单击此处编母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,5,章,二次根式,5.1,二次根式,第,1,课时,2024/11/16,1,第5章 5.1二次根式2023/9/221,学习目标,1.,了解二次根式的定义；,2.,理解二次根式在实数范围内有意义的条件；,（重点）,3.,掌握二次根式的两条重要性质（重点、难点）,学习目标1.了解二次根式的定义；,导入新课,情景引入,里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？,你们是根据哪些特征猜出的呢？,2024/11/16,3,导入新课情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印,通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？,“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也,.,”,-,中科院数学与系统科学研究院,李邦河,2024/11/16,4,通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特,复习引入,问题,1,什么叫做平方根,?,一般地，如果一个数的平方等于,a,，那么这个数叫做,a,的平方根,.,问题,2,什么叫做算术平方根,?,如果,x,2,=,a,（,x,0,），那么,x,称为,a,的算术平方根,.,用 表示,.,问题,3,什么数有算术平方根,?,我们知道,负数没有平方根,.,因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或,0.,复习引入问题1 什么叫做平方根?一般地，,思考,用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？,(1),如图,的海报为正方形，若,面积为,2m,2,则边长为,_,m,；,若面积为,S,m,2,，则,边长为,_,m,(2),如图,的海报为长方形，若长是宽的,2,倍，面积为,6m,2,，则它的宽为,_m,图,图,思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图,（,3,）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间,t,（单位：,s,）与开始落下的高度,h,（单位：,m,）满足关系,h,=5,t,2,，如果用含有,h,的式子表示,t,，那么,t,为,_,2024/11/16,7,（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：,问题,1,这些式子分别表示什么意义？,分别表示,2,，,S,，,3,，的算术平方根,上面问题中，得到的结果分别是：，,讲授新课,根指数都为,2,;,被开方数为非负数,.,问题,2,这些式子有什么共同特征？,二次根式的概念及有意义的条件,2024/11/16,8,问题1 这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3，,归纳总结,一般地，我们把形如,的式子叫做二次根式,.,“”,称为二次根号,.,两个必备特征,外貌特征：含有,“”,内在特征：被开方数,a,0,注意：,a,可以是数，也可以是式,.,2024/11/16,9,归纳总结 一般地，我们把形如,例,1,下列各式是二次根式吗,?,典例精析,是,不是,不是,（,x,y,异号）,不是,不是,是,不是,不含二次根号,被开方数是负数,当,m,0,时被开方数是负数,xy,0,非负数,+,正数恒大于零,根指数是,3,例1 下列各式是二次根式吗?典例精析是不是不是（x,y异号,例,2,当,x,是怎样的实数时,在实数范围内有,意义,?,解：由,x,-,2,0,，得,x,2.,当,x,2,时，在实数范围内有意义,.,解：由题意得,x,-,1,0,，,x,1.,例2 当x是怎样的实数时,在实数,解：,被开方数需大于或等于零，,3+,x,0，,x,-3,.,分母不能等于零，,x,-10，,x,1,.,x,-3 且,x,1,.,要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足,被开方数,0,，列不等式求解即可,.,若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑,分母不为零,.,归纳,解：被开方数需大于或等于零，要使二次根,(1),单个二次根式如 有意义的条件：,A,0,；,(2),多个二次根式相加如 有意义的,条件：,(3),二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：,A,0,；,(4),二次根式与分式的和如 有意义的条件：,A,0,且,B,0.,归纳总结,(1)单个二次根式如 有意义的条件：A0；(2,1.,下列各式：,.,一定是二次根式的个数有 （）,A.3,个,B.4,个,C.5,个,D.6,个,B,2.(1),若式子 在实数范围内有意义，则,x,的取值,范围是,_;,(2),若式子 在实数范围内有意义，则,x,的,取值范围是,_.,x,1,x,0,且,x,2,练一练,1.下列各式：,问题,1,当,x,是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？,前者,x,为全体实数；后者,x,为正数和,0,.,当,a,0,时，表示,a,的算术平方根，因此 ,0,；当,a,=0,时，表示,0,的算术平方根，因此,=0.,这就是说，当,a,0,时，,0.,问题,2,二次根式 的被开方数,a,的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？,二次根式的双重非负性,问题1 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？,二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根,.,对于任意一个二次根式 ，我们知道：,（,1,）,a,为被开方数，为保证其有意义，可知,a,0,；,（,2,）表示一个数或式的算术平方根，可知,0.,二次根式的被开方数非负,二次根式的值非负,二次根式的双重非负性,归纳总结,2024/11/16,16,二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于,例,3,若 ，求,a,-,b,+,c,的值,.,解：,由题意可知,a,-2=0,b,-3=0,c,-4=0,解得,a,=2,b,=3,c,=4.,所以,a,-,b,+,c,=2,-,3+4=3,.,多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零,.,初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式,.,归纳,典例精析,例3 若,例,4,已知,y,=,求,3,x,+2,y,的算术平方根,.,解：由题意得,x,=3，,y,=8，,3,x,+2,y,=25,.,25的算术平方根为5，,3,x,+2,y,的算术平方根为5,例4 已知y=,解：由题意得,a,=3，,b,=4,.,当,a,为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；,当,b,为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11,若 ，则根据被开方数大于等于,0,，可得,a,=0.,归纳,解：由题意得 若,已知|3,x,-,y,-1|和 互为相反数，求,x,+4,y,的平方根,解：由题意得3,x,-,y,-1=0且2,x,+,y,-4=0,解得,x,=1，,y,=2,x,+4,y,=1+2,4=9,，,x,+4,y,的平方根为,3.,练一练,已知|3x-y-1|和 互为,问题,1,下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？,算术平方根之门,平方之门,0,-4,-1,a,a,0,1,我们都是非负数哟,（,a,0,）的性质,问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？,问题,2,若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？,算术平方根之门,平方之门,0,-4,-1,1,16,4,1,a,a,为任意数,我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数,.,思考,你发现了什么？,问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢,正方形的边长为 ，,用边长表示正方形的面积为,，,又,面积为,a,，,即,.,活动,1,如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为,a,，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？,这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？,正方形的边长为 ，活动1 如图是一块具有民,活动,2,为了验证活动,1,的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？,.,算术平方根,平方运算,0,2,4,.,a,(,a,0),0,2,=0,.,观察两者有什么关系？,2,2,=4,活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术,4,2,0,根据活动,2,直接写出结果，然后根据活动,2,的探究过程说明理由：,是,2,的算术平方根，根据算术平方根的意义，,是一个平方等于,2,的非负数,.,因此,.,同理，分别是,0,4,，的算术平方根，即得上面的等式,.,2024/11/16,25,420根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理,归纳总结,的性质：,一般地，,a,(,a,0),.,即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身,.,注意：不要忽略,a,0,这一限制条件,.,这是使二次根式 有意义的前提条件,.,2024/11/16,26,归纳总结 的性质：一般地，,典例精析,例,5,计算,：,解：,(2),可以用到幂的哪条基本性质呢？,积的乘方：,（,ab,）,2,=,a,2,b,2,典例精析例5 计算：解：(2)可以用到幂的哪条,练一练,计算：,解,:,练一练 计算：解:,.,平方运算,算术平方根,2,0.1,0,.,a,(,a,0),2,.,观察两者有什么关系？,填一填：,a,(,a,0),.,的性质,平方运算算术平方根 2a(a0)2观察两者,.,平方运算,算术平方根,-2,-0.1,.,2,.,观察两者有什么关系？,a,(,a,0),思考：,当,a,0,时，,=,？,-,a,平方运算算术平方根 -2 2观察两者有什么关系,归纳总结,a,(,a,0),-a,(,a,0),即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值,.,的性质：,归纳总结a(a0)-a(a0)即任意一个数的平方的算,例,6,化简：,解：,，,而,3.14,，要注意,a,的正负性,.,注意,例6 化简：解：，而3.14,计算：,练一练,解,:,计算：练一练解:,辨一辨：,请同学们快速分辨下列各题的对错,（）,（）,（）,（）,辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错（）（,议一议：,如何区别 与？,从运算顺序看,从取值范围看,从运算结果看,先开方,后平方,先平方，后开方,a,0,a,取任何实数,a,|a|,意义,表示一个非负数,a,的算术平方根的平方,表示一个实数,a,的平方的算术平方根,议一议：如何区别 与？从运算顺序看从取值范围看从,例,7,实数,a,、,b,在数轴上的对应点如图所示，请你化简,:,解：由数轴可知,a,0，,b,0，,a,-,b,0，,原式=|,a,|-|,b,|,+,|,a,-,b,|,=-,a,-,b,-（,a,-,b,）,=-2,a,.,a,b,例7 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:解：,【变式题】,实数,a,、,b,在数轴上的对应点如图所示，化简：,.,解：根据数轴可知,b,a,0，,a,+2,b,0，,a,-,b,0，,则,=|,a,+2,b,|+|,a,-,b,|,=-,a,-2,b,+,a,-,b,=-3,b,利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据,a,b,的大小讨论绝对值内式子的符号,.,注意,【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：,例,8,已知,a,、,b,、,c,是,ABC,的三边长，化简：,解：,a,、,b,、,c,是,ABC,的三边长，,a,+,b,c,，,b,+,c,a,，,b,+,a,c,，,原式=|,a,+,b,+,c,|-