单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十五章,整式的乘除与因式分解,本章知识结构：,一、整式的有关概念,1,、代数式,2,、单项式,3,、单项式的系数及次数,4,、多项式,5,、多项式的项、次数,6,、整式,二、整式的运算,（一）整式的加减法,去括号，合并同类项,1,、单项式除以单项式,2,、多项式除以单项式,（三）整式的除法,1,、同底数幂的乘法,2,、幂的乘方,3,、积的乘方,4,、同底数的幂相除,5,、单项式乘以单项式,6,、单项式乘以多项式,7,、多项式乘以多项式,8,、平方差公式,9,、完全平方公式,（二）整式的乘法,一、整式的有关概念,1,、,单项式：,数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。,2,、,单项式的系数：,单项式中的数字因数。,3,、,单项式的次数：,单项式中所有的字母的指数和。,4,、,多项式：,几个单项式的和叫多项式。,5,、,多项式的项及次数：,组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。,特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！,6,、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含有字母的代数式不是整式）,二、整式的运算,（一）整式的加减法,基本步骤：去括号，合并同类项。,1,、同底数幂的乘法,法则：,同底数幂相乘，底数不变，指数相加。,数学符号表示：,（其中,m,、,n,为正整数）,（二）整式的乘法,练习：判断下列各式是否正确。,2,、幂的乘方,法则：,幂的乘方，底数不变，指数相乘。,数学符号表示：,（其中,m,、,n,为正整数）,练习：判断下列各式是否正确。,（其中,m,、,n,、,P,为正整数）,3,、积的乘方,法则：,积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。,符号表示：,练习：计算下列各式。,4.,单项式与单项式相乘的法则：,单项式与单项式相乘，把它们的,系数、相同字母,分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。,法则：,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,.,(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,(a+b)(m+n)=,a(m+n)+b(m+n,a(m+n)+b(m+n),5.,多项式与多项式相乘：,=am+an+bm+bn,（,1,）、平方差公式,即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式,说明,：,平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是,两个数的和,与,同样的两个数,的差,的积的形式。,6.,乘法公式：,一般的，我们有：,1,、,205195,2,、,(3x+2)(3x-2),3,、,(-x+2y)(-x-2y),4,、,(x+y+z)(x+y-z),（,2,）、完全平方公式,法则,：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的,2,倍,。,一般的，我们有：,注意：,（,1,）,(a-b)=-(b-a),(2),（,a-b),2,=(b-a),2,(3)(-a-b),2,=(a+b),2,(4)(a-b),3,=-(b-a),3,7.,添括号的法则：,添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。,（,1,）、同底数幂的除法,即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。,一般地，我们有,（其中a,0，m、n为正整数,并且m,n）,8.,整式的除法：,即任何不等于,0,的数的,0,次幂都等于,1,（,2,）、单项式除以单项式,法则：,单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。,（,3,）、多项式除以单项式,法则：,多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。,练习,练习：计算下列各题。,分解因式,定义,把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的式子变形叫做把这个多项式,因式分解,或,分解因式,。,与整式乘法的关系：,互为逆过程，互逆关系,方法,提公因式法,公式法,步骤,一提：,提公因式,二用：,运用公式,三查：,检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）,平方差公式,a,2,-b,2,=(a+b)(a-b),完全平方公式,a,2,2ab+b,2,=(ab),2,（,1,）,.,公因式：,一个多项式的各项都含有的,公共的因式，,叫做这个多项式各项的,公因式,（,2,）,找公因式：,找各项,系数的最大公约数,与各项都含有的字母的,最低次幂的积,。,（,3,）,.,提公因式法：,一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，作为多项式的一个因式，然后用原多项式的每一项除以这个公因式，所得的商作为另一个因式，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解 的方法,提公因式法。,知识点,1,因式分解的定义,把一个多项式化成几个整式的积的,形式，这种变形叫做把这个多项式因式,分解，也叫做把这个多项式分解因式。,X,2,-1 (X+1)(X-1),因式分解,整式乘法,知识点,2,提公因式法,多项式,ma+mb+mc,中的各项都有一个公,共的因式,m,我们把因式,m,叫做这个多项式,的公因式,.ma+mb+mc=,m,(a+b+c),就是把,ma+,mb+mc,分解成两个因式乘积的形式，其中,一个因式是各项的公因式,m,，另一个因式,(a+b+c),是,ma+mb+mc,除以,m,所得的商，像,这种分解因式的方法叫做提公因式法,.,例如：,x,2,x=x(x-1),，,8a,2,b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1),x,2a,探究交流,下列变形是否是因式分解？为什么,?,(1)3x,2,y-xy+y=y(3x,2,-x),；,(2)x,2,-2x+3=(x-1),2,+2,；,(3)x,2,y,2,+2xy-1=(xy+1)(xy-1),；,(4)x,n,(x,2,-x+1)=x,n+2,-x,n+1,+x,n,.,提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪,.,不满足因式分解的含义,因式分解是恒等变形而本题不恒等,.,是整式乘法,.,典例剖析,例,1,用提公因式法将下列各式因式分解,.,(1)-x,3,z+x,4,y,；,(2)3x(a-b)+2y(b-a),解：,(1)-x,3,z+x,4,y=x,3,(-z+xy).,(2)3x(a-b)+2y(b-a),=3x(a-b)-2y(a-b),=(a-b)(3x-2y),x,3,+(b-a),-(a-b),(a-b),小结 运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：,(1),因式分解的结果每个括号内如有同类项,要合并，而且每个括号内不能再分解,.,如：,(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y),=(x+y)(7m-8n)-(3m-2n),=(x+y)(4m-6n).,=2(x+y)(2m-3n).,(2),如果出现像,(2),小题需统一时，首先,统一,尽可能使统一的个数少，这时注意到,(a-b),n,=(b-a),n,(n,为偶数,),例如：分解因式,a(x-y),2,+b(y-x),3,+c(y-x),2,.,本题既可以把,(x-y),统一成,(y-x),，也可以把,(y-x),统一成,(x-y),但比较而言把,(x-y),化成,(y-x),比较简,便，因为,(x-y),2,=(y-x),2,.,a(x-y),2,+b(y-x),3,+c(y-x),2,=a(y-x),2,+b(y-x),3,+c(y-x),2,=(y-x),2,a+b(y-x)+c=(y-x),2,(a+by-bx+c).,(3),因式分解最后如果有同底数幂，要写成,幂的形式,.,例如：,(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b),=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b),=(a-2b)(8a-16b),=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b),2,.,做一做,把下列各式分解因式,.,(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b),；,(2)4p(1-q),3,+2(q-1),2,；,2(2a+b),2,2(1-q),2,(2p-2pq+1),或,2(q-1),2,(2p-2pq+1),(2),完全平方公式：,a,2,2ab+b,2,=(a,b),2,其中，,a,2,2ab+b,2,叫做完全平方式,.,例如：,4x,2,-12xy+9y,2,=(2x),2,-2,2x,3y+(3y),2,=(2x-3y),2,.,知识点,3,公式法,(1),平方差公式：,a,2,-b,2,=(a+b)(a-b).,例如：,4x,2,-9=(2x),2,-3,2,=(2x+3)(2x-3).,探究交流,下列变形是否正确？为什么？,(1)x,2,-3y,2,=(x+3y)(x-3y),；,(2)4x,2,-6xy+9y,2,=(2x-3y),2,；,(3)x,2,-2x-1=(x-1),2,.,目前在有理数范围内不能再分解,.,不是完全平方式，不能进行分解,不是完全平方式，不能进行分解,例,2,把下列各式分解因式,.,(1)(a+b),2,-4a,2,；,(2)1-10 x+25x,2,；,(3)(m+n),2,-6(m+n)+9,解,:(1)(a+b),2,-4a,2,=(a+b),2,-(2a),2,做一做,把下列各式分解因式,.,(1)(x,2,+4),2,-2(x,2,+4)+1,；,(2)(x+y),2,-4(x+y-1).,(1)(x,2,+3),2,(2)(x+y-2),2,(2)1-10 x+25x,2,(3)(m+n),2,-6(m+n)+9=(m+n-3),2,.,=(a+b+2a)(a+b-2a),=(3a+b)(b-a),=(1-5x),2,=1-10 x+(5x),2,4a,2,(2a),2,+2a,-2a,25x,2,(5x),2,综合运用,例,3,分解因式,.,(1)x,3,-2x,2,+x,；,(2)x,2,(x-y)+y,2,(y-x),解,:(1)x,3,-2x,2,+x,=x(x,2,-2x+1),=x(x-1),2,(2)x,2,(x-y)+y,2,(y-x),x,=x,2,(x-y)-y,2,(x-y),=(x-y)(x+y)(x-y),=(x+y)(x-y),2,=(x-y)(x,2,-y,2,),小结 解因式分解题时，首先考虑,是否有公因式，如果有，先提公因式；,如果没有公因式是两项，则考虑能否用,平方差公式分解因式,.,是三项式考虑用,完全平方式，最后，直到每一个因式都,不能再分解为止,.,探索与创新题,例,4,若,9x,2,+kxy+36y,2,是完全平方式，则,k=,分析,:,完全平方式是形如：,a,2,2ab+b,2,即两数,的平方和与这两个数乘积的,2,倍的和,(,或差,).,9x,2,+kxy+36y,2,=(3x),2,+kxy+(6y),2,kxy=2,3x,6y=36xy,k=,36,做一做,若,x,2,+(k+3)x+9,是完全平方式，则,k=_,k=3,或,k=-9,思考题 分解因式,(x,4,+x,2,-4)(x,4,+x,2,+3)+10,分析,:,把,x,4,+x,2,作为一个整体，用一个,新字母代替，从而简化式子的结构,.,解：令,x,4,+x,2,=m,，则原式可化为,(m-4)(m+3)+10,=m,2,-m-12+10,=m,2,-m-2,=(m-2)(m+1),=(x,4,+x,2,-2)(x,4,+x,2,+1),=(x,2,+2)(x,2,-1)(x,4,+x,2,+1),=(x,2,+2)(x+1)(x-1)(x,4,+x,2,+1),1,、利用因式分解计算：,（,1,）,（,2,）,(1,)(1,)(1,)(1,),（,3,）,2004,2,-40082005+2005,2,（,4