,第八讲 镜像法,电磁场与电磁波,电子工程学院,陈其科,第八讲 镜像法,电磁场与电磁波电子工程学院 第八讲 镜像法,镜像法的基本原理,接地导体平面的镜像,导体球面的镜像,导体圆柱面的镜像,点电荷与无限大电介质平面的镜像,线电流与无限大磁介质平面的镜像,本讲内容,镜像法的基本原理本讲内容,几个实例：,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用,等效点电荷,产生的电位替代。,求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位,问题的提出,q,q,非均匀感应面电荷,等效电荷,几个实例：非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等,镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。,几个实例：,问题的提出,接地导体球附近点电荷产生的电位,用,等效电荷,代替非均匀感应电荷,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,等效点电荷一般位于点电荷关于分界面的镜像位置,镜像法,。,镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的,问题,：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？,条件：,回顾：,静电场的,惟一性定理,已知场域,V,内的自由电荷分布和电介质特性,结论：,场域,V,内的位函数具有惟一确定解。,已知 场域,V,的边界面,S,上的 或 的值,一、镜像法原理,方法：,在求解,区域外,设置等效电荷，替代,边界上,分布电荷的作用,目的：,将复杂边值问题转换为,无界均匀媒质,空间的问题,问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？条件：回顾：,一、镜像法原理,根据,唯一性定理,，若镜像电荷的引入满足：,电位函数仍然,满足原方程,（拉氏方程或泊松方程）,电位分布仍,满足原边界条件,则可确保求得的解就是正确的。,引入镜像电荷的,两条原则,：,等效电荷必须位于所求解的场,区域以外,的空间中；,像电荷的个数、位置及电荷量的大小根据场区域的,边界条件,来确定。,：像电荷的,个数,、,位置,及其,电量,镜像法应用的关键点：,镜像电荷的确定,明确,等效求解的“,有效场域,”,。,一、镜像法原理根据唯一性定理，若镜像电荷的引入满足：引入镜像,等效问题与原问题在求解区域内,边界条件,及,电荷分布相同。,由唯一性定理，知解唯一正确。,二、平面导体界面的镜像,1,、点电荷对无限大接地导体平面的镜像,q,有效区域,q,原电荷：,镜像电荷,:,(,求解域外,),等效问题与原问题在求解区域内边界条件及电荷分布相同,1,、点电荷对无限大接地导体平面的镜像,上半空间内的电位分布为：,点电荷在平面导体面上的,感应电荷电量与镜像电荷电量相等,。,接地导体分界面上感应电荷分布,二、平面导体界面的镜像,1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像上半空间内的电位分布为：,1,、点电荷对无限大接地导体平面的镜像,思考,无限大导体平板不接地，镜像电荷如何确定？,有限大接地导体平板问题，可否用镜像法求解？,q,q,二、平面导体界面的镜像,1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像思考 qq二、平面导体界,引入像电荷后满足原问题的边界条件，,所得解正确。,2,、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像,有效区域,等效问题：,上半空间的电位分布为：,二、平面导体界面的镜像,引入像电荷后满足原问题的边界条件，所得解正确。2、无限长线电,3,、点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,要满足在导体平面上电位为零，则必须引入,3,个镜像电荷。,对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为 ，则所有,镜像电荷数目为,2n-1,个。,d,1,1,q,d,2,2,R,R,1,R,2,R,3,q,1,d,1,d,2,d,2,q,2,d,1,q,3,d,2,d,1,电位：,q,d,1,2,d,2,1,60,二、平面导体界面的镜像,3、点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 要满足在导,三、导体球面的镜像,1,、点电荷位于接地导体球面外,P,q,a,r,R,d,问题,：,q,P,a,q,r,R,R,d,d,球面上的感应电荷可用镜像电荷,q,来等效。,q,应位于导体球内（不影响原方程），且在点电荷,q,与球心的连线上，距球心为,d,。则有,点电荷,q,位于半径为,a,的接地导体球外，距球心为,d,。,三、导体球面的镜像1、点电荷位于接地导体球面外PqarRd问,三、导体球面的镜像,1,、点电荷位于接地导体球面外,q,P,a,q,r,R,R,d,d,镜像电荷的确定,由镜像法原理：镜像电荷位于球内区域，且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球面上电位为,0,，即：,三、导体球面的镜像1、点电荷位于接地导体球面外qPaqrR,三、导体球面的镜像,1,、点电荷位于接地导体球面外,镜像电荷的确定,q,P,a,q,r,R,R,d,d,导体球面镜像电荷,三、导体球面的镜像1、点电荷位于接地导体球面外 镜像电荷的确,三、导体球面的镜像,1,、点电荷位于接地导体球面外,接地导体球边界静电问题,q,P,a,q,r,R,R,d,d,导体球面上的总,感应电荷,也,与,所设置的,镜像电荷电量相等,。,球外的电位函数为,导体球面上的总感应电荷为,球面上的感应电荷面密度为,三、导体球面的镜像1、点电荷位于接地导体球面外 接地导体球边,三、导体球面的镜像,2,、点电荷位于接地导体球壳内,镜像电荷的确定,a,q,d,O,b,q,d,r,R,R,P,如图所示接地空心导体球壳的内半径为,a,、外半径为,b,，点电荷,q,位于球壳内，与球心相距为,d,(,d,|,q,|,，镜像电荷的电荷量,大于,点电荷的电荷量,像电荷的位置和电量与外半径,b,无关,（,为什么？,）,三、导体球面的镜像2、点电荷位于接地导体球壳内 镜像电荷的确,三、导体球面的镜像,2,、点电荷位于接地导体球壳内,接地导体球壳的静电问题,a,q,d,O,b,q,d,r,R,R,P,导体球面上的,总感应电荷与,所设置的,镜像电荷不相等,。,球壳,内,的电位函数为,球壳,内表面,的总感应电荷为,球壳,内表面,感应电荷面密度为,三、导体球面的镜像2、点电荷位于接地导体球壳内 接地导体球壳,三、导体球面的镜像,3,、点电荷位于不接地导体球面外,a,q,r,P,d,1,q,d,2,-q,R,R,导体球不接地时的特点：,导体球面是,电位不为零,的等位面,球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但,总的感应电荷为零,。,负电荷分布与接地球球分布相同,正电荷均匀分布,与 共同使使球面电位为,0,使球面为电位非,0,的等势面,问题：如何确定镜像电荷？,q,a,a,=,+,a,a,a,三、导体球面的镜像3、点电荷位于不接地导体球面外aqrPd1,三、导体球面的镜像,3,、点电荷位于不接地导体球面外,q,a,q,a,+,q,P,a,q,r,R,R,d,d,q,q,a,a,=,+,a,a,a,三、导体球面的镜像3、点电荷位于不接地导体球面外qaqa,三、导体球面的镜像,3,、点电荷位于不接地导体球面外,球外任意点的电位为,q,P,a,q,r,R,R,d,d,q,结论：,不接地导体球外存在点电荷,q,时，其镜像电荷为：,三、导体球面的镜像3、点电荷位于不接地导体球面外球外任意点的,三、导体球面的镜像,4,、点电荷位于不接地空心球壳内,a,q,d,o,b,a,q,o,b,P,a,q,r,R,R,d,d,q,P,b,r,q,q=q,，位于球心,（为什么？）,三、导体球面的镜像4、点电荷位于不接地空心球壳内aqdoba,四、导体圆柱面的镜像,1,、线电荷与接地导体圆柱面的镜像,线电荷与导体圆柱,线电荷与导体圆柱的镜像,问题：,密度为,l,的无限长线电荷位于半径为,a,的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为,d,。,特点：,在导体圆柱面上有感应电荷，圆柱,外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。,分析方法：,根据电位边界条件确定。,问题：如何确定镜像电荷？,四、导体圆柱面的镜像1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像线电荷与,由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即,四、导体圆柱面的镜像,1,、线电荷与接地导体圆柱面的镜像,设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为 ，则由 和 共同产生的电位函数,线电荷与导体圆柱的镜像,由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零,四、导体圆柱面的镜像,1,、线电荷与接地导体圆柱面的镜像,将上式对,求导，可以得到,线电荷与导体圆柱的镜像,导体柱面镜像电荷,四、导体圆柱面的镜像1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像将上式对,四、导体圆柱面的镜像,1,、线电荷与接地导体圆柱面的镜像,导体圆柱面外的电位函数：,由 时，,故,导体圆柱面上的感应电荷面密度,导体圆柱面上单位长度的感应电荷,感应电荷与镜像电荷相等,？,四、导体圆柱面的镜像1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像导体圆柱,四、导体圆柱面的镜像,2,、两平行导体圆柱面的镜像,图,1,两平行导体圆柱,图,2,两平行导体圆柱的等效电荷,特点：,两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对一侧电荷密度大，而相背一侧电荷密度较小。,分析方法：,将导体表面上的电荷用线密度分别为 、且相距为,2,b,的两根无限长,带电细线,来等效替代。,问题：,两平行导体圆柱半径均为,a,，轴线间距为,2,h,，单位长度分别带电荷 和 。,四、导体圆柱面的镜像2、两平行导体圆柱面的镜像图1 两平行导,四、导体圆柱面的镜像,2,、两平行导体圆柱面的镜像,两平行导体圆柱的等效电荷,通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的,电轴,，因而这种方法又称为,电轴法,。,由,利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定,b,。由对称性,四、导体圆柱面的镜像2、两平行导体圆柱面的镜像两平行导体圆柱,五、无限大介质分界平面的镜像,1,、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像,图,1,点电荷与电介质分界平面,问题：,求解空间中的电位分布（上半空间及下半空间）。,特点：,在介质分界面上存在,极化电荷,分布,空间中任一点的电场由,点电荷,与,极化电荷,共同产生。,问题：如何确定镜像电荷？,五、无限大介质分界平面的镜像 1、点电荷与无限大电介质分界平,五、无限大介质分界平面的镜像,1,、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像,计算,上半空间,中的电位,由镜像法，镜像电荷须位于下半空间,介质,1,的镜像电荷,计算,下半空间,中的电位,由镜像法，镜像电荷须位于上半空间,介质,2,的镜像电荷,问题,：,由,边界条件,来确定。,五、无限大介质分界平面的镜像 1、点电荷与无限大电介质分界平,五、无限大介质分界平面的镜像,1,、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像,介质,1,的镜像电荷,介质,2,的镜像电荷,介质,1,中的电位为,介质,2,中的电位为,待求,五、无限大介质分界平面的镜像 1、点电荷与无限大电介质分界平,五、无限大介质分界平面的镜像,1,、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像,由电位的边界条件,点电荷对电介质平面分界面的镜像电荷,对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无,限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为,五、无限大介质分界平面的镜像 1、点电荷与无限大电介质分界平,五、无限大介质分界平面的镜像,2,、线电流与无限大磁介质分界平面的镜像,图,1,线电流与磁介质分界平面,图,2,磁介质,1,的镜像线电流,特点：,分界面上有,磁化电流,分布,空间中的磁场由,线电流,和,磁化电流,共同产生。,计算磁介质,1,中的磁场时，用,图,2,所示的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流,图,3,磁介质,2,的镜像线电流,计算磁介质,2,中的磁场时，用,图,3,所示的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流。,五、无限大介质分界平面的镜像 2、线电流与无限大磁介质分界平,五、无限大介质分界平面的镜像,2,、线电流与无限大磁介质分界平面的镜像,电流沿轴方向流动，则矢量磁位,A,也只有轴向分量。磁介质,1,和磁介质,2,中任一点的矢量磁位分别为,利用矢量磁位满足的边界条件,五、无限大介质分界平面的镜像 2、线电流与无限大磁介质分界平,解：移动电荷,q,时，外力需要克服电场力做功，而电荷,q,受的电场力来源于导体板上的感应