大,小,圆周角,圆周角,复习提问：,(2),圆心角，弧，弦，弦心距关系定理是什么？,(1),什么是圆心角？,知识回顾,复习提问：(2)圆心角，弧，弦，弦心距关系定理是什么？(1,如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃,AB,观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心的,O,位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置,C,，他们的视角（,AOB,和,ACB,）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置,D,和,E,，他们的视角（,ADB,和,AEB,）和同学乙的视角相同吗？,探究发现,如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图，人们可以通,1.ACB,与,AOB,有何异同点？,B,A,C,O,2.,你知道,ACB,这一类的角名字吗？,（,1,）,ACB,的顶点,C,在,O,上，而,AOB,的顶点,C,在,O,内。,（,2,）两个角的大小,不同。,新知探究,1.ACB与AOB有何异同点？BACO2.你知道ACB,顶点在圆上，并且两边都与圆还另有一个交点的角叫做,圆周角,。,1.,圆周角的概念,B,A,C,O,一个角是圆周角的条件：,顶点在圆上；,两边都和圆相交。,顶点在圆上，并且两边都与圆还另有一个交点的角叫做圆周,练习：指出,下图中的,圆周角。,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,（,6,）,练习：指出下图中的圆周角。（1）（2）（3）（4）（5）（6,C,A,B,O,分别量出图中,AB,所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？,2.,圆周角定理,CABO 分别量出图中 AB 所对的圆周角和圆心角的,C,O,A,B,即,OC=OB,，,OCB=,OBC,。,又,AOB=OCB+OBC,AOB=2OCB,1.,如图，在,O,中，,AC,为直径，,AOB,和,ACB,分别是所对的圆心角和圆周角，你认为,AOB,与,ACB,的大小具有什么关系？说出你的理由。,AB,COAB即 OC=OB，OCB=OBC。又AOB,C,O,A,B,C,O,A,B,D,D,2.,如图，在,O,中，当所对的圆心角,AOB,与圆周角,ACB,具有如图所示的两种位置关系时，它们是否还具有上述的数量关系？为什么？,AB,COABCOABDD2.如图，在O中，当所对的圆心,C,O,A,B,D,（,1,）圆心在,BCA,的,内部,作直径,CD,由于,AOD=2ACD,BOD=2BCD,，,所以,AOD+BOD=2,（,ACD+BCD,）,即,AOB=2 ACB,COABD（1）圆心在BCA的内部作直径CD由于AOD,作直径,CD,由于,BOD=2BCD,AOD=2ACD,，,所以,BOD-AOD=2,（,BCD-ACD,）,即,AOB=2ACB,O,B,D,C,A,（,2,）圆心在,BAC,的,外部,作直径CD由于BOD=2BCDAOD=2ACD，,结论：圆周角定理,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。,ACB=,；,ADB=,；,=,。,如图：则有,ACB,ADB,结论：圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。,在同圆或等圆中，同,弧或等弧所对的圆周角,相等；相等,的圆周角所对的弧也,相等。,1.,在一个圆中，并画出,AB,所对的圆周角能画多少个？它们有什么关系？,A,B,D,E,O,C,2.,在同圆和等圆中，如果两个弧相等，它们所对的圆周角一定相等吗？为什么？反过来呢？,推论,1,：,探究推论,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆,如图，,ABC,内接于,O,，,请思考当,AOB,为,180,时，,ACB,的度数是多少？从而你得到什么结论？,探索半圆或直径所对的圆周角的度数,A,B,C,O,推论,2,：,半圆,(,或直径,),所对的圆周角是,直角；,90,的圆周角所对的弦是,直径。,如图，ABC内接于O，请思考当AOB为180,AOC、BOC,都是等腰三角形,OACOCA,，,OBCOCB,又,OACOBCACB 180,ACBOCAOCB 90,因此,，,不管点,C,在,O,上何处（除点,A,、,B）,，,ACB,总等于90,。,证明,：,因为,OAOBOC,，,AOC、BOC都是等腰三角形OACOCA，O,例,1.,如图，,AB,是,O,的直径，弦,CD,交,AB,于点,P,，,ACD=60,，,ADC=70,。求,APC,的度数。,.O,A,D,C,P,B,解：,连接,BC,，,则,ACB=90,，,DCB,ACB,ACD,90,60=30,又,BAD=DCB=30,，,APC=BAD,ADC,30,70,100,重难例题讲解,例1.如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，ACD=,练习,：,如图，点,A,、,B,、,C,在,O,上，点,D,在圆,外，,CD,、,BD,分别交,O,于点,E,、,F,，比较,BAC,与,BDC,的,大小，并,说明,理由。,解：连接,CF,BFC,是D,FC,的一个,外角，,BFC BDC,BAC,BFC,（同弧,所对的圆周角相等,）,BAC,BDC,。,F,O,D,A,B,C,E,练习：如图，点A、B、C在O上，点D在圆外，解：连接CFF,1.,如图，四边形,ABCD,中,B,与,1,互补,AD,的延长线与,DC,所夹,2=60,则,1=_,B=_,。,2.,判断,:,圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为,360(),120,60,A,B,C,D,1,2,探究发现,1.如图，四边形ABCD中,B与1互补,AD的延长线与,O,A,C,D,E,B,一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做,圆的内接多边形,，这个圆叫做这个,多边形的外接圆。,OACDEB 一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个,O,C,A,B,D,如图，四边形,ABCD,为,O,的内接四边形；,O,为四边形,ABCD,的外接圆。,OCABD 如图，四边形ABCD为O的内接四边形；,如图：圆内接四边形,ABCD,中，,A,C,180,同理,B,D,180,圆的内接四边形的对角互补。,BAD+BCD=360,O,C,A,B,D,探究性质,如图：圆内接四边形ABCD中，AC180同理B,C,O,D,B,A,E,所以,A,DCE,又,A,BCD,180,如果延长,BC,到,E,，那么,DCE,BCD,100,CODBAE所以ADCE又 A BCD 180,C,O,D,B,A,E,1,2,因为,A,是与,2,相邻的内角,1,的对角，我们把,A,叫做,DCE,的内对角,因此，圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。,即,A=,2,CODBAE12 因为A是与2相邻的内角1的对角,几何表达式：,ABCD,是,O,的内接四边形，,B+D=180,且,A=2,定理：,圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。,C,O,D,B,A,E,1,2,几何表达式：定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角,解,：设,A,、,B,、,C,的度数分别对于,2x,、,3x,、,6x,，,例,2,在圆内接四边形,ABCD,中，,A,、,B,、,C,的度数之比是,236.,求这个四边形各角的度数。,由于四边形,ABCD,内接于圆，,A+,C=B+,D=180,2x+6x=180,x=22.5,A=45,，,B=67.5,，,C,=135,D=180-67.5=112.5,重难例题讲解,解：设A、B、C的度数分别对于2x、3x、6x，例2,E,D,B,A,C,1.,四边形,ABCD,内接于,O,，则,A+C=_,B+ADC=_;,若,B=80,，,则,ADC=_,，,CDE=_,。,180,180,100,80,随堂练习,EDBAC1.四边形ABCD内接于O，则1801801,D,B,A,C,O,2.,四边形,ABCD,内接于,O,，,AOC=100,则,B=_,；,D=_,。,3.,四边形,ABCD,内接于,O,A:C=1:3,则,A=_,。,50,130,45,DBACO2.四边形ABCD内接于O，AOC=100,4.,若,ABCD,为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（）,（,A,）,ABCD,1234,（,B,）,ABCD,2134,（,C,）,ABCD,3214,（,D,）,ABCD,4321,B,4.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（,D,B,A,C,O,圆的内接梯形一定是梯形。,5.,梯形,ABCD,内接于,O,ADBC,B=75,则,C=_,。,75,等腰,DBACO圆的内接梯形一定是梯形。5.梯形ABCD,6.,如图，四边形,ABCD,内接于,O,，如果,BOD=130,则,BCD,的度数是（）,A.115 B.130,C.65 D.50,7.,如图，等边三角形,ABC,内,接于,O,，,P,是,AB,上的一点，,则,APB=,。,A,B,C,D,O,A,B,C,P,C,120,6.如图，四边形ABCD内接于O，如果BOD=130,8.,已知四边形,ABCD,内接于,O,且,A:B:C=2:3:4,，求,D,的度数。,9.,四边形,ABCD,内接于,O,BA,、,CD,的延长线交于点,P,AD=2cm,BC=3cm,PA,4cm,，求,PC,的长。,8.已知四边形ABCD内接于O,且A:B:C=2:3,你今天学习了哪些知识？,课堂小结,你今天学习了哪些知识？课堂小结,1.,定义：,一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。,2.,定理：,圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。,1.定义：2.定理：,(1),一个概念（圆周角）,(2),一个定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。,(3),两,个推论：,半圆或直径所对的圆周角是直角；,90,的圆周角所对的弦是直径。,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。,知识梳理,(1)一个概念（圆周角）(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等,思想方法：一种方法和一种思想。,在证明中，运用了数学中的分类方法和化归思想。,分类时要做到不重不漏；化归思想是将复杂问题转化成一系列的简单问题或已证问题。,思想方法：一种方法和一种思想。在证明中，运用了数学中,