,*,简单的线性规划问题,简单的线性规划问题,1,x,y,o,xyo,2,一、线性规划在实际中的应用：,线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，,一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；,二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.,下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：,一、线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和,3,例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075,kg,的碳水化合物，0.06,kg,的蛋白质，0.06,kg,的脂肪，1,kg,食物,A,含有0.105,kg,碳水化合物，0.07,kg,蛋白质，0.14,kg,脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105,kg,碳水化合物，0.14,kg,蛋白质，0.07,kg,脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物,A,和食物,B,多少,kg,？,食物,kg,碳水化合物,kg,蛋白质/,kg,脂肪,kg,A,0.105,0.07,0.14,B,0.105,0.14,0.07,分析：将已知数据列成表格,二、例题,例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075,4,解：设每天食用,xkg,食物,A,，,ykg,食物,B,，总成本为,z,那么,目标函数为：,z,28,x,21,y,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域,解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z目标函数,5,把目标函数,z,28,x,21,y,变形为,x,y,o,5/7,5/7,6/7,3/7,3/7,6/7,它表示斜率为,随,z,变化的一组平行直线系,是直线在,y,轴上的截距，当截距最小时，,z,的值最小.,M,如图可见，当直线z28,x,21,y,经过可行域上的点M时，截距最小，即,z,最小.,把目标函数z28x21y 变形为xyo5/75/76/7,6,M,点是两条直线的交点，解方程组,得,M,点的坐标为：,所以,z,min,28,x,21y16,由此可知，每天食用食物,A,143,g,，食物,B,约571,g,，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.,M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin,7,例6、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）,分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？,学段,班级学生数,配备教师数,初中,45,2,26班,2人,高中,40,3,54班,2人,例6、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。对教育市场进,8,把上面四个不等式合在一起，,得到,y,x,20,30,40,20,30,o,另外，开设的班级不能为负，则,x,0，,y,0.,而由于资金限制,，,26,x,54,y,22,x,23,y,1200,解：设开设初中班,x,个，高中班,y,个。因办学规模以2030个班为宜，所以，20,x,y,30,把上面四个不等式合在一起，yx2030402030o,9,y,x,20,30,40,20,30,o,由图可以看出，当直线,Z,7.2,x,10.8,y,经过可行域上的点,M,时，截距最大，即,Z,最大.,设收取的学费总额为Z万元，则目标函数,Z,0.1645,x,0.2740,y,7.2,x,10.8,y.,Z,7.2,x,10.8y,变形为,它表示斜率为 的直线系，,Z,与这条直线的截距有关.,M,易求得M（20，10），则,Z,max,7.2,x,10.8,y,252,故开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元.,yx2030402030o 由图可以看出，当直线Z7,10,例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4,t,、硝酸盐18,t,；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1,t,、硝酸盐15,t.,现库存磷酸盐10,t,、硝酸盐66,t,，在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：,x,y,o,例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲,11,解：设生产甲种肥料,x,车皮、乙种肥料,y,车皮，能够产生利润,Z,万元。目标函数为,Z,x,0.5,y,，可行域如图：,把,Z,x,0.5,y,变形为y2,x,2,z,，它表示斜率为,2，在y轴上的截距为2,z,的一组直线系.,x,y,o,由图可以看出，当直线经过可行域上的点,M,时，,截距2,z,最大，即,z,最大.,故生产甲种、乙种肥料各,2车皮，能够产生最大利润，,最大利润为3万元.,M,容易求得,M,点的坐标为,（2，2），则,Z,min,3,解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元,12,三、练习题,某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在,A、B,两种设备上加工，在每台,A、B,上加工1件甲所需工时分别为1,h,、2,h,，,A、B,两种设备每月有效使用台数分别为400,h,和500h.如何安排生产可使收入最大？,设每月生产甲产品,x,件，生产乙产品y件，每月收入为,z,，目标函数为,Z,3,x,2y，满足的条件是,三、练习题 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销,13,Z,3,x,2y 变形为,它表示斜率为 的直线系，,Z,与这条直线的截距有关.,x,y,O,400,200,250,500,当直线经过点,M,时，截距最大，,Z,最大.,M,解方程组,可得,M,（200，100）,Z,的最大值,Z,3,x,2y800,故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元.,Z 3x2y 变形为它表示斜率为,14,四.课时小结,线性规划的两类重要实际问题的解题思路：,1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，,确定线性目标函数.,2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，,在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解,在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较.）,3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际,问题的解，即结合实际情况求得最优解.,四.课时小结 线性规划的两类重要实际问题的解题思路：,15,