单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8.2,偏导数,一、偏导数的定义及其算法,二、高阶偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,定义,设函数,z,=,f,(,x,y,),在点,(,x,0,y,0,),的某一邻域内有定义，当,y,固定在,y,0,，而,x,在,x,0,处有增量,x,时，相应函数有增量,1.,偏导数的定义,如果极限,存在，则称此极限值为函数,z=f,(,x,y,),在点,(,x,0,y,0,),处对,x,的偏导数,.,记作,即,类似地，可定义函数,z,=,f,(,x,y,),在点,(,x,0,y,0,),处对,y,的偏导数为,又可记为,例,1,设 求,f,（,x,，,y,）在,原点,(0,0),处的偏导数,.,解 原点,(0,0),处对,x,的偏导数为,原点,(0,0),处对,y,的偏导数为,如果函数,z,=,f,(,x,y,),在区域,D,内任一点,(,x,y,),都存在对,x,的偏导数，即,存在，显然这个偏导数仍是,x,，,y,的函数，称它为函数,z,=,f,(,x,y,),对,x,的偏导函数，记作,类似地，可以定义函数,z,=,f,(,x,y,),在区域,D,内对自变量,y,的偏导函数为,记作,二元以上多元函数的偏导数可类似地定义,.,例如三元函数,u,=,f,(,x,y,z,),在点,(,x,y,z,),处对,x,的偏导函数定义为,同样地，可以定义偏导数,.,2,、偏导数的计算,求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数,.,一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用,.,例如，给定一个二元函数,z,=,f,(,x,y,),，,求 时，可将自,变量,y,看成常数,(,即将,z,看成,x,的一元函数,),，只需,z,对,x,求导；,求 时，将自变量,x,看成常数,(,即将,z,看成,y,的一元函数,),，只需,z,对,y,求导,.,若求函数,z,=,f,(,x,y,),在点,(,x,0,y,0,),处对,x,的偏导数，只需先求偏导函数,f,x,(,x,y,),，,然后再求,f,x,(,x,y,),在点,(,x,0,y,0,),处的函数值，即 ，这样就得到了函数,z,=,f,(,x,y,),在点,(,x,0,y,0,),处对,x,的偏导数,.,例,2,求函数 在点,(1,3),处对,x,和,y,的偏导数,.,解,将点,(1,3),代入上两式，得,例,3,求函数 的偏导数,.,解,例,4,求函数 的偏导数,.,解,练习,1,求,z=x,2,sin,2,y,的偏导数,.,解,练习,2,求 的偏导数,.,解,例,5,求函数 的偏导数,.,解,例,6,已知理想气体的状态方程,PV,=,RT,(,R,为常量,),，求证：,证,P,RT,V,=,Q,偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分母之,商，否则这三个偏导数的积将是,1.,这一点与一元函数导数,记号 是不同的，可看成函数的微分,d,y,与自变量微分,d,x,之商,.,前面我们已经计算过，,在,（,0,，,0,）处的极限,是不存在的，,显然此函数在（,0,，,0,）处 连续,.,不 从,例,1,的分析我们看到，函数在（,0,，,0,）处偏导存在,.,对于多元函数,偏导数存在不能保证函数在该点处连续，这与一元函数不同,.,一元函数可导必连续的结论，对多元函数是不成立的,.,一般地，在点,(,x,0,y,0,),处二元函数连续，偏导数不一定存在，而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系,.,二、高阶偏导数,设函数,z,=,f,(,x,y,),在区域,D,内有偏导数,二元函数的二阶偏导数为：,例,7,求 的二阶偏导数,.,解,该题值得注意的是，一般函数,f,的二阶混合偏导数 和 并不一定相等,.,例,7,的两个二阶混合偏导数相等，是因为它们是连续的，一般我们有下面的定理：,定理,如果函数,z,=,f,(,x,y,),在开区域,D,上二阶混合偏导数 连续，则在该区域上任一点处必有,例,8,设 ，求,解,练习,3,求函数 的二阶偏导数,.,解,练习,4,求 各二阶偏导数,.,此例中两个二阶混合偏导数相等,.,例,9,证明函数 满足方程,证,所以，满足方程,补充 偏导数的几何意义,