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圆,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,小结与复习,小结与复习九年级数学下第三章 圆要点梳理考点讲练课堂小结课,一、圆的基本概念及性质,1.,定义,:,平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做,圆,.,2.,有关概念,:,(1),弦、直径,(,圆中最长的弦,),(2),弧、优弧、劣弧、等弧,(3),弦心距,O,要点梳理,3.,不在同一条直线上的三个点确定一个圆,.,小结与复习,一、圆的基本概念及性质1.定义:平面上到定点的距离等于定长的,二、点与圆的位置关系,A,B,C,O,d,r,dr,d=r,dr,小结与复习,二、点与圆的位置关系ABCOdrdrd=rdr小,三、圆的对称性,1.,圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是,它的对称轴,.,圆有无数条对称轴,.,2.,圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一,个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性,.,小结与复习,三、圆的对称性1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是2,3.,在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，,所对的弦也相等,4.,在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、,两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余,各组量都分别相等,小结与复习,3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 4.在同圆,O,A,B,C,D,M,AM,=,BM,若,CD,是直径,CD,AB,可推得,AC,=,BC,AD,=,BD,.,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,.,四、垂径定理及推论,小结与复习,OABCDMAM=BM, 若 CD是直径 C,垂径定理的逆定理,CD,AB,由,CD,是直径,AM,=,BM,可推得,AC,=,BC,AD,=,BD,.,O,C,D,A,B,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,.,M,小结与复习,垂径定理的逆定理CDAB,由 CD是直径 AM=,定义,:,顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做,圆周角,.,圆周角定理：,圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半,.,五、圆周角和圆心角的关系,BAC,= ,BOC,小结与复习,定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.圆周角定理,推论：,同弧或等弧所对的圆周角相等,.,ADB,与,AEB,、,ACB,是同弧所对的圆周角,ADB,=,AEB,=,ACB,小结与复习,推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.ADB与AEB 、,推论：,直径所对的圆周角是直角；,90,的圆周角所对的弦是圆的直径,.,推论：,圆的内接四边形的对角互补,.,小结与复习,推论：直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是圆的直,六、直线和圆的位置关系,l,d,r,0,切线,d,r,2,d,r,d=r,1,割线,小结与复习,六、直线和圆的位置关系ldr0切线dr2drd=r1,七、切线的判定与性质,1.,切线的判定一般有三种方法：,a.,定义法：和圆有唯一的一个公共点,b.,距离法：,d=r,c.,判定定理：过半径的外端且垂直于半径,2.,切线的性质,圆的切线垂直于过切点的半径,.,小结与复习,七、切线的判定与性质1.切线的判定一般有三种方法：2.切线的,切线长定理：,从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等,.,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角,.,切线长：,从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长,.,3.,切线长及切线长定理,小结与复习,切线长定理：切线长：3.切线长及切线长定理小结与复习,八、,三角形的内切圆及内心,1.,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的,内切圆,.,2.,三角形内切圆的圆心叫做三角形的,内心,.,3.,三角形的内心就是三角形的三条,角平分线的交点,.,A,C,I,D,E,F,三角形的,内心,到三角形的三边的距离相等,.,重要结论,小结与复习,八、三角形的内切圆及内心1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形,问题,1,O,C,D,A,B,M,半径,R,圆心角,弦心距,r,弦,a,圆心,中心角,A,B,C,D,E,F,O,半径,R,边心距,r,中心,类比学习,圆内接正多边形,外接圆的圆心,正多边形的中心,外接圆的半径,正多边形的半径,每一条边所,对的圆心角,正多边形的中心角,弦心距,正多边形的边心距,M,九、圆内接正多边形,概念,小结与复习,问题1OCDABM半径R圆心角弦心距r弦a圆心中心角ABCD,1.,正,n,边形的中心角,=,C,D,O,B,E,F,A,P,3.,正,n,边形的边长,a,，半径,R,，边心距,r,之间的关系：,a,R,r,4.,边长,a,，边心距,r,的,正,n,边形面积的计算：,其中,l,为正,n,边形的周长,.,2.,正多边形的内角,=,计算公式,小结与复习,1.正n边形的中心角=CDOBEFAP3.正n边形的边长a，,（,1,）弧长公式：,（,2,）扇形面积公式：,十、,弧长及扇形的面积,小结与复习,（1）弧长公式：十、弧长及扇形的面积小结与复习,考点一 圆的有关概念及性质,例,1,如图，在O中，ABC=50，则CAO,等于（）,A30B40C50D60,B,小结与复习,考点一 圆的有关概念及性质例1 如图，在O中，ABC=,例,2,在图中，,BC,是,O,的直径，,AD,BC,若,D,=36,则,BAD,的度数是（ ）,A. 72 B.54 C. 45 D.36 ,A,B,C,D,B,小结与复习,例2 在图中，BC是O的直径，ADBC,若D=36,例,3,O,的半径为,R,，圆心到点,A,的距离为,d,，且,R,、,d,分别是方程,x,2,6,x,8,0,的两根，则点,A,与,O,的位置关系是（ ）,A,点,A,在,O,内部,B,点,A,在,O,上,C,点,A,在,O,外部,D,点,A,不在,O,上,解析：此题需先计算出一元二次方程,x,2,6,x,8,0,的两个根，然后再根据,R,与,d,的之间的关系判断出点,A,与,O,的关系,.,D,小结与复习,例3 O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方,1.,如图所示，在圆,O,中弦,AB,CD,，若,ABC,=50，则,BOD,等于（）,A50B40C100D80,C,针对训练,小结与复习,1.如图所示，在圆O中弦ABCD，若ABC=50，则,135,2.,如图,a,，四边形,ABCD,为,O,的内接正方形，点,P,为劣弧,BC,上的任意一点（不与,B,C,重合），则,BPC,的度数是,.,C,D,B,A,P,O,图,a,小结与复习,1352.如图a，四边形ABCD为O的内接正方形，点P为,考点二 垂径定理,例,4,工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是,10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为,8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口,AB,的长度为,mm,.,8mm,A,B,8,C,D,O,解析 设圆心为,O,，连接,AO,作出过点,O,的弓形高,CD,，垂足为,D,可知,AO,=5,mm,OD,=3,mm,利用勾股定理进行计算，,AD,=4,mm,，所以,AB,=8,mm,.,小结与复习,考点二 垂径定理 例4 工程上,A,O,B,C,E,F,图,a,3.,如图,a,，点,C,是扇形,OAB,上的,AB,的任意一点，,OA,=2,连接,AC,BC,过点,O,作,OE,AC,OF,BC,，,垂足分别为,E,F,，连接,EF,，,则,EF,的长度等于,.,（,针对训练,小结与复习,AOBCEF图a3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一,A,B,C,D,P,O,图,b,D,P,4.,如图,b,AB,是,O,的直径，且,AB,=2,，,C,D,是同一半圆上的两点，并且,AC,与,BD,的度数分别是,96 ,和,36 ,，动点,P,是,AB,上的任意一点，则,PC,+,PD,的最小值是,.,（,（,小结与复习,ABCDPO图bDP4.如图b,AB是O的直径，且AB=,例,5,如图，在,Rt,ABC,中，,ABC,=90,，以,AB,为直径的,O,交,AC,于点,D,，连接,BD,.,考点三 切线的判定与性质,小结与复习,例5 如图，在RtABC中，ABC=90，以AB为直径,解：（,1,）,AB,是直径，,ADB=90,.,AD=3,，,BD=4,，,AB=5.,CDB=ABC,，,A=A,，,ADB,ABC,，,即,BC=,（,1,）若,AD=3,，,BD=4,，求边,BC,的长,.,小结与复习,解：（1）AB是直径，ADB=90.AD=3，BD,又,OBD,+,DBC,=90,，,C+,DBC,=90,，,C,=,OBD,，,BDO,=,CDE,.,AB,是直径，,ADB,=90,，,BDC,=90,，,即,BDE,+,CDE=,90,.,BDE,+,BDO,=90,，即,ODE,=90,.,ED,与,O,相切,.,（,2,）证明：连接,OD,，在,Rt,BDC,中，,E,是,BC,的中点，,CE,=,DE,，,C,=,CDE,.,又,OD,=,OB,，,ODB,=,OBD,.,（,2,）取,BC,的中点,E,，连接,ED,，试证明,ED,与,O,相切,.,小结与复习,又OBD+DBC=90，C+DBC=90，,例,6,（多解题）如图，直线,AB,CD,相交于点,O,， ,AOD,=30 ,半径为,1cm,的,P,的圆心在射线,OA,上，且与点,O,的距离为,6cm,如果,P,以,1cm/s,的速度沿由,A,向,B,的方向移动，那么,秒钟后,P,与直线,CD,相切,.,4,或,8,解析：,根本题应分为两种情况：,(1),P,在直线,CD,下面与直线,CD,相切；,(2),P,在直线,CD,上面与直线,CD,相切,.,A,B,D,C,P,P,2,P,1,E,o,小结与复习,例6 （多解题）如图，直线AB,CD相交于点O， AOD,解析,连接,BD,，则在,Rt,BCD,中，,BE,DE,，利用角的互余证明,C,EDC.,例,7,如图，在,Rt,ABC,中，,ABC,=90,，以,AB,为直径的,O,交,AC,于点,D,，过点,D,的切线交,BC,于,E.,（,1,）求证：,BC=2DE.,小结与复习,解析 连接BD，则在RtBCD中，BEDE，利用角的,解：（,1,）证明：连接,BD,，,AB,为直径，,ABC=90,，,BE,切,O,于点,B.,又,D,E,切,O,于点,D,，,DE=BE,，,EBD=EDB.,ADB=90,，,EBD+C=90,，,BDE+CDE=90,.,C=CDE,，,DE=CE.,BC=BE+CE=2DE.,小结与复习,解：（1）证明：连接BD，AB为直径，ABC=90，又,（,2,）,DE,=2,，,BC,=2,DE,=4.,在,Rt,ABC,中，,AB,=,BC, =,在,Rt,ABC,中，,又,ABD,ACB,，,即,（,2,）若,tan,C,= ,DE,=2,，求,AD,的长,.,小结与复习,（2）DE=2，BC=2DE=4.在RtABC中，A,B,北,60,30,A,C,例,8,如图，已知灯塔,A,的周围,7,海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在,B,处测得灯塔,A,在北偏东,60,的方向，向东航行,8,海里到达,C,处后，又测得该灯塔在北偏东,30,的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由,.,（参考数据,=1.732,）,小结与复习,B北6030AC例8 如图，已知灯塔A的周围7海里的范围,解析：灯塔,A,的周围,7,海里都是暗礁，即表示以,A,为圆心，,7,海里为半径的圆中，都是暗礁,.,渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心,A,之间的距离,d,的大小关系,.,B,北,60,30,A,C,小结与复习,解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆心，7海里为,B,北,60,30,A,C,D,解：如图，作,AD,垂直于,BC,于,D,，根据题意，得,BC=8.,设,AD,为,x.,ABC=30,，,AB=2x.,BD= x.,ACD=90,-30,=60,，, AD=CDtan60,，,CD= .,BC=BD-CD= =8.,解得,x=,即渔船继续往东行驶，有触礁的危险,.,小结与复习,B北6030ACD解：如图，作AD垂直于BC于D，根据题,5.,如图,b,，线段,AB,是直径，点,D,是,O,上一点， ,CDB,=20 ,过点,C,作,O,的切线交,AB,的延长线于点,E,则,E,等于,.,O,C,A,B,E,D,图,b,50,针对训练,小结与复习,5.如图b，线段AB是直径，点D是O上一点， CDB=2,6.,如图，以,ABC,的边,AB,为直径的,O,交边,AC,于,点,D,，且过点,D,的切线,DE,平分边,BC,.,问：,BC,与,O,是否相切？,解：,BC,与,O,相切理由：连接,OD,，,BD,，,DE,切,O,于,D,，,AB,为直径，,EDO,ADB,90.,又,DE,平分,CB,，,DE,BC,BE,.,EDB,EBD,.,又,ODB,OBD,，,ODB,EDB,90,，,OBD,DBE,90,，即,ABC,90.,BC,与,O,相切,小结与复习,6.如图，以ABC的边AB为直径的O交边AC于解：BC与,例,9,如图，四边形,OABC,为菱形，点,B,、,C,在以点,O,为圆心的圆上,OA,=1,AOC,=120,，,1=2,，求扇形,OEF,的面积？,解：四边形,OABC,为菱形,OC,=,OA,=1,AOC,=120,，,1=2,FOE,=120,又点,C,在以点,O,为圆心的圆上,考点四 弧长与扇形面积,小结与复习,例9 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆,8.,一条弧所对的圆心角为,135 ,，弧长等于半径为,5cm,的圆的周长的,3,倍，则这条弧的半径为,.,4,0cm,针对训练,小结与复习,8. 一条弧所对的圆心角为135 ，弧长等于半径为5c,9.,如图，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AEEF，EFFC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积,.,小结与复习,9. 如图，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AEEF,解：将线段,FC,平移到直线,AE,上，此时点,F,与点,E,重合，,点,C,到达点,C,的位置,.,连接,AC,，如图所示,.,根据平移的方法可知，四边形,EFCC,是矩形,., AC=AE+EC=AE+FC=16,，,CC=EF=8.,在,Rt,ACC,中，得,正方形,ABCD,外接圆的半径为,正方形,ABCD,的边长为,小结与复习,解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，根据平移,例,10,若一个正六边形的周长为,24,，则该正六边形的面积为,_.,考点五 圆内接正多边形的有关计算,小结与复习,例10 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为_,10.,如图，正六边形,ABCDEF,内接于半径为5的,O,，四边形,EFGH,是正方形,求正方形,EFGH,的面积；,解：,正六边形的边长与其半径相等，,EF=OF=5.,四边形,EFGH,是正方形，,FG=EF=5,，,正方形,EFGH,的面积是,25.,针对训练,小结与复习,10. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的O，四边,正六边形的边长与其半径相等，,OFE=60,0,.,正方形的内角是,90,0,，,OFG=OFE +EFG=60,0,+90,0,=150,0,.,由,得,OF=FG,，,OGF=,（,180,0,-OFG,）,=,（,180,0,-150,0,）,=15,0,.,连接OF、OG，求OGF的度数,小结与复习,正六边形的边长与其半径相等，连接OF、OG，求OGF,考点七 有关圆的综合性题目,例,11,如图，在平面直角坐标系中，,P,经过,x,轴上一点,C,，与,y,轴分别交于,A,，,B,两点，连接AP并延长分别交,P,，,x,轴于点,D,，,E,，连接,DC,并延长交,y,轴于点F，若点,F,的坐标为（0，1），点,D,的坐标为（6，1）.,（1）求证：,CD,=,CF,；,（2）判断,P,与,x,轴的位置关系，,并说明理由；,（3）求直线,AD,的函数表达式.,小结与复习,考点七 有关圆的综合性题目 例11 如图，在平面直角,解：（,1,）证明：过点,D,作,DHx,轴于,H,，则,CHD=COF=90,，如图所示,.,点,F,（,0,，,1,），点,D,（,6,，,-1,），,DH=OF=1.,FCO=DCH,，,FOC,DHC,，,CD=CF.,（,2,）,P,与,x,轴相切,.,理由如下：,连接CP，如图所示.,AP=PD，CD=CF，CPAF,.,PCE=AOC=90.,P与,x,轴相切,.,小结与复习,解：（1）证明：过点D作DHx轴于H，则CHD=COF,（,3,）由（,2,）可知,CP,是,ADF,的中位线,.,AF=2CP. AD=2CP,，,AD=AF.,连接,BD,，如图所示,.AD,为,P,的直径，,ABD=90.,BD=OH=6,，,OB=DH=OF=1.,设,AD=,x,，则,AB=AF,BF=AD,BF=AD,(OB+OF,）,=,x,2.,在,RtABD,中，由勾股定理，得,AD,2,=AB,2,+BD,2,，即,x,2,=,（,x,2,）,2,+6,2,，,解得,x,=10.OA=AB+OB=8+1=9. ,点,A,（,0,，,9,）,.,设直线,AD,的函数表达式为,y=kx+b,，,把点,A,（,0,，,9,），,D,（,6,，,1,）代入，得,解得,直线,AD,的函数表达式为,.,小结与复习,（3）由（2）可知CP是ADF的中位线.BD=OH=6，,圆,圆的有关性质,与圆有关的位置关系,与圆有关的计算,垂径定理,添加辅助线,连半径，作弦心距，构造直角三角形,圆周角定理,添加辅助线,作弦，构造直径所对的圆周角,点与圆的位置关系,点在圆环内：,r,d,R,直线与圆的位置的关系,添加辅助,线证切线,有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直,.,正多边形和圆,转化,直角三角形,弧长和扇形,灵活使用公式,课堂小结,小结与复习,圆圆的有关性质与圆有关的位置关系与圆有关的计算垂径定理添加辅,