单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/4/3,#,整体定位：,一、对本章内容的把握,:,（,1,）延伸：,初中解直角三角形内容的延伸,（,2,）应用：,高中三角函数一般知识和平面向量知识,在解三角形中的具体应用,（,3,）工具：,是解决可转化为三角形计算问题的其他,数学问题,(,特别是生产、生活实际中的实际测,量问题,),的重要工具。,（,4,）交汇：,中学许多重要数学知识的交汇点。,整体定位：一、对本章内容的把握:（1）延伸：初中解直角三角形,1,本章主要处理的是三角形中长度、角度、面积的度量问题，在三角形中有六个元素，三条边、三个角，解三角形通常是给出三个独立条件，求出其它的元素，如果是特殊三角形，如直角三角形，则给出两个条件就可以了,解三角形需要利用边角关系，,正弦定理和余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理。,同时,为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础。,本章主要处理的是三角形中长度、角度、面积的度量,2,二、,课标,对本章内容的教学要求,（,1,）通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理与余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。,（,2,）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法，解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。,1.2,节,应用举例有,4,个应用例题：例,1,与例,2,是测量问题；例,3,是介绍解决平衡力系的数学方法；例,4,是以方位角为背景的解斜三角形问题；课后,5,个练习题和,7,个习题。分别涉及航海测量、地理测量等方面实践活动。,二、课标对本章内容的教学要求（1）通过对任意三角形边长和,3,三、本章的教学重点与难点：,教学重点：,1.,探究与发现：,正弦定理与余弦定理的探究与发现,;,2.,设计与运用：,依据所学数学知识设计测量方法，应用正弦定理和余弦定理进行几何测量。,三、本章的教学重点与难点：教学重点：1.探究与发现：正弦定,4,教学难点：,1.,正弦定理与余弦定理的推导,;,2.,已知“边边角”求解三角形,;,(,由初中判定三角形全等的条件可以知道，只要给出三角形中的“边边边”或“边角边”、或“角边角”的条件，就可以确定三角形，在上述条件下解三角形只有一解；若给出“边边角”的条件求解三角形时，解的个数与已知条件有关，结果可能是有一解、二解、或无解，需要具体情况具体分析，学生往往理解不透彻、解答不全面，这是教学的一个难点,),教学难点：1.正弦定理与余弦定理的推导;2.已知“边边角”求,5,3.,解三角形在实际问题中的应用。将实际问题转化为数学问题也是学生面临的一个难题。,3.解三角形在实际问题中的应用。将实际问题转化为数学问题也是,6,四、教学建议：,（一）重视对学生问题意识和探究意识的培养和探究方法的训练,课标教材最突出的特点是对学生问题意识、探究意识以及探究能力的培养与探究方法的训练。对正、余弦定理的学习要重结论但更重过程与方法，应侧重于结论的探究与形成的过程，和探究思想与方法的运用。,四、教学建议：（一）重视对学生问题意识和探究意识的培养和探,7,（,1,）知识结论的探究,利用由特殊到一般的思维方法，从初中学习的直角三角形中的边角关系猜想探究任意三角形中的边角关系。,（,2,）定理证明方法的探究,在证明正弦定理与余弦定理以及解三角形时，鼓励和引导学生利用发散性思维，结合平面几何知识、结合向量的数量积与三角函数的关系、等多角度的探究正、余弦定理的证明方法，如几何法、向量法、坐标法等。,（1）知识结论的探究,8,（,3,）从定性关系到定量关系的探究：,本章对两个定理的探究与推导都十分强调这一量化思想方法。,从任意三角形中大边对大角、小边对小角的定性关系，到三角形边角关系的的准确量化,.,判定三角形全等的定性条件“边角边”、“边边边”，到定量而可计算的公式,即具备上述条件的三角形是唯一的，也即在上述条件下的解三角形只有一解,.,（3）从定性关系到定量关系的探究：从任意三角形中大边对大角,9,（二）重视对学生应用意识与应用能力的训练,1,、从三个层面把握：,应用向量知识证明正弦、余弦定理；,应用三角函数的性质与三角变换解决三角形问题；,应用正弦、余弦定理解决实际测量问题。,（二）重视对学生应用意识与应用能力的训练1、从三个层面把握：,10,2,、充分利用图形语言的直观功能，要培养学生画图作题的习惯。,3,、对于应用问题,应培养学生的阅读理解能力和提取有用信息的能力。,4,、结合各校实际，针对章后实习作业这一教学环节，鼓励学生设计制定测量方案，激发学生的学习热情和应用意识。,2、充分利用图形语言的直观功能，要培养学生画图作题的习惯。,11,（三）重视数学思想方法的研究与训练,分类讨论思想,在探究和证明正弦定理时，先依据直角三角形猜想，分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况用由特殊到一般的分类证明思想进行探究与证明。,（三）重视数学思想方法的研究与训练分类讨论思想,12,三角形的可解性与解的个数的讨论,对给定的已知条件，有一解、有二解、无解三种情况。对此问题，,A,版教材是在探究与发现中给出研究，,B,版教材则是通过例题给出暗示，教学时可不要求学生对各种情况给出系统的讨论，但必须让学生明确，不同已知条件下解三角形的结果的不同性。要从更宽广的层面上引导学生学习，与三角函数知识，以及与图形相结合，而不是简单的归纳问题的类型、死记硬背所谓解的情况表。,利用余弦定理对三角形形状的讨论,三角形的可解性与解的个数的讨论 利用余弦定理对三,13,转化与化归思想,一是在用几何法证明正弦定理和余弦定理时，均采用将一般三角形转化为直角三角形的证明策略。,二是解决实际测量问题时，将实际问题转化为三角形中的数学问题。,转化与化归思想,14,（四）应用问题教学要贴近学生生活实际,1,、营造应用问题氛围，贴近学生生活实际，激发学生的学习数学的热情和学习愿望,认识到学习解三角形知识的必要性。,2,、发挥学生主体作用，引导学生从感兴趣的实际问题到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的情况，从而形成猜想，激起进一步探究的欲望，设计与发现解决问题的途径与方法，关注学生情感的体验。,3,、注重数学方法提炼，加强问题解决后的总结与反思，并抽象提炼出数学模型，发现与总结数学规律，抓住问题的数学实质，将问题逐步引向深入，提升学习效率。,（四）应用问题教学要贴近学生生活实际1、营造应用问题氛围，贴,15,（五）重视对学生信息技术应用能力的培养,课本例题与习题中有一个显著的特点，求解结果的近似性。非特殊角、带小数的长度值。有两层含义：问题的真实性与现实性；培养学生运用计算工具（如计算器、计算机）的意识与能力。,没有计算器条件的,求近似值,改成,求精确值,.,教学中也可以改例习题中的角为特殊角,。,（五）重视对学生信息技术应用能力的培养 课本例题,16,（六）关于例习题的选配与训练的层次,层次,1:,正弦、余弦定理的理解与巩固性练习。,层次,2:,依据问题的已知条件特征，对正弦定理和余弦定理的识别与选择性使用练习。,层次,3:,三角形内的简单三角变换问题，如三角形内恒等式的证明、三角形形状的判断等。,（六）关于例习题的选配与训练的层次层次1:正弦、余弦定理的理,17,层次,4:,实际测量问题（天文测量、航海测量、地理测量）：航海中海上两个岛屿间的距离的测量；海上航行的船只的船速与航向的测量；底部不可到达的建筑物的高度的测量；在水平飞行的飞机下方山顶的海拔高度的测量；不可到达的两点间的距离的度量,;,在天文研究中星际距离的测量；地理测量中的角度与面积的测量等生活实际中的实际应用问题，这类问题课本配备充足，,不必要另外补充很多例题。,层次4:实际测量问题（天文测量、航海测量、地理测量）：航海,18,（七）要适当控制练习题目的难度,重点关注解三角形的应用（测量与几何），鼓励学生探究不同的方法来解决问题，而不是硬套公式。重视揭示三角形本身所蕴涵的边角关系，引导学生掌握定理的结构,体会正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，强化方程思想与数形结合的思想，淡化三角变换，避免单纯的恒等变形和过分的技巧性训练。,（七）要适当控制练习题目的难度 重点关注解三,19,1.1.1,正弦定理,本节的主要任务是引入并证明正弦定理，建立任意三角形的边角关系，是对三角形边角关系准确量化的表示。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然的引导到三角函数上，让学生从已有的的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角、小边对小角的关系，我们能否得到这个边角关系的准确量化的表示呢”，再利用直角三角形的特殊性质引导学生猜想出正弦定理。,五、具体建议,1.1.1正弦定理 本节的主要任务是引入并证明正弦,20,教学目标：,（,1,）通过对任意角三角函数关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题，让学生从已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；,（,2,）通过对正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力；用数学的方法去解决实际问题的能力；独立思考和勇于探索的创新精神。,（,3,）通过创设情景，引导学生积极参与，让学生自主探索、合作交流，亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”,切身感受创造的快乐，激发学生对数学学习的热情。,教学目标：（2）通过对正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规,21,重点难点：,重点是正弦定理的证明及其应用；,难点是正弦定理的探索与证明。,这一小节建议可用,两节课,：第一节课讲正弦定理和例,2,，感受体会正弦定理的推导与应用,练习题目可类比选用习题,1-1A,组第,7,题。,正弦定理的证明方法很多，教师可以点拨引导学生借助向量和利用初中所学的平面几何的方法给出证明，借此培养学生综合运用所学知识的发散思维能力。,重点难点：这一小节建议可用两节课：第一节课讲正弦定理和例2,22,第二节课通过例,1,讲正弦定理在解三角形中的应用。,对学习较好的学生可进行小结：题中的（,1,）已知两角及其夹边，方程有唯一解。这时，正弦定理等价于判断三角形全等的定理,ASA,。（,2,）和（,3,）是已知两边和其中一边所对的角，这时，列出的方程分别有两解和一解。一解，表示只确定一个三角形，两解表示两个不同的三角形。如果给出的几何条件，不能确定三角形，对应的方程一定无解。这种情况可不讨论,.,第二节课通过例1讲正弦定理在解三角形中的应用。,23,另外,书中的图,1-3,（,2,），示意方程解确定的两个三角形，由此，要说明方程两解的几何意义，则要涉及到同弧上的圆周角等较多的几何知识,学生会发生困难。建议图改为,:,另外,书中的图1-3（2），示意方程解确定的两个三角形，由此,24,1.1.2,余弦定理,对于余弦定理的证明，同正弦定理类似，首先引导学生提出,探究性问题,“如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”。,1.1.2 余弦定理 对于余弦定理的证明，,25,对于,定理的证明,，要引导学生利用类比正弦定理证明的思维方法，从几何法、向量法、坐标法等展开联想，探究不同的证明方法，并对不同方法进行比较，让学生体会感受到用向量方法证明余弦定理的简便与威力。同时，引导学生将余弦定理与勾股定理进行比较，理解特殊与一般的关系，以及锐角、直角、钝角的判断方法。,对于定理的证明，要引导学生利用类比正弦定理证明的思维方法，从,26,教学目标：,（,1,）通过对余弦定理的探究与证明，熟悉利用平面几何法、向量法、坐标法证明余弦定理，会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，了解余弦定理和勾股定理的关系；,（,2,）通过对三角函数的边角关系的探