐标,）,原点,O,(0,0,0);,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P,x,轴,Q,y,轴,R,z,轴,A,xoy,面,B,yoz,面,C,zox,面,O,向径3.空间直角坐标系下点的坐标坐标轴上各点的坐标：坐标,5,4.空间直角坐标系下两点间的距离,设,是空间中的两点，,过这两点各,作三个分别垂直于坐标轴的平面，,为对,角线的长方体，,这六个平面围成以,由直角三角形勾股定理得：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.空间直角坐标系下两点间的距离设是空间中的两点，过这,6,例 1.,证:,即,为等腰三角形。,是等腰三角形。,为顶点的三角形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求证以,如图所示：,例 1.证:即为等腰三角形。是等腰三角形。为顶点的三角,7,例 2.,等距离的点。,解:,设该点为：,解得,故所求点为:,及,思考:,(1)如何求在,xoy,面上与,A,B,等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与,A,B,等距离之点的轨迹方程?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,z,轴上求与两点,提示：,(1)设动点为,利用,得,且,(2)设动点为,利用,得,例 2.等距离的点。解:设该点为：解得故所求点为:及思,8,表示法：,矢量的模：,矢量的大小,7.1.2,矢（向）量的概念,矢(向),量,：,既有,大小,又有,方向,的量称为,矢,（,向,）,量,。,矢径,(向径)：,自由,矢量：,与起点无关的矢量；,起点在原点的矢量，,单位,矢量：,模为 1 的矢量,零,矢量：,模为 0 的矢量,有向线段，,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.,定 义,记作：,记作：,记作：,记作：,记作：,矢量的方向：,有向线段所指的方向；,（零矢量的方向不定！）,表示法：矢量的模：矢量的大小,7.1.2 矢（向）量的概念矢,9,规定:,零矢量与任何矢量平行,;,因平行矢量可平移到同一直线上,故两矢量平行又称 两矢量,共线,若,k,(3)个矢量经平移可移到同一平面上,则称此,k,个矢量,共面（或线性相关）,.,若两矢量,与,大小相等方向相同，,则称它们,相等,，,记作：,记作：,若矢量,与矢量,方向相同或相反，,则称它们,平行,，,记作：,与矢量,模相同方向相反的矢量称为矢量,的,负矢量,，,（或线性相关）,.,规定:零矢量与任何矢量平行;因平行矢量可平移到同一直,10,2.,矢(向)量的坐标及其模,由于,定 义,:,对于矢量,必有,点,A,的坐标,称为矢量,的坐标（分量），,显然，,对应坐标（分量）均相等；,记作：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.矢(向)量的坐标及其模由于定 义:对于矢量必有点 A,11,3.矢(向)量的方向,设,任取空间一点,O,称,=AOB,(,0,),为,的,夹角。,与三坐标轴正向的夹角,称为矢量,矢量的方向角的,余弦值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义：,设,作,记作：,的,方向角,；,称为该矢量的,方向余弦,。,3.矢(向)量的方向设任取空间一点 O,称 =,12,矢量的方向余弦公式为：,任意一组与矢量,的方向余弦,成比例的数,的,方向数,。,称为矢量,由公式有：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,矢量的方向余弦公式为：任意一组与矢量的方向余弦成比例的数的方,13,7.1.3 向量的线性运算与性质,1.,定义,：,设,为实数，,2.性质,）,）,）,（交换律）,均为常数）,）,（结合律）,）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（分配律）,7.1.3 向量的线性运算与性质1.定义：设为实数，2,14,若,显然,由于矢量,是矢量,方向上的单位矢量，,（的）,单位矢量,。,）,所以，矢量,）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常简称为,若显然由于矢量是矢量方向上的单位矢量，（的）单位,15,定理1.,存在数,0 使得：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为两个非零矢量,则,设,与,的对应非零分量（坐标）成比例。,证 明,：,取,得,即,定理1.存在数 0 使得：机动 目录 上页,16,3.,矢量的（垂直）投影,定 义:,设矢量,为任一矢量，,称为矢量,在矢量,上的,投影,（,值,）;,称为矢量,在矢量,上的,投影,（,矢量,）;,数值（量）,矢量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此得：,3.矢量的（垂直）投影定 义:设矢量为任一矢量，称为,17,4.,矢（,向,）量的合成与（垂直）分解,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.矢（向）量的合成与（垂直）分解令则机动 目录,18,由 矢（向）量的合成与（垂直）分解公式：,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由 矢（向）量的合成与（垂直）分解公式：得机动 目录,19,对角线的有向线段，,三角形法则:,矢量的减法:,矢量相加的几何法则:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将两矢量的起点重合，,构成一平行四边形，,以此二矢量为邻边,由矢量的起点到平行四边形,将两矢量首尾相连，,从第一个矢量的起点,到第二个矢量的终点所构成的有向线段称为两矢量的,和矢量,。,将两夭量的起点重合，,以减矢量,的终点为起点，,为终点所构成的有向线段，,平行四边形法则:,称为两矢量的,差矢量,。,被减矢量的终点,称为两矢量的,和矢量,。,对角线的有向线段，三角形法则:矢量的减法:矢量相加的几何法则,20,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多个矢量相加的几何法则:,将相加的各矢量分别一一首尾相连，,以第一个加项矢量的,起点为起点，,例如，,最后一个加项矢量的终点为终点构成一有向线段，,称此有向线段为此多个矢量的,和矢量,。,计算以下五个矢量的和，,机动 目录 上页 下页 返回 结束 多个,21,设,M,为,解:,ABCD,对角线的交点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,试用矢量,分别表示,如下图所示：,设 M 为解:ABCD 对角线的交点,机动 目录 上,22,例 4.,和,的模、方向余弦和方向角。,解:,计算矢量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知两点,例 4.和的模、方向余弦和方向角。解:计算矢量机动,23,例 5.,已知两点,和,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 5.已知两点和解:求机动 目录 上页 下,24,例 6.,在,AB,直线上求一点,M,解:,如图所示,及实数,得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,使得：,已知两点,设,M,的坐标为：,例 6.在AB直线上求一点 M,解:如图所示及实数,25,说明:,由公式：,得,定比分点公式:,点,M,为,AB,的中点,于是得,中点公式,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:由公式：得定比分点公式:点 M 为 AB 的中点,26,例 7.,解:,求点,A,的坐标。,则,因点,A,在第一卦限,故,于是,故点,A,的坐标为,向径,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,设点,A,位于第一卦限,与,x,轴、,y,轴正向,的夹角依次为：,且,已知,例 7.解:求点 A 的坐标。则因点 A 在第一卦限,27,