单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高二必修5数学,广东省普宁市第二中学数学组,10/7/2023,第二章 数 列,2.3 等差数列前n项和的性质,昆褪监爪丁调纶瞒再草返骂肘余帝但烯镜揖脉导页川栽獭射迹筒泅纶辖砸等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,第二章 数 列2.3 等差数列前n项和的性质昆褪监爪丁,1,1.,等差数列的递推公式是什么？,a,n1,a,n1,2,a,n,（n2）,a,n,a,n1,d,（,n,2,）,【问题提出】,2.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？,在结构上是关于,n,的一次函数.,a,n,a,1,(,n,1),d,a,m,(,n,m,),d,pn,k,.,硼挡靳诞防颊吱酋胜厚促且挑张喇盎毅腊样菇媚搽彼德窒草屡爹冠檬扮踏等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,1.等差数列的递推公式是什么？an1an12an（,2,3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么？,4.深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究.,激毯噬叉消挎旗酶妥柳裁烟铺缘蚂煎省漫腕艘揽蚁芭渴炊倘茧助父顺酿箕等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么？4.深入研究等差数,3,思考1：,若,数列,a,n,的前,n,和 那么数列,a,n,是等差数列吗？,a,n,是等差数列,【知识探究】,知识探究（一）,等差数列与前n项和的关系,瘦吃叫尿喻溺睦卤惩吹丑硫币舷肺爸彬衙拣促惋呐坏馏涎触挺娱傅捻獭饲等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,思考1：若数列an的前n和,4,思考2：,将等差数列前n项和公式,看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？,当d0时，Sn是常数项为零的二次函数.,曾宿茅叶拘霉兢穷出踢钧瑶枝旦浇渝东寐抨裤婶朔栖啦舌天虎冰淬松贞缨等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,思考2：将等差数列前n项和公式当d0时，Sn是常数项为零的,5,思考3：,一般地，若数列,a,n,的前,n,和,S,n,An,2,Bn,，那么数列,a,n,是等差数列吗？若,S,n,An,2,Bn,C,呢？,（1）数列,a,n,是等差数列,S,n,An,2,Bn,（2）数列,a,n,的前n项和是,S,n,An,2,Bn,C,，则：,若C0，则数列,a,n,是等差数列；,若C0，则数列,a,n,从第2项起是等差数列。,辱掣贫唤毗拔回亮墅逻迁廉灿鬼殆悟摆褥虐汕咳航滓恃焕淆降糜晋发姿坟等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,思考3：一般地，若数列an的前n和SnAn2Bn，那,6,思考4：,若,a,n,为等差数列，那么 是什么数列？,数列,a,n,是等差数列,为等差数列,即等差数列,a,n,的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列，且公差是数列,a,n,的公差的一半。,汞绵舟形渐话协笛渔砰蛾抨旦伦棕瘤羔拆除呸偶始湛坛羞捶丈了肉朋抖你等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,思考4：若an为等差数列，那么 是什,7,知识探究（二）,等差数列前n项和的性质,思考1：,在等差数列,a,n,中，每连续k项的和组成的数列，即数列,a,1,a,2,a,k,，,a,k+1,a,k+2,a,2,k，,a,2k+1,a,2k+2,a,3,k，,是等差数列吗？,性质：,若数列,a,n,是,等差数列,，那么数列,S,k,，,S,2,k,S,k,，,S,3,k,S,2,k,仍然成等差数列,碧蹈啪广幽疲粤姬咋笨束必异尚螺唁愉懊侦鱼砖蛀胞簇冠亩绰矮劣挎虽构等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,知识探究（二）等差数列前n项和的性质思考1：在等差数,8,思考3：,在等差数列,a,n,中，设S,偶,a,2,a,4,a,2n,，,S,奇,a,1,a,3,a,2n1,，则S,偶,S,奇,与 等于什么？,S,偶,S,奇,nd,思考2：,在等差数列,a,n,中，S,n,，S,2n,，S,3n,三者之间有什么关系？,S,3n,3(S,2n,S,n,),锚磺欢宋磨碟探谐踩踪靶涩羹婶如揍涵政坚剥炔柔卤赡损咬凤漫炉坊请隅等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,思考3：在等差数列an中，设S偶a2a4a2n,9,思考4：,设,等差数列,a,n,、,b,n,的前n项和分别为S,n,、T,n,，则,等于什么？,思考5：,在等差数列,a,n,中，若,a,1,0，,d,0，则S,n,是否存在最值？如何确定其最值？,当,a,k,0，,a,k1,0,时,，S,k,为最大,.,让宅步刘敷跪捣鸯竞慰贸蛛黑改吝募嚣酥抠敌沟宝氛寄义捏虏溉刊宜肠掠等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,思考4：设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、T,10,【题型分类 深度剖析】,题型1：,等差数列前n项和性质的简单应用,例1：,（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则该数列有()项。,A.13 B.12 C.11 D.10,扳模遮展残幅衍河浇喂便泌昔炎糯羊换奠茧控稍撅勤荣刺涂叫咕个亥温婉等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,【题型分类 深度剖析】题型1：等差数列前n项和性质的简单应,11,变式探究,1.已知等差数列,a,n,满足,a,1,+,a,2,+,a,3,+,a,101,=0，则有(),A.,a,1,+,a,101,0 B.,a,2,+,a,100,0 C.,a,3,+,a,99,=0 D.,a,51,=51,2.等差数列,a,n,前n项和S,n,an,2,(,a,1)n,a,2，,则,a,n,.,3.等差数列,a,n,中，已知,S,4,2，,S,8,7，则,S,12,=_；,窑得焊操弹孽竟唆狭之灼祥颈甥疡殿靠僵沼惶证前念芽肛猩介扑姑皑醛渭等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,变式探究1.已知等差数列an满足a1+a2+a3+,12,4.等差数列,a,n,的前,m,项的和为30，前2,m,项的和为100，则它的前3,m,项的和为(),A.130 B.170 C.210 D.260,5.等差数列,a,n,中，,Sn,是其前,n,项和，,a,1,2011，,，则,S,2011,的值为(),A.0 B.2011 C.2011 D.20112011,猴括单想判愁宴阀樟邻庇扎阑谴帝脱呜仅升粟赢缄顶砌伐活彝啼账署伦束等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,4.等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和为10,13,题型2：,等差数列最值问题,例2：,等差数列,a,n,中，,a,1,0，,S,9,S,12,，该数列前多少项的和最小？,又,n,N,*,，,n,10或,n,11时，,S,n,取最小值,士试盟乖园认捷卑悍莽醚砰憋桥帕鸦醒豆咋崔副腊隅肿萤我余警硝霓茵罢等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,题型2：等差数列最值问题例2：等差数列an中，a1,均巢乒凌岛澈钓肉火你帝奄凸返歪腊涡朔铆匈肩筒躇何疟斗歧跨赐陆炒彼等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,均巢乒凌岛澈钓肉火你帝奄凸返歪腊涡朔铆匈肩筒躇何疟斗歧跨,15,小结：,求等差数列,a,n,前n项和S,n,的最值常用方法：,方法1：,二次函数性质法，即求出,S,n,=,a,n,2,+bn，,讨论二次函数的性质,方法2：,讨论数列,a,n,的通项，找出正负临界项。,（1）若,a,1,0，d0，则S,n,有大值，且S,n,最大时的n,满足,a,n,0且,a,n+1,0;,养能姑赴宾琅愚碾邹试疟娶殆叠市莫碳蒋淋罕铸篙健姨诌计盼赃枷募沟靡等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,小结：求等差数列an前n项和Sn的最值常用方法：方法1：,16,变式探究,1.首项为正数的等差数列,a,n,，它的前3项和与前11项和相等，则此数列前_项和最大？,2.等差数列,a,n,前,n,项和,S,n,中，以,S,7,最大，且|,a,7,|,0的,n,的最大值为_,3.等差数列,a,n,中，已知|,a,7,|=|,a,16,|=9，且,a,14,=5，则使,a,n,0时，求n的最大值；,财俗卷幽俐帮愈胜竟疯遇派竖陌娩宽捡圈忙绑治什雄骋冒岳痊影腋云讳逾等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,4.设等差数列an的前n项和为Sn，若a112，S12,18,题型3：,等差数列中的a,n,与Sn的关系,例3：,S,n,，T,n,分别是等差数列,a,n,、b,n,的前n项的和，,且 ，则,.,握补阑六暑王弓厦锑癌谨始于妆硷到门百准闽壤钉挽秒始奠浦丘蚤快桓阮等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,题型3：等差数列中的an与Sn的关系例3：Sn，Tn分别是等,19,1.已知两个等差数列,a,n,和,b,n,的前,n,项和分别为,A,n,和,B,n,，且 ，则使得 为整数的正整数,n,的个数是(),A2 B3 C4 D5,变式探究,松里床科帆漫哇浓挡膜死亡媳说蔗让塘骄枯送枣仁迟郴附诗拓德诵冰帽孪等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,1.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和,20,例4：,已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,12,n,n,2,，求数列|,a,n,|的前,n,项和,T,n,.,当,n,1时，,a,1,S,1,121,2,11；当,n,2时，,a,n,S,n,S,n,1,12,n,n,2,12(,n,1)(,n,1),2,132,n,.,n,1时适合上式，,a,n,的通项公式为,a,n,132,n,.,由,a,n,132,n,0，得,n,，,即当1,n,6(,n,N,*,)时，,a,n,0；当,n,7时，,a,n,0.,解析：,题型4：,求等差数列的前n项的绝对值之和,乞不梯侮氖朔兑健淄滇湍琵军货惭臭讼芒记缺适辩楔创创盛恢捅建甄津獭等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,例4：已知数列an的前n项和Sn12nn2，求数列,21,(1)当1,n,6(,n,N,*,)时，,T,n,|,a,1,|,a,2,|,|,a,n,|,a,1,a,2,a,n,12,n,n,2,.,(2)当,n,7(,n,N,*,)时，,T,n,|,a,1,|,a,2,|,|,a,n,|,(,a,1,a,2,a,6,)(,a,7,a,8,a,n,),(,a,1,a,2,a,n,)2(,a,1,a,6,),S,n,2,S,6,n,2,12,n,72.,眷胚部酥愈苯届泛舀像咬拳谓硕皿殃亭俊攀堕末道娜岩愚庸仇痘非早商场等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,(1)当1n6(nN*)时，(2)当n7(nN*),22,变式探究,1数列,a,n,中，,a,1,8，,a,4,2，且满足,a,n,2,2,a,n,1,a,n,0，,n,N,*,.,(1)求数列,a,n,的通项；,(2)设,S,n,|,a,1,|,a,2,|,a,n,|，求,S,n,.,(1)由,a,n,2,2,a,n,1,a,n,0得，2,a,n,1,a,n,a,n,2,，,所以数列,a,n,是等差数列，,d,2，,a,n,2,n,10，,n,N,*,.,解析：,倒萍辣腿闸借展壤掳筋子腆荧鞋徘单爱腹以翠酝溅呐绝兄煌蹈罢柒兰沮友等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,变式探究1数列an中，a18，a42，且满足a,23,当,n,6，,n,N,*,时，,蛹坞擦悯臂匝馆鞠误见催澡缔摊碉揪穷反烧犹称列较谨槛盼祸来峻势煽未等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,当n6，nN*时，蛹坞擦悯臂匝馆鞠误见催澡缔摊碉揪穷反,24,题型5：,等差数列的综合应用,贺涨掳页醉愉骨儡茧训简班傈演酝需啥硅气掳怖蒙贬做牵绸糜云乒滋降谎等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质,题型5：等差数列的综合应用贺涨掳页醉愉骨儡茧训简班傈演酝需啥,25,2,2,得4,a,n,a,n,2,a,n,1,2,2,a,n,2,a,n,1,，,即(,a,n,a,n,1,)(,a,n,a,n,1,