单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,ppt课件,*,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,1,ppt课件,第三节一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂,一、函数项级数的概念,设,为定义在区间,I,上的,函数项级数,.,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其,收敛域,;,若常数项级数,为定义在区间,I,上的函数,称,收敛,发散,所有,为其,收,为其,发散点,发散点的全体称为其,发散域,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,ppt课件,一、函数项级数的概念设为定义在区间 I 上的函数项级数.,为级数的,和函数,并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前,n,项的和,即,在收敛域上,函数项级数的和是,x,的函数,称它,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,ppt课件,为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项,例如,等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,又如,级数,级数发散,;,所以级数的收敛域仅为,有和函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,ppt课件,例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数级,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为,幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如,幂级数,为幂级数的,系数,.,即是此种情形,.,的情形,即,称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,ppt课件,二、幂级数及其收敛性 形如的函数项级数称为幂级数,其中数,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,定理,1.,(Abel,定理,),若幂级数,则对满足不等式,的一切,x,幂级数都绝对收敛,.,反之,若当,的一切,x,该幂级数也发散,.,时该幂级数发散,则对满足不等式,证,:,设,收敛,则必有,于是存在,常数,M,0,使,阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束,6,ppt课件,发 散发 散收 敛,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛,.,也收敛,反之,若当,时该幂级数发散,下面用反证法证之,.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛,面的证明可知,级数在点,故假设不真,.,的,x,原幂级数也,发散,.,时幂级数发散,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,ppt课件,当 时,收敛,故原幂级数绝对,幂级数在,(,+),收敛,;,由,Abel,定理可以看出,中心的区间,.,用,R,表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R,=0,时,幂级数仅在,x,=0,收敛,;,R,=,时,幂级数在,(,R,R,),收敛,;,(,R,R,),加上收敛的端点称为,收敛域,.,R,称为,收敛半径,，,在,R,R,可能收敛也可能发散,.,外发散,;,在,(,R,R,),称为,收敛区间,.,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,ppt课件,幂级数在(,+)收敛;由Abel 定理可以看出,定理,2.,若,的系数满足,证,:,1),若,0,则根据比值审敛法可知,:,当,原级数收敛,;,当,原级数发散,.,即,时,1),当,0,时,2),当,0,时,3),当,时,即,时,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,ppt课件,定理2.若的系数满足证:1)若 0,则根据比值审敛法,2),若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3),若,则对除,x,=0,以外的一切,x,原级发散,对任意,x,原级数,因此,因此,的收敛半径为,说明,:,据此定理,因此级数的收敛半径,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,ppt课件,2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除,对端点,x=,1,的收敛半径及收敛域,.,解,:,对端点,x=,1,级数为交错级数,收敛;,级数为,发散,.,故收敛域为,例,1,.,求幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,ppt课件,对端点 x=1,的收敛半径及收敛域.解:对端点 x=,例,2,.,求下列幂级数的收敛域,:,解,:,(1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在,x=,0,处收敛,.,规定,:0!=1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,ppt课件,例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2,例,3.,的收敛半径,.,解,:,级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理,2,比值审敛法求收敛半径,.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,ppt课件,例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理,例,4.,的收敛域,.,解,:,令,级数变为,当,t,=2,时,级数为,此级数发散,;,当,t,=2,时,级数为,此级数条件收敛,;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,ppt课件,例4.的收敛域.解:令 级数变为当 t=2 时,级数,三、幂级数的运算,定理,3.,设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有,:,其中,以上结论可用部分和的极限证明,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,ppt课件,三、幂级数的运算定理3.设幂级数及的收敛半径分别为令则有,说明,:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多,.,例如,设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,ppt课件,说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数,定理,4,若幂级数,的收敛半径,(,证明见第六节,),则其和函,在收敛域上,连续,且在收敛区间内可,逐项求导,与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同,:,注,:,逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,ppt课件,定理4 若幂级数的收敛半径(证明见第六节)则其和函在收敛域,解,:,由例,2,可知级数的收敛半径,R,+.,例,5.,则,故有,故得,的和函数,.,因此得,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,ppt课件,解:由例2可知级数的收敛半径 R+.例5.则故有故得,例,6.,的和函数,解,:,易求出幂级数的收敛半径为,1,x,1,时级数发,散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,ppt课件,例6.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为 1,x,例,7.,求级数,的和函数,解,:,易求出幂级数的收敛半径为,1,及,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,ppt课件,例7.求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为 1,因此由和函数的连续性得,:,而,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,ppt课件,因此由和函数的连续性得:而及机动 目录 上页 下,例,8.,解,:,设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,ppt课件,例8.解:设则机动 目录 上页 下页 返回,而,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,ppt课件,而故机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.,求幂级数收敛域的方法,1),对标准型幂级数,先求收敛半径,再讨论端点的收敛性,.,2),对非标准型幂级数,(,缺项或通项为复合式,),求收敛半径时直接用,比值法,或,根值法,2.,幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可通过,换元,化为标准型再求,.,乘法运算,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24,ppt课件,内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收,2),在收敛区间内幂级数的和函数连续,;,3),幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分,.,思考与练习,1.,已知,处条件收敛,问该级数收敛,半径是多少,?,答,:,根据,Abel,定理可知,级数在,收敛,时发散,.,故收敛半径为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25,ppt课件,2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间,2.,在幂级数,中,n,为奇数,n,为偶数,能否确定它的收敛半径不存在,?,答,:,不能,.,因为,当,时级数收敛,时级数发散,说明,:,可以证明,比值判别法成立,根值判别法成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26,ppt课件,2.在幂级数中,n 为奇数n 为偶数能否确定它的收敛半径不,P215 1 (1),(3),(5),(7),(8),2 (1),(3),P257 7 (1),(4),8 (1),(3),作业,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,27,ppt课件,P215 1 (1),(3),(5),(7),阿贝尔,(1802 1829),挪威数学家,近代数学发展的先驱者,.,他在,22,岁时就解决了用根式解,5,次方程,的不可能性问题,他还研究了更广的一,并称之为阿贝尔群,.,在级数研究中,他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理,.,论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开,拓了道路,.,数学家们工作,150,年,.,类代数方程,他是椭圆函数,C.,埃尔米特曾说,:,阿贝尔留下的思想可供,后人发现这是一类交换群,28,ppt课件,阿贝尔(1802 1829)挪威数学家,近代数学发展的,备用题,求极限,其中,解,:,令,作幂级数,设其和为,易知其收敛半径为,1,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,ppt课件,备用题 求极限其中解:令作幂级数设其和为易知其收敛半径为,