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6,Parameter Estimation,Chapter 6Parameter Estimation,目 录,6.1,最大似然估计,6.2,广义似然比检验,6.3,优良估计评价标准,6.4,贝叶斯估计,6.5 Cramer-Rao,不等式,6.6,多参数估计,6.7,最佳线性无偏估计,6.8,最小二乘估计,6.9,递归最小二乘估计,目 录6.1 最大似然估计,序言,在第5章中,我们学习了关于检测理论的问题,主要是解决在M个可能的假设中来确定哪个假设是正确。,本章主要介绍假设接受的信号是正确的,但是有些相关联的参数是未知的,主要的目的就是利用有限的样本参数用最佳的方式估计这些参数。,令Y,1,,Y,2,,.,Y,K,为K个独立同分布的随机变量Y的样本,其密度函数取决于未知参数。y,1,,y,2,,.,y,K,为样本Y,1,,Y,2,,.,Y,K,所对应的值,函数,g(Y,1,,Y,2,,.,Y,K,)用来估计参数。表示为,称为参数的估计。,通常,估计的参数可以是随机的或非随机的。随机参数的估计被称为贝叶斯估计,而非随机参数的估计被称为最大似然估计(MLE)。,序言在第5章中,我们学习了关于检测理论的问题,主要是解决在M,6.1,最大似然估计,如在前面的函数中所提到的,通常用,最大似然(ML)估计来,估计非随机参数。令,Y,1,,Y,2,,.,Y,K,具有样本值y,1,,y,2,,.,y,K,的,随机变量Y的K个观测值,并且这些随机变量是独立同分布的。令 表示随机变量Y的条件密度函数。Y的密度函数取决于需要估计的参数,,记最大似然函数为,L(,),,式,6.1.1,(6.1.1),似然函数最大的值 称为的最大似然估计量。为求最大似然估计量,我们利用数学中所学的微积分。为了计算简单,利用对数函数,由于对数函数,lnx,是关于变量,x,的递增函数,由第五章可知最大化,L(,),与,ln(L(,),等价。可以用最大似然函数的对数函数式求解,对参数,求导数可以求的最大似然估计量。如式,6.1.2,(6.1.2),不变性:令L,(,),是的似然函数,并且,g(,),是参数,一一对应的函数,即,g(,1,)=g(,2,),1,=,2,如果 是参数,的最大似然估计量,则 是,g(,),最大似然估计量。,6.1 最大似然估计如在前面的函数中所提到的,通常用最大似然,6.1,最大似然估计,Examle6.1,the received signal under hypotheses H1 and H0 was,(a)Assuming the constant m is not known,obtain the ML estimate of,the mean.,(b)Suppose now that the mean m is known,but the variance,2,is unknown.,Obtain the MLE of =,2,.,在第五章中,是确定假设中的那个假设是真的。而在本章中,假设,H1,是真的,参数是未知的需要用最大似然估计来估计。,(a),在例题中需要确定的参数 对应为 ,,mM,由于样本参数是独立同分布的,由式,6.1.1,得似然函数:,6.1 最大似然估计Examle6.1the receive,6.1,最大似然估计,等式两边同取对数得,利用式,6.1.2,解似然方程得到似然估计得,得到 。Thus,the ML estimator is,6.1 最大似然估计等式两边同取对数得利用式6.1.2 解似,6.1,最大似然估计,(b)最大似然估计式为,方程两边取对数得,其中对,lnL(,2,),最大化等价于对,2,最小化,由似然函数的不变性得,6.1 最大似然估计(b)最大似然估计式为,6.1,最大似然估计,因此,,2,的最大似然估计为,6.1 最大似然估计因此,2的最大似然估计为,6.2,广义似然比检验,在例5.9中,我们解决了,复合,假设检验问题。,参数m在,假设H1下,虽然已知m是正或负,但,是值是未知。当m仅为正值(仅为负值)时,在UMP测试,判决规则为,m0,时,m0,。因此,上式等价于下式,判决门限图如图,6.2.1,Figure 6.2.1 Decision regions of the generalized likelihood ratio test,设定期望的失警概率,可以确定,1,的值。在得到失,警概率,P,F,的表达式之前,我们需要确定Z的密度,函数,。,6.2 广义似然比检验其中10。因此,上式等价于下式判决,6.2,广义似然比检测,在假设H,0,下Y的均值,为零,和方差,2,,所有的观察数据都是统计独立的高斯过程。,因此,,的密度函数均是均值为零和方差K,2,的高斯过程。因此,Z也是具有均值为零和方差,2,的高斯过程。,失警的概率为,如图,6.2.2,所示,Figure 6.2,.2,Density function of Z under H,0,.,6.2 广义似然比检测在假设H0下Y的均值为零和方差2,所,6.2,广义似然比检验,从上面可以在没有,m,的失警概率中确定,1,的值。然而,检测的概率不能在没有,m,的情况下确定,,但可以对,m,做,参数估计。在假设H,1,下,是具有均值为Km和方差K,2,的高斯过程。因,此,Z的密度函数是具有均K m和方差,2,。,给定,m,的检测概率为,概率密度图如图,6.2.3,所示,6.2 广义似然比检验 从上面可以在没有m的失警概率,6.2,广义似然比检验,通过比较,广义似然比检验和奈曼,-,皮尔逊检验效果一样好。,Figure 6.,2.,3 Density function of Z under H,1,.,6.2 广义似然比检验通过比较,广义似然比检验和奈曼-皮尔逊,6.3,优良估计评价标准,由于估计参量 是随机变量,所对应的值不止一个。因此需要确定最优估计。,无偏估计:是无偏估计,满足,6.3.1,式,(6.3.1),有偏估计:如式,6.3.2,(6.3.2),1.,如果,b(,),不依赖于,(b(,)=b),,就认为估计量 具有已知的偏差,也就是说,(-b),是无偏估计。,2.,当,b(,)b,,由于,是未知的,所以不能获得无偏估计。在这种情况下,就认为估计量具有 未知的偏差。,当参数,既满足式(,6.3.1,)并且不是随机的(没有的先验概率分布),这有时称为绝对无偏估计。,6.3 优良估计评价标准由于估计参量 是随机变量,所,6.3,优良估计评价标准,如果估计是无偏的,其意味着估计值与真实值接近,但是不一定是最优估计。可以通过图6.,3.1,中所示的估计的条件密度函数容易地看出。从图中观察到,即使是无偏,估计,,,因估计的方差很大,也可能发生相当大的误差。然而如果方差小,估计量和期望值的相差也很小。因此,可以认为估计的优良性可以有方差大小判断。,Figure 6.3.1 Density function of the unbiased estimator .,6.3 优良估计评价标准如果估计是无偏的,其意味着估计值与真,6.3,优良估计评价标准,无偏最小方差:是的最小方差和无偏估计,对所有的参数都有,E()=,则对所有,var()var(),也就是说,对于所有无偏估计,具有最小的方差。,一致估计:是基于K个观察样本的参数的一致估计,如果满足式,6.3.3,(6.3.3),P(.),代表概率。,应用上述定义并不能验证估计的一致性。可以用以下定理,定理:是基于K个观察样本的参数的无偏估计,如果满足式,6.3.4,(6.3.4),(6.3.5),是参数,的一致估计量。,如果满足式6.3.5,6.3 优良估计评价标准无偏最小方差:是的最小方差和,6.3,优良估计评价标准,Example 6.3,(,a)Verify if the estimator of Example 6.1 is an unbiased estimate of m.,(b)Is the estimator unbiased?,Solution,(a),The estimator is unbiased if E =m.After substitution,we obtain,Hence,is unbiased,.,(b),The estimator is unbiased if E =,2,.That is,Hence,is unbiased.,6.3 优良估计评价标准 Example 6.3(a)V,6.4,贝叶斯估计,在贝叶斯估计中,引入了代价,(,损失,),函数,对所有的 定义为 。代价函数是两个随机变量和 的非负实函数。在贝叶斯检测中,代价函数的平均代价定义为风险函数,如式,6.4.1,。,(6.4.1),贝叶斯估计就是寻找使得风险函数(即平均代价)达到最小的判决准则。一般情况是估计单变量,所以利用估计误差 来进行估计。估计误差如式,6.4.2,(6.4.2),下面有三种常用的代价函数,其图形如图,6.4.1,所示。,1.,平方代价函数,2.,绝对值代价函数,(6.4.3),(6.4.4),6.4 贝叶斯估计在贝叶斯估计中,引入了代价(损失)函数,对,6.4,贝叶斯估计,3.,均匀代价函数,(6.4.5),表示一个很小的量,可见所谓的均匀代价函数是指当误差超过某一门限值时,代价是相
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