第三节函数的奇偶性与周期性,第三节函数的奇偶性与周期性,2,奇、偶函数的性质,(1),图象特征：,奇函数的图象关于,_,对称，偶函数的图象关于,_,对称,原点,y,轴,奇偶性,奇函数,偶函数,定义,如果对于函数,f,(,x,),的定义域内的任意一个,x,都有,_,，那么函数,f,(,x,),是奇函数,都有,_,，那么函数,f,(,x,),是偶函数,.,1,奇函数、偶函数的定义,f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),2奇、偶函数的性质原点y轴奇偶性奇函数偶函数定义如果对于函,(2),对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有,_,的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有,_,的单调性,(3),奇函数图象与原点的关系：,如果奇函数,f,(,x,),在原点有意义，则,f,(0),_.,相同,相反,0,(2)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有,3,周期性,3,周期性,若,f,(,x,),对于定义域中任意,x,均有,_,(,T,为不等于,0,的常数,),，则,f,(,x,),为周期函数,若,T,是函数,y,f,(,x,),的一个周期，则,nT,(,n,Z,，且,n,0),也是,f,(,x,),的周期,f,(,x,T,),f,(,x,),3周期性f(xT)f(x),1,奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？,【,提示,】,定义域关于原点对称，必要不充分条件,2,(1),若,y,f(x,a),是偶函数，函数,y,f(x),的图象有什么对称性？,(2),如果,y,f(x,b),是奇函数，函数,f(x),的图象有什么对称性？,【,提示,】,(1)f(x),的图象关于直线,x,a,对称；,(2)f(x),的图象关于点,(b,，,0),中心对称,1奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的,【,答案,】,B,【答案】B,【,解析,】,y,f,(,x,1),的图象是由,y,f,(,x,),的图象向左平移一个单位得到的，而,y,f,(,x,),的图象的对称轴为,x,0.,【,答案,】,B,【解析】yf(x1)的图象是由yf(x)的图象向左平,3,已知定义在,R,上的奇函数,f,(,x,),，满足,f,(,x,4),f,(,x,),，则,f,(8),的值为,(,),A,1 B,0 C,1 D,2,【,解析,】,f,(,x,4),f,(,x,),，,f,(,x,),是以,4,为周期的周期函数，,f,(8),f,(0),又函数,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，,f,(8),f,(0),0.,【,答案,】,B,3已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x,【,解析,】,A,选项中的函数为非奇非偶函数,B,、,C,、,D,选项中的函数均为奇函数，但,B,、,C,选项中的函数不为增函数,【,答案,】,D,【解析】A选项中的函数为非奇非偶函数B、C、D选项中的函,【,思路点拨,】,先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，带绝对值符号的要尽量去掉,【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原,高考数学总复习ppt课件：函数的奇偶性与周期性,高考数学总复习ppt课件：函数的奇偶性与周期性,高考数学总复习ppt课件：函数的奇偶性与周期性,高考数学总复习ppt课件：函数的奇偶性与周期性,【,思路点拨,】,(1),先根据周期性缩小自变量，再根据奇偶性把自变量转化到区间,0,，,1,上,(2),根据,f,(,x,),f,(,x,),求解,【思路点拨】(1)先根据周期性缩小自变量，再根据奇偶性把自,高考数学总复习ppt课件：函数的奇偶性与周期性,高考数学总复习ppt课件：函数的奇偶性与周期性,1,解答本题,(2),时因误用,f,(0),0,而求得,a,1,，当定义域包含,0,时，可用,f,(0),0,，但应注意检验,2,(1),奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于,y,轴对称，反之也真,(2),偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,(3),f,(,x,),为偶函数,f,(,x,),f,(|,x,|),；若奇函数,f,(,x,),在,x,0,时有定义，则,f,(0),0.,高考数学总复习ppt课件：函数的奇偶性与周期性,【,解析,】,(1),设,x,0,，则,x,0,，,f,(,x,),(,x,),2,x,x,2,x,，,f,(,x,),ax,2,bx,.,又,f,(,x,),f,(,x,),，,a,1,，,b,1,，,a,b,0.,【解析】(1)设x0，则x0，,(2),当,x,0,时，,f,(,x,),x,2,2,x,(,x,1),2,1,，,函数,f,(,x,),在,0,，,),上为增函数，,又函数,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，且,f,(0),0.,函数,f,(,x,),在,R,上是增函数，,由,f,(3,a,2,),f,(2,a,),，,得,3,a,2,2,a,，解得,3,a,1.,【,答案,】,(1)0,(2)(,3,，,1),(2)当x0时，f(x)x22x(x1)21，,(2013,福州模拟,),设,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，且对任意实数,x,，恒有,f,(,x,2),f,(,x,),当,x,0,，,2,时，,f,(,x,),2,x,x,2,.,(1),求证：,f,(,x,),是周期函数；,(2),计算,f,(0),f,(1),f,(2),f,(2 013),【,思路点拨,】,证明,f,(,x,4),f,(,x,),，进而运用周期性与奇偶性求解,(2013福州模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对,【,尝试解答,】,(1),f,(,x,2),f,(,x,),，,f,(,x,4),f,(,x,2),f,(,x,),f,(,x,),是周期为,4,的周期函数,(2),f,(0),0,，,f,(2),0,，,f,(1),1,，,f,(3),f,(,1),1.,又,f,(,x,),是周期为,4,的周期函数,f,(0),f,(1),f,(2),f,(3),f,(4),f,(5),f,(6),f,(7),f,(2 008),f,(2 009),f,(2 010),f,(2 011),0.,f,(0),f,(1),f,(2),f,(2 013),f,(0),f,(1),1.,【尝试解答】(1)f(x2)f(x)，,高考数学总复习ppt课件：函数的奇偶性与周期性,(2013,惠州模拟,),已知函数,f,(,x,),是,(,，,),上的偶函数，若对于,x,0,，都有,f,(,x,2),f,(,x,),，且当,x,0,，,2),时，,f,(,x,),log,2,(,x,1),，则,f,(,2 011),f,(2 012),的值为,(,),A,2,B,1,C,1,D,2,【,解析,】,对于,x,0,时，都有,f,(,x,2),f,(,x,),，,2,是,f,(,x,)(,x,0),的一个周期，,又,f,(,x,),是,(,，,),上的偶函数，,f,(,2 011),f,(2 012),f,(2 011),f,(2 012),f,(1),f,(0),log,2,2,log,2,1,1.,【,答案,】,C,(2013惠州模拟)已知函数f(x)是(，)上的,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件,1.,若奇函数,f,(,x,),在,x,0,处有定义，则,f,(0),0.,2,设,f,(,x,),，,g,(,x,),的定义域分别是,D,1,，,D,2,，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇,奇偶，偶偶偶，偶,偶偶，奇,偶奇,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件,判断函数的奇偶性，一般有三种方法：,(1),定义法；,(2),图象法；,(3),性质法,1.,若对于,R,上的任意的,x,都有,f,(2,a,x,),f,(,x,),或,f,(,x,),f,(2,a,x,),，则,y,f,(,x,),的图象关于直线,x,a,对称,2,若,f,(,x,a,),f,(,x,b,)(,a,b,),，那么函数,f,(,x,),是周期函数，其中一个周期为,T,2|,a,b,|.,判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法,从,2012,年的高考试题看，有,7,个省份考查函数的奇偶性、周期性，主要考查奇偶性的判定，利用奇偶性与周期性求函数值，与单调性交汇求解简单的方程与不等式，多以选择题和填空题的形式出现，属中、低档题目，其中利用函数的周期性时，应注意隐含条件的挖掘,高考数学总复习ppt课件：函数的奇偶性与周期性,易错辨析之三忽视隐含条件的挖掘致误,易错辨析之三忽视隐含条件的挖掘致误,【,答案,】,2,【答案】2,错因分析：,(1),转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来,(2),挖掘不出,f,(,1),f,(1),，从而无法求出,a,、,b,的值,防范措施：,(1),对于周期函数，应注意所给区间包含几个周期，有助于我们挖掘隐含条件,(2),对于两个字母的求值，应列两个方程求解，这也是促使我们挖掘隐含条件的动力,错因分析：(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来,高考数学总复习ppt课件：函数的奇偶性与周期性,【,答案,】,10,【答案】10,1,(2012,山东高考,),定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,f,(,x,6),f,(,x,),，当,3,x,1,时，,f,(,x,),(,x,2),2,；当,1,x,3,时，,f,(,x,),x,.,则,f,(1),f,(2),f,(3),f,(2 012),(,),A,335,B,338,C,1 678,D,2 012,【,解析,】,f,(,x,6),f,(,x,),，,T,6.,当,3,x,1,时，,f,(,x,),(,x,2),2,；当,1,x,3,时，,f,(,x,),x,，,f,(1),1,，,f,(2),2,，,f,(3),f,(,3),1,，,f,(4),f,(,2),0,，,f,(5),f,(,1),1,，,f,(6),f,(0),0,，,1(2012山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x,【,答案,】,B,【答案】B,【,解析,】,D,(,x,),的值域是,0,，,1,，选项,A,正确当,x,是有理数时，,x,也是有理数，且,D,(,x,),1,，,D,(,x,),1,，故,D,(,x,),D,(,x,),，当,x,是无理数时，,x,也是无理数，且,D,(,x,),0,，,D,(,x,),0,，即,D,(,x,),D,(,x,),，故,D,(,x,),是偶函数，选项,B,正确当,x,是有理数，,D,(,x,a,),1,D,(,x,),；,【解析】D(x)的值域是0，1，选项A正确当x是有理,当,x,是无理数时，,D,(,x,b,),D,(,x,),0,，故,D,(,x,),是周期函数，选项,C,不正确显然,D,(,x,),不是单调函数，选项,D,正确,【,答案,】,C,当x是无理数时，D(xb)D(x)0，故D(x)是周期,