,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 二自由度系统的振动,第六章 二自由度,第六章：二自由度系统的振动,在实际工程中，仅用一个独立坐标常常难以正确描述系统的运动。本章介绍二自由度系统的动力学问题。,最简单的多自由度系统是二自由度系统。然而自由度由一增加到二，会产生质的变化，带来一系列新的物理概念。而二自由度和三自由度以及更高自由度的区别，仅仅在数量上和系统的复杂程度上。,因此二自由度系统是本章的重要基础部分。,第六章：二自由度系统的振动 在实际工程中，仅,建立系统微分方程,无阻尼二自由度系统自由振动,固有频率和主振型,第六章：二自由度系统的振动,建立系统微分方程 无阻尼二自由度系统自由振动 固有频率,u,2,m,2,f,2,f,1,m,1,u,1,6.1,建立系统微分方程组,u,1,u,2,c,3,c,2,m,1,k,1,c,1,m,2,k,2,k,3,假设：,k1,、,c1,拉伸；,k2,、,c2,压缩；,k3,、,c3,压缩,6.1.1,分离体受力分析方法,-,牛顿定律,u2m2f2f1m1u16.1 建立系统微分方程组 u1u2,6.1,建立系统微分方程组,写成,矩阵,形式：,初始条件：,对三个以上自由度系统，可以用同样的方法得到微分方程组。,简写为,质量矩阵,阻尼矩阵,刚度矩阵,位移向量,激励向量,加速度向量,速度向量,6.1 建立系统微分方程组 写成矩阵形式：初始条件：对三个以,第六章二自由度系统的振动选编课件,6.1,建立系统微分方程组,6.1.1,分别以牛顿定律和拉格朗日方程为基础导出振动方程,6.1 建立系统微分方程组 6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗,6.1,建立系统微分方程组,6.1.1,分别以牛顿定律和拉格朗日方程为基础导出振动方程,6.1 建立系统微分方程组 6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗,二自由度微分方程组特点：,1,、形式上与单自由度系统受迫振动微分方程相同。但,M,，,K,，,C,不是常数，而是矩阵。,2,、通常,K,，,C,矩阵不是对角阵，说明系统运动是关联的。这种运动的关联称为,耦合,，是二自由度区别于单自由度的基本特征,矩阵,形式：,6.1,建立系统微分方程组,二自由度微分方程组特点：1、形式上与单自由度系统受迫振动微分,6.2,无阻尼多自由度系统自由振动,6.2.1,坐标的选择与方程耦合,6.2 无阻尼多自由度系统自由振动 6.2.1坐标的选择与方,6.2,无阻尼多自由度系统自由振动,6.2.1,二自由度无阻尼系统固有振动,m,1,u,1,u,2,k,1,m,2,k,2,k,3,微分方程组：,由于单自由度无阻尼系统自由振动是简谐振动，所以可以设想二自由度无阻尼系统也有类似的作简谐振动的自由振动。,由于系统有两个自有度，它们的各自运动未必有相同的幅值，所以方程解的形式为：,其中，,u,(,t,),为解的二维向量，,表示振幅的二维向量。,频率、相位相同，但振幅不同。,6.2 无阻尼多自由度系统自由振动 6.2.1 二自由度无,6.2,无阻尼多自由度系统自由振动,将解的形式代入到方程组得到：,要使方程任意时刻成立，必须：,即,要使方程组有非零解，则它的系数行列式必须为零，即,行列式展开得到：,可看作是关于,2,的二次方程，解得一对根为：,为两个未知数的齐次线性方程组。,6.2 无阻尼多自由度系统自由振动 将解的形式代入到方程组得,6.2,无阻尼多自由度系统自由振动,将两个根代回到系统的齐次线性方程组得到非零解为：,因此，二自由度无阻尼系统可能产生的振动为：,（,r,=1,2,）,说明，二自由度无阻尼系统的自由振动响应是由两种不同频率,1,、,2,的简谐振动的合成。（,1,2,）,分别将,1,和,2,称为系统的,第一阶固有频率,和,第二阶固有频率,，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的,第一阶固有振动,和,第二阶固有振动,。,每个根对应一种振动,每个根对应一种固有振动,6.2 无阻尼多自由度系统自由振动 将两个根代回到系统的齐次,6.2,无阻尼多自由度系统自由振动,（,r,=1,2,）,线性方程组,特征矩阵,特征值（特征根）,与特征值对应的特征向量,一些概念：,6.2 无阻尼多自由度系统自由振动（r=1,2）线性方程,6.2,无阻尼多自由度系统自由振动,将固有频率,代入系统线性方程，得到系统作第一、二阶固有振动时两质量块振幅之比，分别为：,定义向量,分别为第一、二阶固有振动的振型，简称,固有振型,。反映了二自由度系统作固有振动时的形态。,无阻尼系统的固有频率和固有振型称为系统的,固有模态,，因此固有振型向量也称为,模态向量,。,为,固有振型矩阵,，为所有模态向量组成。,6.2 无阻尼多自由度系统自由振动 将固有频率代入系统线性,第六章二自由度系统的振动选编课件,第六章二自由度系统的振动选编课件,6.2,无阻尼二自由度系统自由振动,无阻尼系统的固有振动仅是可能存在的运动形式。要使系统真正产生固有振动，还应满足一定的运动初始条件。,系统产生第,r,阶固有振动的运动初始条件为：,r,=1,2,即初始位移的幅值组成的向量和初始速度的幅值组成的向量都是某阶固有振型，则该振动就是该阶固有振动。,固有振动的初始条件,6.2 无阻尼二自由度系统自由振动 无阻尼系统的固有振动仅是,6.2,无阻尼二自由度系统自由振动,6.2.2,二自由度系统自由振动,如果系统不满足产生固有振动的初始条件，则,自由振动,将不再是任一阶固有振动。而是这两种固有振动的线性组合。即,其中，常数,1,、,2,、,1,、,2,由初始条件决定。,6.2 无阻尼二自由度系统自由振动 6.2.2 二自由度系,6.2,无阻尼多自由度系统自由振动,例题,:,m,1,u,1,u,2,k,1,m,2,k,2,k,3,固有振动,自由振动,固有振动,自由振动,设如图系统物理参数为：,m,1,=,m,2,=,m,；,k,1,=,k,2,=,k,3,=,k,；系统运动的初始条件为：,确定系统固有振动及自由振动，,并作出振型图。,6.2 无阻尼多自由度系统自由振动 例题:m1u1u2k1m,6.2,无阻尼二自由度系统自由振动,一阶：,二阶：,振 型 图：,节点,节点：在系统振动中始终不动的点。,6.2 无阻尼二自由度系统自由振动 一阶：二阶：振 型 图：,6.2,无阻尼二自由度系统自由振动,二自由度系统的运动解耦,由于二自由度系统的运动微分方程是耦合的，因此需要把耦合的方程在一个新的坐标空间内解耦。,由于在,N,自由度无阻尼系统总有,N,个线性无关的固有振型,r,，因此可以把它作为基底来张成系统运动空间。,6.2 无阻尼二自由度系统自由振动 二自由度系统的运动解耦由,模态坐标下的质量矩阵,引入坐标变换：,代入到：,其中：,u,为物理坐标，,q,为模态坐标，,为固有振型矩阵。,得到：,6.2,无阻尼多自由度系统自由振动,两边左乘,其中：,模态坐标下的刚度矩阵,均为对角阵,模态坐标下的质量矩阵引入坐标变换：代入到：其中：u为物理坐标,6.2,无阻尼二自由度系统自由振动,第,r,阶模态质量,第,r,阶模态刚度,系统方程变成：,由于,M,q,、,K,q,是对角阵，所以系统方程已是独立的,n,个标量函数,q,r,(,t,),的微分方程。,6.2 无阻尼二自由度系统自由振动 第r阶模态质量第r阶模态,说明在模态坐标下，系统的运动是解耦的。,6.2,无阻尼二自由度系统自由振动,解耦的系统运动正是它的,n,个固有振动。,说明在模态坐标下，系统的运动是解耦的。6.2 无阻尼二自由度,6.2,无阻尼二自由度系统自由振动,例题,:,已知系统运动微分方程是,固有振型为：,m,1,u,1,u,2,k,1,m,2,k,2,k,3,要求对系统进行解耦。,6.2 无阻尼二自由度系统自由振动 例题:已知系统运动微分方,6.2,无阻尼二自由度系统自由振动,求解系统固有振型的一种方法是,伴随矩阵法,。,例：对二自由度系统，系统特征矩阵为：,特征矩阵的伴随矩阵为：,系统特征方程为：,解得特征根：,取矩阵第一列将,代入得到主振型为：,首先求出系统特征矩阵的,伴随矩阵,。然后取伴随矩阵的任意一列非零向量，将第,i,阶特征根代进去，就可以得到第,i,阶固有振型。,（,i,=1,、,2.,）,6.2 无阻尼二自由度系统自由振动 求解系统固有振型的一种方,6.3,无阻尼二自由度系统受迫振动,系统运动微分方程组是,6.3.1,频域分析,首先分析受谐波激励的情况：,方程特解为：,代入到方程中得到：,定义：,为系统的,动刚度矩阵,。,其元素,z,ij,反映了系统第,j,个自由度具有单位位移响应,sin,t,，而其余坐标不动时，应施加在第,i,个自由度上的正弦广义力的幅值。,6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动 系统运动微分方程组是6.,定义：,H,(,),为系统的,位移频响函数矩阵,。,6.3,无阻尼二自由度系统受迫振动,则,其元素,h,ij,(,),反映了在系统第,j,个自由度上施加单位正弦激励,sin,t,后，第,i,个自由度的稳态位移响应幅值。因此，,H,(,),又称为,动柔度矩阵,。,动刚度矩阵,Z,(,),或频响函数矩阵,H,(,),在频率域反映了系统的全部动态特性。从实验角度来说，多自由度系统的频响函数矩阵比动刚度矩阵易于测取，所以获得广泛应用。,定义：H()为系统的位移频响函数矩阵。6.3 无阻尼二自由,6.3,无阻尼二自由度系统受迫振动,6.3.2,求解二自由度无阻尼受迫振动（模态分析方法）,f,2,f,1,m,1,u,1,u,2,k,1,m,2,k,2,m,1,、,m,2,上分别作用简谐激励力,f,1,=,F,1,sin,t,和,f,2,=,F,2,sin,t,。,运动微分方程为,二阶常系数线性非齐次微分方程,通解为两种固有振动的叠加，特解为稳定的等幅振动，频率与激振力相同。,设对应齐次方程的解为,B,1,、,B,2,待定,6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动 6.3.2 求解二自由,6.3,无阻尼二自由度系统受迫振动,代入微分方程组得到,由,（固有振型矩阵）,6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动 代入微分方程组得到由（固,6.3,无阻尼二自由度系统受迫振动,坐标变换：,（,i,=1,2,）,代入原微分方程得到：,两边左乘 得到：,（,i,=1,2,）,（对角阵）,（对角阵）,解耦,（表示矢量,T,f,的第一项）,为在坐标系,q,下的两个单自由度受迫振动的微分方程。,6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动 坐标变换：（i=1,2）,6.3,无阻尼二自由度系统受迫振动,坐标,q,下的运动初始条件：,（利用求解单自由度系统强迫振动的方法）,坐标反变换：,（,i,=1,2,）,（得到在物理坐标系下的解）,6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动 坐标q下的运动初始条件：,将所有的刚度影响系数和阻尼影响系数分别组成矩阵，就得到刚度矩阵和阻尼矩阵。,补充 建立系统微分方程组,方法介绍：,在多自由度系统中，将除了,i,坐标外其它坐标固定，则质量,i,产生,单位移动,后，在质量,j,上产生的力称为,i,对,j,的,刚度影响系数,k,ji,；,质量,i,产生,单位速度,使得质量,j,上产生的力称为,i,对,j,的,阻尼影响系数,c,ji,（,n,为自由度数）,影响系数法确定刚度矩阵和阻尼矩阵,将所有的刚度影响系数和阻尼影响系数分别组成矩阵，就得到刚度,m,1,m,2,c,3,c,2,k,1,c,1,k,2,k,3,u,1,，,u,2,，,补充 建立系统微分方程组,m1m2c3c2k1c1k2k3u1，u2，补充 建立系统,本章结束！,本章结束！,人有了知识，就会具备各种分析能力，,明辨是非的能力。,所以我们要勤恳读书，广泛阅读，,古人说“书中自有黄金屋。,”通过阅读科技书籍，我们能丰