,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,www.1230.org 初中数学资源网,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,www.1230.org 初中数学资源网,*,7.5,三角形内角和定理,第七章 平行线的证明,第2课时 三角形的外角,7.5 三角形内角和定理第七章 平行线的证明第2课时,导入新课,复习引入,1.,在,ABC,中，,A,=80, ,B,=52,则,C,=,.,3.,什么是三角形的内角？其内角和等于多少？,48 ,三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，,它们的和是,180 .,2.,如图，在,ABC,中， ,A,=70,B,=60,则,ACB,=,，,ACD,=,.,A,B,C,D,50 ,130,导入新课复习引入1.在ABC中，A=80, B=52,B,D,C,A,O,40 ,70 ,？,问题：,发现懒洋洋独自在,O,处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从,A,前进到,C,处，然后再折回到,B,处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在,A,处拦截懒洋洋，已知,BAC,=40,， ,ABC,=70.,灰太狼从,C,处要转多少度角才能直达,B,处？,BDCAO40 70 ？问题：发现懒洋洋独自,利用,“,三角形的内角和为,180,”,来求,BCD,，你会吗？,思考：,像,BCD,这样的角有什么特征吗？猜想它的性质,.,这节课让我们一起来探讨吧,.,B,D,C,A,O,40 ,70 ,？,由三角形内角和易得,BCA,=180,A,CBA,=70,，,所以,BCD,=,180,BCA=,110,.,利用“三角形的内角和为180”来求BCD，你会吗？思考：,讲授新课,三角形的外角的概念,一,定义,如图，把,ABC,的一边,BC,延长,，,得到,ACD,，,像这样,，,三角形的一边与另一边的,延长线,组成的角，叫做,三角形的外角,.,ACD,是,ABC,的一个外角,C,B,A,D,讲授新课三角形的外角的概念一定义ACD是ABC的一个外角,问题,1,如图，延长,AC,到,E,BCE,是不是,ABC,的一个外角？,DCE,是不是,ABC,的一个外角？,E,在三角形每个顶点处都有两个外角,.,ACD,与,BCE,为对顶角,，,ACD,=,BCE,；,C,B,A,D,BCE,是,ABC,的一个外角，,DCE,不是,ABC,的一个外角,.,问题,2,如图，,ACD,与,BCE,有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？,问题1 如图，延长AC到E,BCE是不是ABC的一个外,A,B,C,画一画,画出,ABC,的所有外角，共有几个呢,?,每一个三角形都有,6,个外角,每一个顶点相对应的外角都有,2,个，且这,2,个角,为对顶角,.,ABC画一画 画出ABC的所有外角，共有几个呢?,三角形的外角应具备的条件：,角的顶点是三角形的顶点；,角的一边是三角形的一边；,另一边是三角形中一边的延长线,.,ACD,是,ABC,的一个外角,C,B,A,D,每一个三角形都有,6,个外角,总结归纳,三角形的外角应具备的条件：角的顶点是三角形的顶点；ACD,F,A,B,C,D,E,如图,BEC,是哪个三角形的外角？,AEC,是哪个三角形的外角？,EFD,是哪个三角形的外角？,BEC,是,AEC,的外角,;,AEC,是,BEC,的外角,;,EFD,是,BEF,和,DCF,的外角,.,练一练,FABCDE如图, BEC是哪个三角形的外角？AEC是哪,三角形的外角,A,C,B,D,相邻的内角,不相邻的内角,三角形的外角的性质,二,问题,1,如图，,ABC,的外角,BCD,与其相邻的内角,ACB,有什么关系？,BCD,与,ACB,互补,.,三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角三角形的外角的性质,问题,2,如图，,ABC,的外角,BCD,与其不相邻的两内角,(,A,，,B,),有什么关系？,三角形的外角,A,C,B,D,相邻的内角,不相邻的内角,A,+,B,+,ACB,=180,，,BCD,+,ACB,=,180,，,A,+,B,=,BCD,.,你能用作平行线的方法证明此结论吗？,问题2 如图，ABC的外角BCD与其不相邻的两内角(,D,证明：过,C,作,CE,平行于,AB,，,A,B,C,1,2,1=,B,，,（两直线平行，同位角相等）,2=,A,，,（两直线平行，内错角相等）,ACD,=,1+,2=,A,+,B,.,E,已知：如图，,ABC,，求证：,ACD,=,A,+,B,.,验证结论,D证明：过C作CE平行于AB，ABC121= B，,如图 ，试比较,2,、,1,的大小；,如图 ，试比较,3,、,2,、 ,1,的大小,.,图,图,解：,2=1+,B,2,1.,解：,2=1+,B,3=2+,D,3,2,1.,拓展探究,如图 ，试比较2 、1的大小；如图 ，试比较3,性质,1,：,三角形的一个外角等于,与它不相邻的两个内角的和,.,性质,2,：,三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角,.,A,B,C,D,三角形外角的性质：,B+C=CAD,CAD B,， ,CAD C,归纳总结,性质1：三角形的一个外角等于 性质2：三角形的一个外角大于任,练一练：,说出下列图形中,1,和,2,的度数：,A,B,C,D,(,(,(,80 ,60 ,(,2,1,(1),A,B,C,(,(,(,(,2,1,50 ,32 ,(2),1=40 , 2=140 ,1=18 , 2=130 ,练一练：说出下列图形中1和2的度数：ABCD(80,例,1,如图,在,ABC,中,AD,平分外角,EAC,B= C.,求证,:AD,BC.,A,C,D,B,E,典例精析,例题是运用了定理,“,内错角相等,两直线平行,”,得到了证实,.,证法一,:EAC=B+C (,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,),B=C (,已知,),C= EAC(,等式的性质,).,AD,平分 ,EAC(,已知,).,DAC= EAC(,角平分线的定义,).,DAC=C(,等量代换,).,AD,BC(,内错角相等,两直线平行,).,例1 如图,在ABC中,AD平分外角EAC,B= ,证法二,:,推理可得,:,DAC=C (,已证,),BAC+B+C =180(,三角形内角和定理,)., BAC+B+DAC =180 (,等量代换,)., ADBC(,同旁内角互补,两直线平行,).,这里是运用了定理,“,同旁内角互补,两直线平行,”,得到了证实,.,A,C,D,B,E,这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.AC,例,2,如图,P,是,ABC,内一点，连接,PB,，,PC,.,B= C.,求证,:,BPC,A,.,证明,:,如图，延长BP，交AC于点D., BPC,是,PDC,的一个外角,(,外角定义,), BPCPDC(,三角形的一个外角,大于和它不相邻的任何一个内角,)., PDC,是,ABD,的一个外角,(,外角定义,), PDCA,(,三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角,)., BPCA .,（不等式的性质）,A,B,C,P,D,还有其他证明方法吗？,例2 如图,P是ABC内一点，连接PB，PC.B= ,1.,若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是,( ),A.,直角三角形,B.,锐角三角形,C.,钝角三角形,D.,无法确定,C,2.,如图所示,若,A=32,B=45,C=38,则,DFE,等于,( ),A.120 B.115 C.110 D.105,F,E,D,C,B,A,B,练一练,1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是,例,3,如图,A,=42,ABD,=28,ACE,=18,求,BFC,的度数,.,BEC,是,AEC,的一个外角，,BEC,=,A,+,ACE,，,A,=42,，,ACE,=18,，,BEC,=60,.,BFC,是,BEF,的一个外角，,BFC,=,ABD,+,BEF,，,ABD,=28,，,BEC,=60,，,BFC,=88,.,解：,F,A,C,D,E,B,典例精析,例3 如图,A=42,ABD=28,ACE=18,例,4,如图，,P,为,ABC,内一点，,BPC,150,，,ABP,20,，,ACP,30,，求,A,的度数,解析：延长,BP,交,AC,于,E,或连接,AP,并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出,A,的度数,E,例4 如图，P为ABC内一点，BPC150，解析：,解：延长,BP,交,AC,于点,E,，,则,BPC,，,PEC,分别为,PCE,，,ABE,的外角，,BPC,PEC,PCE,，,PEC,ABE,A,，,PEC,BPC,PCE,150,30,120.,A,PEC,ABE,120,20,100.,解：延长BP交AC于点E，,【变式题】,(,一题多解,),如图，,A,=51,，,B,=20,，,C,=30,，求,BDC,的度数,.,A,B,C,D,(,(,(,51 ,20 ,30 ,思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题,.,【变式题】 (一题多解)如图，A=51，B=20，A,A,B,C,D,(,(,20 ,30 ,解法一：连接,AD,并延长于点,E,.,在,ABD,中，,1+,ABD,=3,，,在,ACD,中，,2+,ACD,=4.,因为,BD,C,=3+4,，,BAC,=1+2,，,所以,BDC,=,BAC,+,ABD,+,ACD,=51,+20,+30,=101,.,E,),),1,2,),3,),4,你发现了什么结论？,ABCD(20 30 解法一：连接AD并延长于点E.E,A,B,C,D,(,(,(,51 ,20 ,30 ,E,),1,解法二：延长,BD,交,AC,于点,E,.,在,ABE,中，,1=,ABE+,BAE,，,在,ECD,中，,BDC,=1+,ECD,.,所以,BDC,=,BAC,+,ABD,+,ACD,=51,+20,+30,=101,.,解法三,:,连接延长,CD,交,AB,于点,F,（解题过程同解法二）,.,),2,F,解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解,.,总结,ABCD(51 20 30 E )1解法二：延长B,三角形的外角和,三,例,5,如图， ,BAE,CBF,ACD,是,ABC,的三个外角，它们的和是多少？,解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得,BAE,=,2+,3,，,CBF,=,1+,3,ACD,=,1+,2.,又知,1+,2+,3=180 ,，,所以,BAE,+,CBF,+,ACD,=2(,1+,2+,3)=360 .,A,B,C,E,F,D,(,(,(,(,(,(,2,1,3,你还有其他解法吗？,三角形的外角和三例5 如图， BAE, CBF, A,解法二：如图，,BAE,+,1=180 ,，,CBF,+,2=180 ,，,ACD,+,3=180 ,，,又知,1+,2+,3=180 ,，,+ + ,得,BAE,+,CBF,+,ACD,+(,1+,2+,3)=540 ,，,所以,BAE,+,CBF,+,ACD,=540 -180=360.,A,B,C,E,F,D,(,(,(,(,(,(,2,1,3,解法二：如图，BAE+1=180 ， ABCEF,解法三：过,A,作,AM,平行于,BC,，,3,4,B,C,1,2,3,4,A,2,BAM,，,所以,1,2,3,1,4,BAM,=360,M,2,3,4,BAM,，,结论：三角形的外角和等于,360,.,思考,你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？,D,E,F,解法三：过A作AM平行于BC，3 4BC1234A2,当堂练习,1.,判断下列命题的对错,.,（,1,）,三角形的外角和是指三角形的所有外角的和,.,（ ）,（,2,）,三角形的外角和等于它的内角和的,2,倍,.,（ ）,（,3,）,三角形的一个外角等于两个内角的和,.,（ ）,（,4,）,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,.,（ ）,（,5,）,三角形的一个外角大于任何一个内角,.,（ ）,（,6,）,三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角,.,（ ）,当堂练习 1.判断下列命题的对错.,2.,如图，,AB,/,CD,，,A,37, ,C,63，,那么,F,等于 （ ）,F,A,B,E,C,D,A.26,B.63,C.37,D.60,A,2.如图，AB/CD，A37, C63，那么,3.,（,1,）如图，,BDC,是,_,_,的外角,也是,的外角；,(2),若,B,=45 ,， ,BAE,=36 ,BCE,=20 ,试求,AEC,的度数,.,A,B,C,D,E,ADE,ADC,解：根据三角形外角的性质有,ADC,=,B,+,BCE,AEC,=,ADC,+,BAE.,所以,AEC,=,B,+,BCE,+,BAE,=45 +20 +36 =101 .,3.（1）如图，BDC是_ABCDEADE,解：因为,ADC,是,ABD,的外角,.,4,.,如图，,D,是,ABC,的,BC,边上一点,B,=,BAD, ,ADC,=80，,BAC,=70，,求：,（,1）,B,的度数；,（2）,C,的度数,.,在,ABC,中，,B,+,BAC,+,C,=180,，,C,=180-40-70=70.,所以,ADC,=,B,+,BAD,=80.,又因为,B,=,BAD,，,A,B,C,D,解：因为ADC是ABD的外角.4 .如图，D是ABC的,A,B,C,D,E,1,2,F,G,解：,1,是,FBE,的外角,1=,B,+ ,E,同理,2=,A,+,D,.,在,CFG,中,C,+1+2=180,A,+ ,B,+,C,+ ,D,+,E,= 180.,5.,如图，求,A,+ ,B,+ ,C,+ ,D,+ ,E,的度数,.,能力提升：,ABCDE12FG解：1是FBE的外角,1=B+,1,2,3,B,A,C,P,N,M,D,E,F,6.,如图，试求出,A,B,C,D,E,F,=_.,360,123BACPNMDEF360,课堂小结,三角形的外角,定义,角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线,性质,1.,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,三角形的外角和,三角形的外角和等于,360 ,2.,三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角,课堂小结三角形的外角定义角一边必须是三角形的一边，另一边必须,