若连续型随机变量,X,的概率密度函数为,则称,X,服从参数为,和,的,正态分布,，,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布,.,十九世纪前叶,高斯加以推广得到正态分布，,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是,正态分布的首次露面,.,定义,3,(P,62,.,定义,13,),记为,X,N,(,2,),.,f,(,x,),所确定的曲线叫作,正态曲线,.,其中,-,0,为常数，,3.,正态分布,所以通常称为高斯分布,.,由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点,.,在各种分布中具首要地位,正态分布密度的性质,(,1,),在,x,=,处取到最大值,故,f,(,x,),以,为对称轴，,令,x,=,+,c,x,=,-,c,(,c,0),分别代入,f,(,x,),可得,且,f,(,+,c,)=,f,(,-,c,),f,(,+,c,),f,(,),f,(,-,c,),f,(,),x=,为,f,(,x,),的两个拐点的横坐标,.,(,2,),正态分布的密度曲线位于,x,轴的上方,且关于,x,=,对称，,对密度函数求导：,=,0,，,(,3,),密度曲线,y,=,f,(,x,),有拐点,即曲线,y,=,f,(,x,),向左右伸展时,越来越贴近,x,轴,.,当,x,时，,f,(,x,),0,+,决定了图形中峰的陡峭程度,若固定,，改变,的值，,反之亦然，,则密度曲线左右整体平移,.,(,4,),f,(,x,),以,x,轴为水平渐近线,;,正态分布,N,(,2,),的密度函数图形的特点,:,两头低,中间高,左右对称的,“,峰,”,状,若固定,，改变,的值，,决定了图形的中心位置,决定图形的中心位置,;,大量的随机变量都服从或者近似服从正态分布,.,但每个因素所起的作用不大,.,经济学中的股票价格、产品的销量,等等，都服从或近似服从正态分布,.,正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；,射击目标的水平或垂直偏差，测量误差，,如某地的年降雨量,某地区成年男子的身高、体重，,农作物的产量，小麦的穗长、株高；,生物学中同一群体的形态指标，,电子元器件的信号噪声、电压、电流；,有很多分布还可以用正态分布近似,.,而正态分布自身还有很多良好的性质,.,若影响某一数量指标的随机因素很多，,每一因素独立，,服从正态分布,在自然现象和社会现象中,若随机变量,X,N,(,2,),，则,正态分布的分布函数,X,的分布函数,下面我们介绍一种最重要的正态分布,标准正态分布,=0,=1,的正态分布称为,标准正态分布,.,其密度函数和分布函数常用,(,x,),和,(,x,),表示：,可查表得其值,！,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,.,求,P,(,X,2.,5,),及,Y,N,(,0,1,),设,X,N,(,2,),，,P,(-,1.64,X,2.,5,),=,1,-,(,2.,5,),P,(,X,0.,5,),=,F,(,0.,5,),查表得,=,0.6915;,=,1,-,0.,9938,=,0.,0062;,P,(-,1.64,X,0,整个概率密度曲线都在,x,轴的上方,以,为对称轴,在,x,=,处达到最大值,f,(,x,),以,x,轴为渐近线,x=,为,f,(,x,),的两个拐点的横坐标,正态分布通过,线性变换,可转化为标准正态分布,最重要的正态分布,标准正态分布,X,N,(,0,1,),正态分布,X,N,(,2,),！,并求该地区明年,8,月份降雨量超过,250mm,的概率,.,例,8,(P,65,.,例,22,),某地区,8,月份降雨量,X,服从,=185,mm,=,28,mm,的正态分布，,X,N,(,185,28,2,),，,写出,X,的概率密度，,解,所求概率为,P,(,X,250,),=1,-,P,(,X,250,),=1,-,(,2.,32,),=1,-,0.,9898,=,0.0102,.,再看几个应用正态分布的例子,我们已经看到，当,n,很大，,p,接近,0,或,1,时，二项分布近似泊松分布,;,可以证明，如果,n,很大，而,p,不接近于,0,或,1,时，,二项分布近似于正态分布,.,例,9,公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在,0.01,以下来设计的,.,问门高度应如何确定,?,解,设车门高度为,h,cm,按设计要求应有,P,(,X,h,),0.01,或,P,(,X,0.99,，,h,=170+13.98,184.,设计车门高度为,184mm,时，可使男子与车门顶碰头机会不超过,0.01.,若,X,N,(,2,),时，,要求满足,P,(,X,x,0,),=,p,的,x,0,：,P,(,X,x,0,),=,p,如果某考生得,48,分,求有多少考生名列该考生之前?,已知,1987,年全国普通高校统考物理成绩,X,N,(,42,36,),这表明有16%的考生成绩超过48分，,例,10,(,确定,超前百分位数,、排定名次,),解,由条件知即求,P,(,X,48,),，,查表可知,即 84%的考生名列该考生之后.,=,1,-,(1),即成绩高于甲的人数应占考生,的16.9%,对于录取考试人们最关心的是,自己能否达到录取分数线？,自己的名次？,某公司招工,300,名(正式工,280,临时工,20,名),例,11,(,预测录取分数和考生名次),解,166,X,N,(,166,93,2,)，,(1),(,预测分数线,),考生甲得,256,分,问他能否被录用？如录用能否被录为正式工？,考后由媒体得知：考试总平均成绩为,166,分,360,分以上的高分考生有,31,人.,有,1657,人参加考试,考试满分为,400,分.,高于此线的,考生频率为 300/1657,高于360分的考生频率为,(2),(,预测甲的名次,),当,X,=256,时,P,(,X,256,),这表明高于256分的频率应为0.169,排在甲前应有,甲大约排在283名.,故甲能被录取,但成为正式工的可能性不大.,P,(,X,360,),设考生成绩为,X,最低分数线为,x,0,类似计算可得，,=,0.,9974,例,12,解,求,P,(|,X,-,|,k,),k,=1,2,3,.,P,(|,X,-,|,3,),=,P,(,-,3,X,u,),=,的数,u,为,标准正态分布的,上侧,分位数,；,定义,4,(P,66,.,定义,14,),设,X,N,(0,1,),，,0,u,),=1,-,P,(,X,u,),称满足等式,P,(|,X,|,u,/2,),=,的数,u,/2,为,标准正态分布的,双侧,分位数,；,(,x,),O,x,u,(,x,),O,x,/,2,/,2,-u,/2,u,/2,=,，,=1,-,(,u,),(,u,),=,1,-,，,可查表得值,类似可得,(,u,/2,),=,1,-,/2,，,若,X,N,(,2,),时，,要求满足,P,(,X,x,0,),=,的,x,0,：,(,u,),=,1,-,u,已知圆轴截面直径,d,的分布，,求截面面积,A,=,的分布.,4,随机变量,函数的分布,再如,求功率,W=V,2,/R,(,R,为电阻）的分布等.,已知,t,=,t,0,时刻噪声电压,V,的分布,0,V,在实际中，人们常常对随机变量,X,的函数,Y=g,(,X,),所表示的随机变量,Y,更感兴趣,设随机变量,X,的分布已知,又,Y=g,(,X,),(,设,g,是连续函数,),无论在实践中还是,在理论上都是重要的,如何由,X,的分布求出,Y,的分布？,通过实例找方法,例1,(,P,67,例,2,4,),(,X,取某值与,Y,取其对应值是相同的事件,两者的概率应相同,),一、离散型随机变量,函数的分布,解,Y,=2,X,-,1,-,3,-,1 1 3 5,p,k,1,/10 1/5 2/5 1/5 1/10,则,Y,=,g,(,X,),的分布列为,X,取值分别为,-,2,-,1,0,1,2,时,Y,=2X,+,1,对应值为,-,3,-,1,1,3,5.,求,Y,=2,X,+1,Y,=,X,2,的分布列,.,X,Y=,X,2,-,2,4,-,1,1,0,0,1,1,2,4,X,-,2,-,1,0 1 2,p,k,1/10,1/5 2/5 1/5 1/10,-,2,2,4,-,1,1,1,0,0,Y=X,2,0 1 4,p,k,2/5,2/5 1/5,一般地,，,离散型随机变量,X,的分布列为,X,x,1,x,2,x,n,p,k,p,1,p,2,p,n,Y=,g,(,X,),g,(,x,1,),g,(,x,2,),g,(,x,n,),p,k,p,1,p,2,p,n,将它们对应的概率相加后和并成一项即可,若,g,(,x,k,),中有相等值,则,F,Y,(,y,),=,P,(,Y,y,),解,设,Y,的分布函数为,F,Y,(,y,)，,例2,(,P,69,例,2,5,),设,X,具有概率密度,求,Y,=,-,2,X,+,8,的概率密度,.,于是,Y,的概率密度为,二、连续型随机变量函数的分布,注意到 0,x,4,时，,即,0,y,0,时,注意到,Y,=,X,2,0，,故当,y,0,时，,F,Y,(,y,),=,0;,解,设,Y,和,X,的分布函数分别为,F,Y,(,y,),和,F,X,(,x,)，,例3,则,Y=X,2,的概率密度为,Y,服从自由度为,1 的 分布,求,Y,=,X,2,的概率密度.,(,P70,例,2,6,),从上述两例中可看到，在求,P,Y,y,的过程中,关键是,第一步,中,:设法从,g,(,X,),y,中解出,X,从而得到与,g,(,X,),y,等价的关于,X,的不等式.,用 代替,X,2,y,即利用已知的,X,的分布,求出,X,的函数的,分布,用 代替,-,2,X,+,8,y,求,连续型,随机变量的函数的分布的常用方法,如例2中,如例3中,定理,则,Y=,g,(,X,),是一个,连续型,随机变量,其概率密度为,又,y=g,(,x,),处处可导,且,有,g,(,x,)0,(,或恒有,g,(,x,)0,),类似可证,g,(,x,)0,时,定理的证明与前面的解题思路完全类似.,设,连续型随机变量,X,具有概率,密度,f,X,(,x,),定理,(,P,71,Th,2.4,),下面求,Y,的分布函数,F,Y,(,y,),:,证,由于,g,保号,h,(,y,),是,g,(,x,),的反函数,综合以上即有结论成立,.,a b,a b,试证,X,的线性函数,Y,=,aX,+,b,(,a,0,),也服从正态分布.,证,X,的,概率密度为,例,4,(,P,72,例,27,),设随机变量,X,N,(,2,),显然,y,=,g,(,x,),=,a,x,+,b,可导且,g,=,a,保号,Y,=,aX,+,b,的概率密度为,由定理知,Y,=,aX,+,b,(,a,+,b,(|,a,|,),2,),即,注,取,验证函数可导且单调,求反函数及其导数,代入定理公式即得函数的密度,注意取绝对值,有 ,确定,y,的取值范围,求,Y=,1,-,e,X,的概率密度.,解,例,5,(,P,72,例,28,),设,X,的概率密度为,显然,y,=,g,(,x,),=,1,-,e,x,可导,且,g,=,-,e,x,保号,Y,=,1,-,e,X,的概率密度为,由定理知,即,注意取绝对值,先转化为分布函数,再求导,已知,X,的概率密度为,求,Y=,sin,X,的概率密度.,例,6,(,P,73,例,2,9,),利用,分布函数,求概率密度：,函数,y,=g,(,x,),=,sin,x,在,0,上为,非单调函数,，,解,故不能用定理求,.,x,0,时,y,0,时,0,y,1,时,=,P,(,(,0,X,arcsin,y,),(,-,arcsin,y,X,),),y,1,时,=,P,(,0,X,arcsin,y,),+,P,(,-,arcsin,y,X,),=,1.,分布函数法,不必计算积分,