单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,E,F,M,A,N,D,B,1,EFMANDB1,2,2,如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.,B,A,D,C,连,线,构,造,全,等,3,连接,AC,构造全等三角形,如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.BADC连线,连线,构造全等,如图,AB,与,CD,交于,O,且,AB=CD,，,AD=BC,，,OB=5cm,，求,OD,的长,.,连接,BD,构造全等三角形,D,A,C,B,4,连线构造全等如图,AB与CD交于O,且AB=CD，AD=B,5,5,如何利用三角形的中线来构造全等三角形？,可以利用,倍长中线法,，即把中线,延长一倍，来构造全等三角形。,如图，若,AD,为,ABC,的中线，,延长,AD,到,E,，使,DE=AD,，,连结,BE,（也可连结,CE,）。,1,A,必有结论：,ABD,ECD,，,1=,E,，,B=,2,，,EC=AB,，,CE,AB,。,B,D,2,C,E,6,如何利用三角形的中线来构造全等三角形？可以利用倍长中线法，即,已知，如图,AD,是,ABC,的中线，,1,求证：,AD,?,(,AB,?,AC,),2,延长,AD,到点,E,，使,DE=AD,，,连结,CE.,B,A,C,D,倍,长,中,线,思考：若,AB=3,AC=5,求,AD,的取值范围？,E,7,已知，如图AD是ABC的中线，1求证：AD?(AB?AC),8,8,截长,补短,已知在,ABC,中，,C=2,B,1=,2,A,求证,:AB=AC+CD,E,B,1,2,D,C,F,在,AB,上取点,E,使得,AE=AC,，连接,DE,在,AC,的延长线上取点,F,使得,CF=CD,，连接,DF,9,截长补短已知在ABC中，C=2B,1=2A求证:,如图所示，已知,AD,BC,，,1=,2,，,3=,4,，直线,DC,经过点,E,交,AD,于点,D,，,交,BC,于点,C,。求证：,AD+BC=AB,D,E,4,C,3,A,1,2,F,B,截,长,补,短,10,在,AB,上取点,F,使得,AF=AD,连接,EF,如图所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线DC经,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,BD,是,ABC,的角平分线，,AD=CD,，求证：,证明：,在,A+C=180,BC,上截取,BE,，使,BE=AB,，连结,DE,。,BD,是,ABC,的角平分线（已知）,1=,2,（角平分线定义）,在,ABD,和,EBD,中,AB=EB,（已知）,1=,2,（已证）,BD=BD,（公共边）,ABD,EBD,（,S.A.S,）,A,3,（全等三角形的对应角相等）,1,2,3,*,例,1,A,D,1,B,（平角定义），,A,3,（已证）,2,3,E,4,C,3+,4,180,AD=DE,（全等三角形的对应边相等）,AD=CD,（已知），,AD=DE,（已证）,DE=DC,（等量代换）,4=,C,（等边对等角）,A+,C,180,（等量代换）,11,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，A,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,BD,是,ABC,的角平分线，,AD=CD,，求证：,证明,:,延长,A+C=180,BA,到,F,，使,BF=BC,，连结,DF,。,F,BD,是,ABC,的角平分线（已知）,1=,2,（角平分线定义）,在,BFD,和,BCD,中,例,1,A,3,1,B,2,4,D,BF=BC,（已知）,1=,2,（已证）,BD=BD,（公共边）,C,F,C,（已证）,4=,C,（等量代换）,3+,4,180,（平角定义）,A+,C,180,BFD,BCD,（,S.A.S,）,F,C,（全等三角形的对应角相等）,DF=DC,（全等三角形的对应边相等）,1,2,3,*,AD=CD,（已知），,DF=DC,（已证）,DF=AD,（等量代换）,4=,F,（等边对等角）,（等量代换）,12,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，A,如图，已知,ABC,中，,AD,是,BAC,的角平分线，,练习,1,AB=AC+CD,，求证：C=2B,证明,:,在,AB,上截取,AE,，使,AE=AC,，连结,DE,。,A,1,2,AD,是,BAC,的角平分线（已知）,1=,2,（角平分线定义）,在,AED,和,ACD,中,E,B,AE=AC,（已知）,1=,2,（已证）,AD=AD,（公共边）,3,4,D,C,AED,ACD,（,S.A.S,）,C,3,（全等三角形的对应角相等,),ED=CD,（全等三角形的对应边相等）,1,2,*,B=,4,（等边对等角）,3=,B+,4=2,B,（三角形的一个外角等于,和它不相邻的两个内角和）,C=2,B,（等量代换）,13,又,AB=AC+CD=AE+EB,（已知）,EB=DC=ED,（等量代换）,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，练习1AB=,如图，已知,ABC,中，,AD,是,BAC,的角平分线，,练习,1,AB=AC+CD,，求证：C=2B,证明,:,延长,AC,到,F,，使,CF=CD,，连结,DF,。,A,1,2,AD,是,BAC,的角平分线（已知）,1=,2,（角平分线定义）,AB=AC+CD,，,CF=CD,（已知）,AB=AC+CF=AF,（等量代换）,在,ABD,和,AFD,中,AB=AF,（已证）,B,D,3,C,1=,2,（已证）,AD=AD,（公共边）,F,ACB=2,F,（三角形,的一个外角等于和它不相,邻的两个内角和）,14,1,2,*,ABD,AFD,（,S.A.S,）,F,B,（全等三角形的对应角相等）,ACB=2,B,（等量代换）,CF=CD,（已知）,B=,3,（等边对等角）,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，练习1AB=,如图，已知直线MNPQ，且,AE,平分,BAN,、,BE,平分,QBA,，,DC,是过,E,的任意线段，交,MN,于点,D,，,交,PQ,于点,C,。求证：,AD+AB=BC,。,证明,:,延长,AE,，交直线,PQ,于点,F,。,M,D,A,3,4,N,E,21,22,3,0,*,*,1,P,B,2,5,F,C,Q,15,如图，已知直线MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QB,16,16,.,“,周长问题”的转化,借助“,角平分线性质,”,1.,如图,ABC,中,C=90,o,AC=BC,AD,平分,ACB,DEAB.若,AB=6cm,则,DBE,的周长是多少,?,C,D,BE+BD+DE,BE+BD+CD,A,BE+BC,BE+AC,BE+AE,AB,E,B,17,.“周长问题”的转化借助“角平分线性质”1.如图,ABC,.,“,周长问题”的转化,借助“,垂直平分线性质,”,2.,如图,ABC,中,D,在,AB,的垂直平分线上,E,在,AC,的垂直平分线上,.,若,BC=6cm,求,ADE,的周长,.,AD+AE+DE,BD+CE+DE,BC,B,A,D,E,C,18,.“周长问题”的转化借助“垂直平分线性质”2.如图,AB,.,“,周长问题”的转化,借助“,等腰三角形性质,”,5.,如图,ABC,中，,BP,、,CP,是,ABC,的角平分线，,MN/BC.,若,BC=6cm,AMN,周长为,13cm,，求,ABC,的周长,.,A,AB+AC+BC,AM+BM+AN+NC+6,AM+MP+AN+NP+6,AM+AN+MN+6,13+6,B,M,P,N,C,19,.“周长问题”的转化借助“等腰三角形性质”5.如图,A,20,20,ABC,中,AB,AC,，,A,的平分线与,BC,的垂直平分线,DM,相交于,D,，过,D,作,DE,AB,于,E,，作,DF,AC,于,F,。,A,求证：,BE=CF,连接,DB,DC,B,D,E,M,C,F,垂直平分线上点向两端连线段,21,ABC中,ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线DM,?,如图，已知三角形,ABC,中,BC,边上的垂直平,分线,DE,与角,BAC,的平分线交于点,E,，,EF,垂,直,AB,交,AB,的延长线于点,F,，,EG,垂直,AC,交,AC,于点,G,。求证：,(1)BF=CG,?,(2),判定,AB+AC,与,AF,的关系,22,?如图，已知三角形ABC中,BC边上的垂直平分线DE与角BA,23,23,o,如图,ABC,中,C=90,BC=10,BD=6,AD,平分,BAC,求点,D,到,AB,的距离,.,A,过点,D,作DEAB于点,E,E,B,C,D,角平分线上的点向角两边做垂线段,24,o如图,ABC中,C=90,BC=10,BD=6,A,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,BD,是,例,1,ABC,的角平分线，,AD=CD,，求证：,证明,:,作,DM,BC,于,M,，,DN,BA,交,BA,的延长线于,N,。,A+C=180,BD,是,ABC,的角平分线（已知）,1=,2,（角平分线定义）,DN,BA,，,DM,BC,（已知）,N=,DMB=90,（垂直的定义）,在,NBD,和,MBD,中,N=,DMB,（已证）,1=,2,（已证）,BD=BD,（公共边）,NBD,MBD,（,A.A.S,）,ND=MD,（全等三角形的对应边相等）,DN,BA,，,DM,BC,（已知）,4=,C,（全等三角形的对应角相等）,3+,4,180,（平角定义），,A,3,（已证）,A,3,1,B,2,N,4,D,M,C,1,2,3,*,NAD,和,MCD,是,Rt,在,Rt,NAD,和,Rt,MCD,中,ND=MD,（已证）,AD=CD,（已知）,Rt,NAD,Rt,MCD,（,H.L,）,A+,C,180,（等量代换）,25,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是例1ABC的角平分线,角平分线上点向两边作垂线段,如图,OC,平分,AOB,DOE+DPE=180,A,PD=PE,求证,:,PD=PE.,过点,P,作PFOA,PG OB,垂足为点,F,点,G,O,F,D,P,G,C,E,B,26,角平分线上点向两边作垂线段如图,OC 平分AOB,DOE,线段与角求相等，先找全等试试看。,图中有角平分线，可向两边作垂线。,线段垂直平分线，常向两端把线连。,线段计算和与差，巧用截长补短法。,三角形里有中线，延长中线,=,中线。,想作图形辅助线，切莫忘记要双添。,27,线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂,