单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,四、小结,第一节 二重积分的概念与性质一、问题的提出,1,柱体体积 = 底面积 ,高,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,曲顶柱体,柱体体积 = 底面积 高特点：平顶.柱体体积 = ？特点：,2,播放,求曲顶柱体的体积采用 “,分割、求和、取极,限,”的方法，如下动画演示,播放求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极,3,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、,求和、取极限。,求曲顶柱体体积的方法：分割、取近似、,4,步骤,如下：,1. 分割,2. 取近似,3. 求和,4. 取极限,步骤如下：1. 分割2. 取近似3. 求和4. 取极限,5,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似,看作均匀薄片，,所有小块质量之和,近似等于薄片总质量,求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近,6,二、二重积分的概念,二、二重积分的概念,7,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,- 被积表达式,面积元素,积分区域积分和被积函数积分变量- 被积表达式面积元,8,对二重积分定义的,说明,：,对二重积分定义的说明：,9,二重积分的,几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,10,在直角坐标系下用平行于坐,标轴的直线网来划分区域,D,，,故二重积分可写为,则面积元素为,D,在直角坐标系下用平行于坐故二重积分可写为则面积元素为D,11,性质,当,k,为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质当 k 为常数时，性质（二重积分与定积分有类似的性质,12,性质,对区域具有可加性,性质,若 为,D,的面积，,性质,若在,D,上,特殊地,则有,性质对区域具有可加性性质若 为D的面积，性质若在D上,13,性质,性质,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,性质性质（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）,14,解,因此，,由性质6知,即,解因此，由性质6知即,15,解,解,16,解,解,17,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（积分和式的极限）,四、小结,作业：93页 4，5,二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体,18,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出,它们的相同之处与不同之处.,思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出,19,定积分与二重积分,相同之处,：都表示某种和式,的极限值，且此值只与被积函数及,积分区域有关,不同,的是: 定积分的积分区域为,区间,，被积函,数为定义在区间上的,一元函数,;,二重积分的积分区域为平面,区域,，,被积函数为定义在平面区域上的,二,元函数,思考题解答,定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式思考题解答,20,求曲顶柱体的体积采用 “,分割、求和、取极,限,”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极,21,求曲顶柱体的体积采用 “,分割、求和、取极,限,”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极,22,求曲顶柱体的体积采用 “,分割、求和、取极,限,”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极,23,求曲顶柱体的体积采用 “,分割、求和、取极,限,”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极,24,求曲顶柱体的体积采用 “,分割、求和、取极,限,”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极,25,