单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数模案例1叠砖问题,TZC-MCM,李韶伟 677193,11/15/2024,1,数模案例1叠砖问题TZC-MCM10/5/20231,问题描述,请用一些同样规格的砖叠一座小斜塔，能使它斜到什么程度？,倾斜的程度刻画：,最上面的一块砖的重心和最下面一块砖重心的水平距离有多远？,最上面和最下面的同一侧边的水平距离！,11/15/2024,2,问题描述请用一些同样规格的砖叠一座小斜塔，能使它斜到什么程度,基本假设,1.所提供的砖规格都是一样的；,(砖均为标准的长方体1长h高d宽，,且 0hd1),2.密度均匀，表面平整光滑；,3.各块砖放平，放齐；,4.摆放无其他自然条件的限制和影响。,摆放如下图所示,11/15/2024,3,基本假设1.所提供的砖规格都是一样的；10/5/20233,h,d,1,叠砖示意图,11/15/2024,4,hd1叠砖示意图10/5/20234,G,a,E,F,A,D B,C,a,a,方案1：每块砖相同伸出量,每块砖都比下面一块砖多伸出一段长为,a,；,11/15/2024,5,GaEFAD BCaa方案1：每块砖相同伸出量每块砖都比下,n,块砖可以伸出(,n,-1),a,那么长；,(,n,-1),a,不超过一砖之长！,上面(,n,-1)块砖的重心G不能落在最下面那块砖之外，因此 DCBC,又 DC=0.5EF=0.51+(,n,-2),a,BC=(,n,-1),a,故 0.51+(,n,-2),a,(,n,-1),a,即,n a,1，(,n,-1),a,(,n,-1)/,n,1,均匀伸出摆放，伸出最多不超过一砖之长！,11/15/2024,6,n块砖可以伸出(n-1)a 那么长；10/5/2023,G,2,方案2：每块砖伸出长短不一,G,1,G,3,此处G,3,很关键,M,3,M,4,G,4,11/15/2024,7,G2方案2：每块砖伸出长短不一G1G3此处G3很关键M3M4,G,n-1,M,n,n,n+,1,G,n,B,n,11/15/2024,8,Gn-1Mnnn+1GnBn10/5/20238,用,n,+1块砖建塔，总的伸出量为(顶砖和底砖的重心的水平距离)：,当,n,增大时，每次伸出量的增加为1/(2,n,),，,但是全部伸出量加起来却可以要多大有多大！,11/15/2024,9,用n+1块砖建塔，总的伸出量为(顶砖和底砖的重心的水平距离),11/15/2024,10,10/5/202310,这表明,A,n,可以要多大就有多大(无穷大)！,比如有65块砖，便可以使顶层比底层伸出2砖之长。砖数加倍，上面能多伸出1/4砖长。,A,n,是无穷级数发散！,11/15/2024,11,这表明An可以要多大就有多大(无穷大)！比如有65块砖，便可,努力不一定成功,放弃一定是失败,11/15/2024,12,努力不一定成功放弃一定是失败 10/5/202312,数模案例2,漂洗的优化问题,问题描述：,洗衣服时，衣服用肥皂或洗衣粉搓洗过后，衣服上总带着污物需要用清水来漂洗，要建立数学模型分析如何安排清洗的程序，使得用这些水漂洗的衣服最干净。,11/15/2024,13,数模案例2问题描述：洗衣服时，衣服用肥皂或洗衣粉搓洗过后，,模型准备：,对于一次洗衣的过程干净与否，到底都与什么,因素,有关呢？,衣服上本身的污物多 少，好洗不好洗?,11/15/2024,14,模型准备：对于一次洗衣的过程干净与否，到底都与,漂洗的力量不同！,1.污物在水中的分布不一样,导致,2.漂洗后衣服上剩余水的质量,11/15/2024,15,漂洗的力量不同！1.污物在水中的分布不一样导致2.漂洗后衣服,漂洗的用水量不同,11/15/2024,16,漂洗的用水量不同10/5/202316,我又洗了一遍,好开心啊,我最喜欢洗衣服了,我再也不要洗衣服了！,洗衣服的次数也会影响结果,11/15/2024,17,我又洗了一遍好开心啊我最喜欢洗衣服了我再也不要洗衣服了,众多因素，哪些,有用,哪些,没用,？或者哪些是,常量,，哪些是,要研究的量,呢？,让我们从一个简单问题中找,思路,污物,用水量,次数,剩余水量,分布,11/15/2024,18,众多因素，哪些有用哪些没用？或者哪些是常量，哪些是要研究的量,脏衣服在用洗衣粉充分漂洗之后，一般要把衣服拧干，尽可能的拧掉污水，再进行下一轮漂洗。假设每漂洗一次拧干后衣服中还,留有含污物的水,1千克。现有,10千克清水,，按下面三种方法漂洗：1.直接把衣服放入10千克水中，,一次,漂洗。,2.把10千克水,分成两份,，一份,3千克,，另一份,7千克,，分,两次,漂洗。,3.把10千克水,平均分成两份,，每份,5千克,，分,两次漂洗,。哪一种方法洗出来最干净？,1/11,1/32,1/36,11/15/2024,19,脏衣服在用洗衣粉充分漂洗之后，一般要把衣服拧,模型假设：,(1).污物均匀分布在衣服上。,(2).衣服在第一次漂洗前有一定含水量，其含水量与以后每次漂洗后衣服的含水量相同。,(3).忽视水温、水质等对漂洗结果的影响。,11/15/2024,20,模型假设：(1).污物均匀分布在衣服上。10/5/20232,初始的污物质量,m,0,，是一,常数,。,总用水量,A,，在现有问题描述中是一,常数,。,每次充分拧干后，衣服上残存水量,w,，为一,常数,。,漂洗的次数,n,.,第,i,次,充分,拧干后衣服上残留的污物质量为,m,i,.,第,i,次漂洗的用水量,a,i,，,i,l,2,n,.,且 .,模型的构成：,为简便计算过程，先定义常量。,11/15/2024,21,初始的污物质量m0，是一常数。模型的构成：为简便计算过程,首先考虑,n,次漂洗,之后，,剩余污渍,m,n,与,每次用水量,a,i,的关系.,进一步，再考察,n,与,m,n,的关系.,继续简化过程,11/15/2024,22,首先考虑n次漂洗之后，剩余污渍mn 与每次用水量ai 的关系,由假设可知，第一次放水后，,m,0,克污物均匀分布,(,w,+,a,1,),千克水中，衣服上残留的污物量,m,1,与残留的水量成正比,：,故：,11/15/2024,23,由假设可知，第一次放水后，m0 克污物均匀分布(w+a1),同理,：,用数学归纳法即可证明：,想办法让,m,n,尽量小！,11/15/2024,24,同理：用数学归纳法即可证明：想办法让 mn 尽量小！10/5,当漂洗的,次数,n,为一定时，如何选取每次的,用水量,a,i,，才能漂洗的最干净？即,剩余污渍,m,n,最小？,容易看出，利用“均值不等式”，让分母最大，,m,n,有最小值.,我们已知：,其中,A,，,n,，,w,为常数.,11/15/2024,25,当漂洗的次数n为一定时，如何选取每次的用水量ai，才能漂洗,n,次漂洗后，剩余污渍,m,n,满足关系式：,当 时,等式成立，,即,a,1,=,a,2,=,a,n,，说明每次,用水量相等,。,此时剩余污渍,11/15/2024,26,n次漂洗后，剩余污渍mn满足关系式：当,进一步，我们考虑,n,与,m,n,的关系.,为了衣服能够漂洗更加干净，即要让,m,n,达到最小，,则需要 最大.,此处 为固定常数.即可调整的是漂洗次数,n,.,将总水量,A,分成,n,+1次是否要比,n,次洗的更干净呢？,11/15/2024,27,进一步，我们考虑n与mn的关系.为了衣服能够漂洗更加干净，即,这表明，将总水量,A,分成,n,+1次要比,n,次洗的更干净！,比较 和,用一定量,A,的水可否将衣服洗得要多干净有多干净呢？,11/15/2024,28,这表明，将总水量A分成n+1次要比n次洗的更干净！比较,考虑,n,+,k,个正数 ,此处,k,为大,于 的整数.,取 ，有,即,11/15/2024,29,考虑n+k个正数,在此不妨取,A*,为不小于 的最小整数，即,，进而,总之，越大，衣服洗的越干净，但是这是有限度的.,比如设总共20斤水，拧干衣服残留1斤水，则极限,是污物不会比 更少.,11/15/2024,30,在此不妨取A*为不小于 的最小整数，即总之，,n,越大越好！,11/15/2024,31,n越大越好！10/5/202331,模型结论：,漂洗的优化程序是,：,a,根据需洗衣服的质量确定漂洗一次衣服的最小用水量,m,0,.(以能浸透衣服为标准),b,确定漂洗的次数 ，(,x,为,x,的整数部分).,c,将清水均分为,n,份，每份 ，然后分,n,次漂洗.,11/15/2024,32,模型结论：漂洗的优化程序是：10/5/202332,Thanks,TZC-MCM,李韶伟 677193,11/15/2024,33,ThanksTZC-MCM10/5/202333,