返回,后页,前页,3 泰勒公式,多项式函数是最简单的函数.用多项,一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式,三、在近似计算中的应用,二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式,要内容,也是数学的研究课题之一.,式来逼近一般的函数是近似计算的重,返回,3 泰勒公式 多项式函数是最简单的函数.用多项一、带,在,处可导,当,充分小时,可以由一次多项式,近似地代替,其误差为,.,一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式,问题:是否存在一个,n,次多项式,使得,在处可导,当充分小时,可以由一次多项式近似地代替,其,设,则,即,设则即,设,f,(,x,)在,x,0,处,n,阶可导.称多项式,为,f,(,x,)在点,x,0,的,n,阶泰勒多项式,称,为泰勒系数,.,则不难得到:,设 f(x)在 x0 处 n 阶可导.称多项式 为 f,定理,6.8,设,f,(,x,)在,x,=,x,0,处有,n,阶导数，则,即,定理 6.8 设 f(x)在 x=x0 处有n 阶导,定理,6.6,则,定理6.6则,也不能说明,一定是,f,(,x,)的,n,阶泰勒多项式.,比如,注,1,附近满足,注,2,若,f,(,x,)在点,x,0,有,n,阶导数,则只有惟一的多,项式(泰勒多项式,T,n,(,x,)满足:,也不能说明一定是 f(x)的n 阶泰勒多项式.比如注1,注3,可以证明对任意一个,n,次多项式,存在,使得,这也就是说,是逼近,的最佳,n,次多项式.,在以后的应用中,公式(3)中的,x,0,常被取作 0,形,此式称为,(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式,.,式变为,注3可以证明对任意一个n 次多项式存在使得这也就是说,是逼近,麦克劳林(Maclaurin,C.1698-1746,苏格兰),泰勒,(Taylor,B.1685-1731,英国),麦克劳林(Maclaurin,C.1698-1746,例1,验证下列公式,例1 验证下列公式,数学分析ppt课件第6章微分中值定理及其应用,例,2,求,的麦克劳林公式,并求,例,3,求,在点,的泰勒公式.,解,例2 求的麦克劳林公式,并求例3求在点的泰勒公式.解,利用泰勒公式来求极限.,例,4,求,解,因为,利用泰勒公式来求极限.例4 求解 因为,所以,所以,定理6.9,(泰勒定理),若函数,上存在直,到,n,阶,连续导函数,在(,a,b,)内存在,(,n,+,1)阶导数,则,或者,其中,阶泰勒多项式.,泰勒公式,二、带有拉格朗日型余项的,定理6.9(泰勒定理)若函数上存在直到n 阶连续导函数,在,定理6.5,(柯西中值定理),设函数 ,在区间,上满足:,(i),f,(,x,),g,(,x,)在闭区间,a,b,上连续;,(iii),(iv),则在开区间 内必定(至少)存在一点 ,使得,(ii),f,(,x,),g,(,x,)在开区间(,a,b,)上可导;,定理6.5(柯西中值定理)设函数 ,证,设,不妨设,上连续,在,上可导,且,证 设 不妨设上连续,在上可导,且,由柯西中值定理,得,因为,所以,由柯西中值定理,得因为所以,为,f,(,x,)在点,x,0,的,n,阶拉格朗日型余项,公式,(5),于是就得到,我们称,称为,f,(,x,),在点,x,0,的,带有拉格朗日型,余项,的,n,阶,泰,勒公式.,为 f(x)在点 x0 的 n 阶拉格朗日型余项,公式,当,时,公式(5)成为,公式,(6),称为,带有拉格朗日型余项的麦克劳林,公式,。,当时,公式(5)成为公式(6)称为带有拉格朗日型余,例5,把例1中公式改写为带有拉格朗日型余项的公式:,例5 把例1中公式改写为带有拉格朗日型余项的公式:,数学分析ppt课件第6章微分中值定理及其应用,于是,于是,从而有,从而有,例,5,(1)计算 e 的值,使其误差不超过,(2)证明 e 是无理数.,解,由例5 可知,三、泰勒公式在近似计算中的应用,例5(1)计算 e 的值,使其误差不超过(2)证明 e,于是,下证,e,是无理数.这是因为,其误差不超过,.,于是下证 e 是无理数.这是因为其误差不超过.,矛盾.所以 e 是一个无理数.,那么不是整数.而由(7)式得到,整数整数 整数,矛盾.所以 e 是一个无理数.那么不是整数.而,复习思考题,那么,在什么条件下,T,n,(,x,2,),一定是,f,(,x,2,),的,2,n,阶,泰勒多项式?,复习思考题那么,在什么条件下 Tn(x2)一定是 f(x,