第二章,二次函数,5,二次函数与,一元二次方程,（第,2,课时）,第二章 5 二次函数与一元二次方程,1,学习目标,1.,会,用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集；（重点）,2.,通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用,.,（难点）,学习目标1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次,问题：,上节课我们学习了一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0),和二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢,?,回顾与,思考,问题：上节课我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a,例,1,：,求一元二次方程 的近似根（精确到,0.1,）,.,分析：一元二次方程,x,-2,x,-1=0,的根就是抛物线,y=x,-2,x,-1,与,x,轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与,x,轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法,.,利用图象法求一元二次方程的近似根,一,讲授新课,例1：求一元二次方程,解：画出函数,y=x,-2,x,-1,的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在,-1,与,0,之间,另一个在,2,与,3,之间,.,解：画出函数 y=x-2x-1 的图象（如下图），由图象可,先求位于,-1,到,0,之间的根，由图象可估计这个根是,-0.4,或,-0.5,，利用计算器进行探索，见下表：,x,-0.4,-0.5,y,-0.04,0.25,观察上表可以发现，当,x,分别取,-0.4,和,-0.5,时，对应的,y,由负变正，可见在,-0.5,与,-0.4,之间肯定有一个,x,使,y,=0,，即有,y,=,x,2,-2,x,-1,的一个根，题目只要求,精确到,0.1,，这时取,x,=-0.4,或,x,=-0.5,都符合要求,.,但当,x,=-0.4,时更为接近,0.,故,x,1,-0.4,.,同理可得另一近似值为,x,2,2.4,.,先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是,(1),用描点法作二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象；,(2),观察估计,二次函数的,图象与,x,轴的交点的横坐标；,(,可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值,),(3),确定方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,的近似,根,.,方法归纳,利用图象法求一元二次方程的近似根,(1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象；(2),例,1,已知,二次函数,y,ax,2,bx,c,的图象如图所示，则一元二次方程,ax,2,bx,c,0,的近似根为,(,),A,x,1,2.1,，,x,2,0.1,B,x,1,2.5,，,x,2,0.5,C,x,1,2.9,，,x,2,0.9,D,x,1,3,，,x,2,1,解析：由图象可得二次函数,y,ax,2,bx,c,图象的对称轴为,x,1,，而对称轴右侧图象与,x,轴交点到原点的距离约为,0.5,，,x,2,0.5,；又对称轴为,x,1,，则,1,，,x,1,2(,1),0.5,2.5.,故,x,1,2.5,，,x,2,0.5.,故选,B.,B,例题讲解,例1 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一,解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确,方法总结,解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性,例,2,求,一元二次方程 的近似根（精确到,0.1,）,.,分析：令,y,=,x,-2,x,-1-3,=,x,-2,x,-4,，则,x,-2,x,-1,=,3,的根就是抛物线,y=x,-2,x,-4,与,x,轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与,x,轴的交点的横坐标,.,例2 求一元二次方程,2,x,y,O,解：,y,=,x,-2,x,-4,的图象如图所示,.,由,图象可知方程的一根在,3,到,4,之间，另一根在,-1,到,-2,之间,.,(1),先求,3,到,4,之间的根,.,利用计算器进行探索：,x,3.2,3.3,y,-0.16,0.29,因此，,x,=3.2,是方程的一个近似根,.,(2),可类似地求出,另一个根为,x,=-1.2,.,2xyO 解：y=x-2x-4的图象如图所示.由图象可知,例,2,变,式：,你还能利用,y=x,-2,x,-1,的图象求一元二次方程,的近似根吗（精确到,0.1,）,？,分析：在,y,=,x,-2,x,-1,的图象中作直线,y,=3,，再用图象法求出直线与抛物线交点的横坐标，则横坐标的近似值即为所求方程的近似根,.,y,=3,例2变式：你还能利用y=x-2x-1 的图象求一元二次方程,一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=,m,的根就是二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,与直线,y,=,m,（,m,是实数）图象交点的横坐标,.,既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根,.,方法归纳,一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y,利用函数的图象求一元二次不等式的解集,二,问题,1,函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象如图，那么,方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,的根是,_,_,_;,不等式,ax,2,+,bx,+,c,0,的,解集是,_;,不等式,ax,2,+,bx,+,c,0,的,解集是,_.,3,-1,O,x,y,x,1,=-1,，,x,2,=3,x,3,-1,x,2,的解集是,_;,不等式,ax,2,+,bx,+,c,2,的解集是,_.,3,-1,O,x,2,(4,2),(-2,2),x,1,=-2,，,x,2,=4,x,4,-2,x,0,（,a,0,）的解集是,x,2,的一切实数，那么函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象与,x,轴有,_,个交点，坐标是,_.,方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,的根是,_.,1,(2,0),x,=2,问题2如果不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x2,问题,3,如果方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,（,a,0,）没有实数根，那么,函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象与,x,轴有,_,个交点；,不等式,ax,2,+,bx,+,c,0,时,ax,2,+,bx,+,c,0,无解；,(2),当,a,0,时,ax,2,+,bx,+,c,0;,-,x,2,+,x,+20;,x,2,-4,x,+40;,-,x,2,+,x,-20.,x,y,0,2,0,x,y,-1,2,x,y,0,y,=,-,x,2,+,x,+2,x,1,=-1,x,2,=2,-1,x,2,x,1,-1,x,2,2,y=x,2,-4,x,+4,x,=2,x,2,的一切实数,x,无解,y=,-x,2,+,x,-2,x,无解,x,无解,x,为全体实数,试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:xy020 xy-12,要点归纳,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象与,x,轴交点,a,0,a,0,有两个交点,x,1,x,2,(,x,1,x,2,),有一个交点,x,0,没有交点,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象与,x,轴交点的坐标与一元二次不等式的关系,y,0,，,x,1,x,x,2,；,y,0,，,x,2,x,或,x,x,1,y,0,，,x,1,x,x,2,；,y,0,，,x,2,x,或,x,x,1,y,0,x,0,之外的所有实数；,y,0,，无解,y,0,x,0,之外的所有实数；,y,0,，无解,y,0,，,所有实数,；,y,0,，无解,y,0,，,所有实数,；,y,0,，无解,要点归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点a0a,判断方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,(,a,0,a,b,c,为常数,),一个解,x,的范围是（）,A.3,x,3.23 B.3.23 ,x,3.24,C.3.24,x,3.25,D.3.25,x,0,？,（,3,）,x,取什么值时，,y,0,？,x,y,O,2,4,8,解,：（,1,）,x,1,=2,x,2,=4;,（,2,）,x,4;,（,3,）,2,x,4.,4.已知二次函数 的图象，利用图象回,二次函数图象,由图象与,x,轴的交点位置，,判断方程根的近似值,一元二次方程的根,一元二次不等式的解集,课堂小结,二次函数图象由图象与x轴的交点位置，一元二次方程的根一元二次,