/10/29,.,*,第,7,章,随机利率模型,【,考试要求,】,7.1,引言,相关概念,利率模型的评价标准,均衡模型与无套利模型,7.2,Ho-Lee,模型,Ho-Lee,模型,Ho-Lee,模型的应用,7.3,连续时间随机利率模型下零息债券的定价,随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程,利率风险的市场价格,零息债券价格满足的偏微分方程,基于鞅方法的零息债券定价公式,第7章随机利率模型,7.4,Vasicek,模型,Vasicek,模型及模型求解,Vasicek,模型下的债券的定价,7.5,CIR,模型,CIR,模型及模型求解,CIR,模型下债券的定价,7.6,单因素模型的局限性,单因素模型的局限,多因素模型简介,7.4Vasicek模型,【,要点详解,】,7.1,引言,1,相关概念,（,1,）,银行账户过程,定义 为,t,时刻银行账户过程,(,的价值,),。假设,(0)=1,，且银行账户满足以下的微分方程：,其中 是瞬时利率。由上式可以进一步的推出：,说明：,如果瞬时利率,r,t,是随机的，银行账户过程 也是随机的。,（,2,）,随机折现因子,在,t,时刻到,T,时刻的随机折现因子,D,(,t,，,T,),是：,随机折现因子的含义,假设在,0,时刻向银行账户存入,A,单位货币，则在,t,0,时刻银行账户将有 单位货币。若希望在,T,(,T,t,),时银行账户,有,1,单位货币，即 ，需在,0,时刻投入 单位的货币，这笔金额在,t,时刻银行账户的价值为：,所以，,T,时刻的,1,单位货币，在,t,时刻的价值为 。,【要点详解】,（,3,）,连续复利收益率,用,B,(,t,，,T,),表示,T,时刻到期的零息票债券,1,单位面值在,t,时刻的价格。,连续复利收益率,R(,t,，,T,),定义为：,由这个等式可以推出：,R,(,t,，,T,),是零息债券在,t,，,T,上的平均收益率。,说明,：尽管,B,(,t,，,T,),与,D,(,t,，,T,),二者都是从,T,到,t,的贴现因子，但,B,(,t,，,T,),在,t,时刻是一个数，而,D,(,t,，,T,),则可能是一个随机变量。,（,4,）,远期单利和远期复利,t,时刻的期限为,T,，,S,(,T,S,),的,远期单利,的定义为：,t,时刻的期限为,T,，,S,(,T,S,),的,远期复利,的定义为：,说明：,和 是基于,t,时刻的信息对未来的期限为,T,，,S,的即期单利和即期复利的预期值。,（3）连续复利收益率,（,5,）,远期瞬时利率,远期瞬时利率,的定义为：,由定义可知 。,由上面的等式可以推出，零息债券的价格可表示为：,这个式子结合 可以推出：,说明：,当期限,T,，,S,无限小时单利和复利相等。,（5）远期瞬时利率,【,例题,7.1】,零息债券的远期利率由表达式,f,(0,，,T,)=0.05+0.01,T,给出，其中,T,为年数。面值为,100,美元，到期以面值赎回，则到期日为,5,年的零息债券的价格为（）。,A,94.65,B,88.69,C,68.73,D,36.79,E,25.36,【,答案,】,C,【,解析,】,到期日为,5,年的零息债券的价格为：,（美元）,【例题7.1】零息债券的远期利率由表达式f(0，T)=0,2,利率模型的评价标准,利率模型能够满足一些优良的性质，这些优良的性质包括：,（,1,）模型应该是无套利的。即利率应该是非负的。,（,2,）利率应该具有均值回复特征。即利率围绕某一均值波动，如利率超过均值，则在未来有下降的趋势；反之，如低于均值，则未来有上升的趋势。,（,3,）被用于计算债券以及利率衍生品价格时应较为简单。,（,4,）应该是动态的，能充分反映市场利率的变化。,（,5,）参数容易估计，且模型能较好的拟合历史数据。,（,6,）有明显的经济意义。,说明：,许多常用的随机利率模型只具有上面的部分性质，但在实际应用中往往忽略模型的某些缺陷。,2利率模型的评价标准,3,均衡模型与无套利模型,（,1,）,均衡利率模型（,绝对定价模型,）,可以对债券和利率衍生品定价。由于货币市场和资本市场的复杂性，单因素均衡模型推导出来的收益率曲线一般不能精确地拟合实际的收益率曲线，所以实际中也常常采用多因素模型。,单因素模型,：是指模型中只涉及一个布朗运动，或者说模型只有一个风险源；,多因素模型,：是指涉及多个布朗运动，因而对应了多个风险源。,说明：,在均衡模型中，远期利率是由随机模型预测得到；,（,2,）,无套利模型（,相对定价模型或拟合模型,）,基本思想是基于已知的市场债券或其他利率衍生品的价格构造收益率曲线，再利用得到的收益率曲线对其他的利率衍生品定价。基于无套利模型得到的价格是一种相对价格，即相对于已知的价格的无套利价格。,说明：,在无套利模型中，远期利率是通过债券或某些利率衍生品的价格得到。,3均衡模型与无套利模型,7.2,Ho-Lee,模型,1,Ho-Lee,模型,（,假定,市场是完备的,、考虑,离散时间）,该模型假定初始利率期限结构是已知的，使用了当前可观测的期限结构所包含的全部信息来给衍生证券定价，以保证不出现套利机会，是无套利模型。,s,n,：第,n,期市场的状态空间；,（贴现函数）：第,n,期、状态 出现、到期时刻为,T,的零息票债券的价格。,在任意时刻,n,、状态,i,，利率期限结构由一系列贴现函数来完全描述。其中贴现函数 满足：,第一个条件表明零息票债券的价格非负，第二个条件表明到期时零息票债券的价格为,1,，第三个条件表明期限无限长的零息债券的价格为零。,7.2Ho-Lee模型,（,1,）,Ho-Lee,模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况,Ho-Lee,模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况为：在第,n,期，贴现函数有,n,+1,中可能状态。贴现函数的每个状态都都独立于通向该节点的路径，仅由初始点到该节点之间的向上移动和向下移动的次数决定。,在该二叉树模型中，每个节点对应一组折现率，因此每个节点都对应一组与之关联的各种零息债券的价格。,图,7-1,零息债券价格的二叉树模型,（,2,）,极限情况,下，,Ho-Lee,模型下的短期利率,在极限情况,下，,Ho-Lee,模型下的短期利率满足：,其中，为时间,t,的函数，描述了 变动的趋势；为一常数，描述了利率的波动幅度；为标准布朗运动。,（1）Ho-Lee模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况,2,Ho-Lee,模型的应用,由 可得,，。,在计算债券价格时，通常将 离散化为：,其中随机变量,在,u,出现时取,+1,，在,d,出现时取,-1,，,u,和,d,分别代表向上移动和向下移动。,2Ho-Lee模型的应用,【,例题,7.2】,表,7-1,为一组面值为,100,元的零息票债券的数据，设利率变动符合,Ho-Lee,模型，其中 ，。,表,7-1,市场观测数据,期限,(,年,),零息利率,(,),零息债券价格,(,元,)l5.8394.4926.3088.50,构建,Ho-Lee,模型下利率的二叉树及债券价格的二叉树。,解：,债券价格的树形结构如图,7-2,所示，其中,2,年期的零息票债券在一年后其价格以,0,5,的概率变为,P,u,，或者以,0.5,的概率变为,P,d,。,图,7-2,基于,Ho-Lee,模型的定价二叉树,(2,年期零息票债券,),【例题7.2】表7-1为一组面值为100元的零息票债券的,该价格是受相应利率变动影响的，与其相对应的短期利率的结构如图,7-3,所示。,图,7-3,基于,Ho-Lee,模型的短期利率树形结构,首先可以得到,P,u,和,P,d,的表达式分别为：,再由债券价格可得：,解该方程得 。,该价格是受相应利率变动影响的，与其相对应的短期利率的结构,也可得到 ，。,债券的价格二叉树、利率的二叉树分别如图,7-4,和图,7-5,所示：,图,7-4,基于,Ho-Lee,模型的债券价格二叉树,图,7-5,基于,Ho-Lee,模型的短期利率树,也可得到,【,例题,7.3】,图,7-6,给出了一利率二叉树图，假设所有分支上的概率都是,1,2,，用倒向法计算两年期零息债券的价格为（）。,图,7-6,A,0.8865,B,0.8925,C,0.9071,D,0.9123,E,0.9257,【,答案,】,C,【,解析,】,两年期零息债券的价格为：,【例题7.3】图7-6给出了一利率二叉树图，假设所有分支,7.3,连续时间随机利率模型下零息债券的定价,1,随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程,（,1,）,随机利率模型的一般形式,考虑单因素模型。关于短期利率,r,t,的随机微分方程的一般形式为：,其中，被称为漂移项，被称为 波动项，为客观概率测度,P,下的标准布朗运动。,（,2,）,零息债券价格满足的随机微分方程,由于零息债券价格,B,(,t,，,T,),与,r,t,有关，则可以把,B,(,t,，,T,),视为关于,t,，,T,，,r,t,的函数，即：,方法一：,对,B(t,，,T,，,r,t,),微分可得：,则零息债券满足的随机微分方程：,方法二：,直接对,B(t,，,T,，,r,t,),应用 引理，也可以得到上面的随机微分方程。,7.3连续时间随机利率模型下零息债券的定价,2,利率风险的市场价格,用两种不同到期日的零息债券,(,即,T,1,T,2,),构造无风险资产组合，设组合 为：,（,7.1,）,选择适当的头寸 ，使得 的风险为零，即,（,7.2,）,是两种零息债券对利率风险的敏感度之比，也是用到期日为,T,2,的零息债券对到期日为,T,1,的零息债券做套期保值的比率。,对 微分可得：,2利率风险的市场价格,由 可得：,故组合 是无风险的，因此其收益率与无风险收益率相等，即,（,7.3,）,将 的表达式代入,(,7.3,),式，可得：,由,由 可得：,由,T,1,，,T,2,的任意性可知，数值,（,7.4,）,与期限,T,无关，仅与,t,、,r,t,有关，记为,t,。,由,下面我们探究,t,在实际中的含义。,T,时刻到期的债券价格在客观概率测度下的随机微分方程重新记为：,其中，,和 分别为零息债券的瞬时收益率和瞬时波动率。,由,可以得到：,因此可以看出，,t,的含义,是承担单位风险获得的超额收益，即利率风险的市场价格。,3,零息债券价格满足的偏微分方程,模型推导,：,由,可得零息债券价格满足的偏微分方程：,整理上式，可得：,（,7.5,）,边界条件为：,B,(,T,，,T,)=1,3零息债券价格满足的偏微分方程,模型求解方法：,可以,利用有限差分方法或者蒙特卡罗模拟法对上式进行求解，因此可对任意特定的随机利率模型求出上式的数值解。利用,Feynman-Kac,公式，债券价格满足的微分方程的解为：,其中,Q,是风险中性概率测度，表示在,t,时刻的信息集。,一般的，对于一个到期日为,T,的利率衍生品，如果其到期支付为,f,(,T,),，则该衍生品,t,时刻的价格为：,模型求解方法：,4,基于鞅方法的零息债券定价公式,在风险中性概率测度,Q,下，任何资产的期望收益率均为无风险收益率 ，因此债券价格满足的随机微分方程变为：,根据零息债券满足的随机微分方程,可得,由,得：,说明：这里需要假定,Girsanov,定理的条件成立。,4基于鞅方法的零息债券定价公式,可通过测度变换将贴现的债券价格过程转化为鞅。令,其中,t,是银行账户过程，显然,Z,(,T,，,T,)=,T,-1,。,由 引理可得：,（,7.6,）,因此,Z,(,t,，,T,),是一个,Q,鞅，所以，,将,Z,(,t,，,T,),和,Z,(,T,，,T,),的表达式代入,(7.6),式可得：,可通过测度变换将贴现的债券价格过程转化为鞅。令,7.4,Vasicek,模型,短期利率,r,t,最著名的两个模型是,Vasicek,模型和,CIR,模型。这两个模型都是时间齐性，即,r,t,未来的变化仅依赖于,r,t,的当前值，而不是当前的时刻,t,。,1,Vasicek,模