单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学史上,的三次,危,机,Three crises in Mathematics,数学史上的三次危机Three crises in Mathe,1,前言,Preface,Three crises in Mathematics,数学,-,是自然科学大厦的根基，,是,人类文明最后的避风港,。,2,1,数学,绝对不能有错。否则，当,1,加,1,不再等于,2,，,?.,前言PrefaceThree crises in Mathe,2,前言,Preface,Three crises in Mathematics,数学,-,是自然科学大厦的根基，,是,人类文明最后的避风港,。,2,1,数学,绝对不能有错。否则，当,1,加,1,不再等于,2,，人类文明构建的宏伟大厦即,可能在顷刻之间坍塌。,前言PrefaceThree crises in Mathe,3,前言,Preface,Three crises in Mathematics,第一次危机让人类发现了无理数；,第二次危机让微积分理论体系得以完善；,第三次危机让集合论这所现代数学大厦的基,础得到了夯实。,3,前言PrefaceThree crises in Mathe,4,Three crises in Mathematics,公元前,580,至,586,年之间,第一次危机,first,时间,主角,毕达哥拉斯（,Pythagoras,）和希帕索斯（,Hippasus,）,源头,无理数的发现,Three crises in Mathematics公元前,5,Three crises in Mathematics,第一次危机,first,背景,1,、毕达哥拉斯（,Pythagoras,）学派,毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他创建了宗教、政治、学术合一的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。,3,1,毕达哥拉斯学派的另一项重大贡献是证明了勾股定理。,“万物皆数”是这一学派圣神的数学信仰。,2,Three crises in Mathematics第一次,6,Three crises in Mathematics,第一次危机,first,背景,2,、勾股定理,勾股定理在世界数学史上叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。,2,1,勾股定理在我国叫商高定理（勾,3,股,4,弦,5,），是中国数学家商高独立发现于公元,1000,年前的西周，比毕达哥拉斯定理早了五百到六百年。,Three crises in Mathematics第一次,7,Three crises in Mathematics,第一次危机,first,背景,2,、勾股定理,其实还有比我们更早发现这个定理的是古巴比伦人，那是在公元前三千多年。,4,3,最早最完整科学的证明这个定理的还真就是毕达哥拉斯。我国直到公元,200,前，三国时期吴国的数学家赵爽，创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，才给出了勾股定理的详细证明。,Three crises in Mathematics第一次,8,Three crises in Mathematics,第一次危机,first,背景,2,、勾股定理,勾股定理至今已有超过,400,多种证明方法，最常用的是欧几里得的证明方法，最有趣的是美国第,20,任总统伽菲尔德贡献了一种证明方法。,5,Three crises in Mathematics第一次,9,Three crises in Mathematics,第一次危机,first,出现,希帕索斯发现：两直角边都为,1,的等腰直角三角形，其斜边的长度是上帝都不知道的数。这是人类数学史上发现的第一个无理数 。,2,1,因为这一背经离道的发现，希帕索斯被扔到海里淹死了。,毕达哥拉斯认定类似于“根号,2”,这样的数是不可说、也无定形的数，其秘密属于众神的范畴，凡人不应该接触和认识到这些数的存在。这些数被称为“没有理性的数”。,4,Three crises in Mathematics第一次,10,Three crises in Mathematics,第一次危机,first,解决,继希帕索斯发现,2,后，更多的无理数相继被发现。,1,到了公元前,370,年，这个矛盾被毕达哥拉斯学派的欧多克斯,(Eudoxus),通过在几何学中引进不可通约量的概念来为无理数找到了存在的基础。,直到,1872,年，德国数学家戴德金创立实数系理论，才揭开了无理数的神秘面纱，真正结束了数学史上的第一次大危机。,3,2,Three crises in Mathematics第一次,11,Three crises in Mathematics,第一次危机,first,意义,第一次数学危机诞生于几何学。万物皆依赖于整数的思想被瓦解，几何学的地位开始擢升。,2,1,古希腊从此开始明白知觉和经验的局限性，一切真理只有通过推理和证明才能确保可靠。这让希腊民族走向了以欧几里得和亚里士多德为代表的逻辑论证之路。也因此成为现代科学国家的先驱者。,Three crises in Mathematics第一次,12,Three crises in Mathematics,公元,17,、,18,世纪,第二次危机,Second,时间,主角,牛顿、莱布尼兹和贝克莱,源头,无限小,0,Three crises in Mathematics公元1,13,Three crises in Mathematics,第二次危机,Second,背景,1,、微积分,1,微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹在,17,世纪几乎同一时期共同发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。,由于建立在对无穷小的分析基础之上的微积分的推导还缺乏严谨性，所以从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击，但是大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。,2,Three crises in Mathematics第二次,14,Three crises in Mathematics,第二次危机,Second,背景,2,、无穷小与,0,1,无穷小到底是个什么东西，它跟,0,又是什么关系，早年人们一直都没有搞清楚，以致产生了一些很有意思的悖论。,2,第一个图形 反比例函数图形,第二个图形 双曲线的图形,Three crises in Mathematics第二次,15,典型的龟免赛跑悖论。说的是龟免，如果乌龟先跑,100,米，乌龟的速度是免子的一半，那么兔子永远也追不上乌龟，因为等兔子跑完前面一段,a,时，乌龟又跑了,a/2,，逻辑上毫无违和感，但事实上正常人都知道这是不可能的。,第二次危机,Second,背景,2,、无穷小与,0,中国庄周所著,庄子,一书的,天下篇,中，也记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。,3,4,而现在，我们高中生都知道，无穷小不是一个实数，而是一个以,0,为极限的变量。无穷小不一定是,0,，但,0,是无穷小，不仅如此，,0,还是实数内唯一一个无穷小。,5,典型的龟免赛跑悖论。说的是龟免，如果乌龟先跑100米，乌,16,Three crises in Mathematics,第二次危机,Second,背景,微积分中的最根本的方法是无穷逼近法。,早在公元前,2,世纪，阿基米德的逼近法实际上也已经掌握了无限小分析的基本要素。,公元,4,世纪，我国古代数学家祖冲之就用无穷逼近法，将“圆周率”精算到小数第七位。祖冲之的儿子祖暅发现了等幂等积定理：“幂势既同，则积不容异。”这是人类最早的最朴素的微分思想萌芽。,公元,16,世纪，伽利略的学生卡瓦列里也用这种思想提出了“点动成线，线动成面，面动成体”理论。,3,、无穷逼近法,Three crises in Mathematics第二次,17,Three crises in Mathematics,第二次危机,Second,出现,1,1734,年，英国哲学家、大主教贝克莱把矛头指向微积分的基础,-,无穷小的问题。他指出微积分理论在推导过程中存在逻辑上的自相矛盾：“无穷小量是一个幽灵，说它是,0,吧，又可以做为分母，不是,0,吧，又可以舍去。总之看起来是,0,又不是,0,。与其相信无穷小的灵魂，还不如相信上帝”。微积分的合理性就这样遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻,2,无穷小量的概念对于微积分理论乃至高等数学的发展有着基石性的作用，,当时人们的认知是不严谨和不完整的，牛顿和莱布尼兹纷纷采用“先用了再说”的方式进行研究，才照成了第二次数学危机,。,Three crises in Mathematics第二次,18,Three crises in Mathematics,第二次危机,Second,解决,1,1821,年，柯西详细而有系统的创立了极限理论，柯西认为，无穷小量本质上它是变量，而且是以,0,为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念。,2,随后，韦斯特劳斯完善和发展了极限理论，加上实数理论、集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的数目中解放出来，第二次数学危机基本解决，微积分理论得以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌美丽！,Three crises in Mathematics第二次,19,Three crises in Mathematics,第二次危机,Second,意义,1,第二次数学危机不但没有阻碍微积分的迅猛发展和广泛应用，反而让微积分驰骋在各个科技领域，解决了大量的物理问题、天文问题、数学问题，大大推进了工业革命的发展。就微积分自身而言，经过本次危机的,洗礼,，其自身得到了不断的系统化，完整化，扩展出了不同的分支，成为了,18,世纪数学世界的,霸主,。,2,第二次数学危机也促进了,19,世纪的分析严格化、代数抽象化以及几何非欧化的进程。,Three crises in Mathematics第二次,20,Three crises in Mathematics,公元,19,世纪末和,20,世纪初,第三次危机,Thirdly,时间,主角,康托尔和罗素,源头,集合论中的罗素悖论,Three crises in Mathematics公元1,21,Three crises in Mathematics,第三次危机,Thirdly,背景,19,世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。,1900,年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“,借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦,今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了,”,1,、集合论与康托,Three crises in Mathematics第三次,22,Three crises in Mathematics,第三次危机,Thirdly,1897,年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。最大序数悖论,1899,年，康托发现了很相似的最大基数悖论悖论。,1902,年，罗素又发现了最著名的罗素悖论，它不像之前其他的悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁当时的集合理论。,一个理发师的困境。理发师称：他只给不跟自己理发的人理发。那他是否应该给自己理发？,2,、悖论与罗素悖论,背景,Three crises in Mathematics第三次,23,Three crises in Mathematics,第三次危机,Thirdly,1903,年，一个震惊数学界的消息传出：集合论与逻辑是矛盾的！这就是英国数学家罗素在康托的一般集合理论的边缘发现了著名的罗素悖论。罗素通过构造了一个特殊的集合,A,，发现若,aA,，则,a,A,；若,a,A,，则,aA,。这与现代集合论的理论基础是不相容的。,出现,1,由于集合论已经渗透到众多的数学分支，并且实际上成了现代数学大厦的基础，因此集合论中悖论的发现，动摇这个根基，自然地引起了人们对数学的整个基本结