,一、矩阵的谱半径,第六章 解线性方程组的迭代法,3,迭代法的收敛性,二、迭代法的收敛条件,三、举例,复习：,1,、矩阵的特征值与特征向量的定义与计算；,设,A,为方阵，,Au,=,u,(,u,0),即,是方程,|,E,-,A,|=0,的根,2,、矩阵的特征值与特征向量的性质,3,、,A,k,=,AA,A,的特征值是,:,一、迭代法的谱半径,称,迭代公式,中的矩阵,B,为,迭代矩阵,.,定义,1,：,定义,2,：,设,A,为,n,阶方阵，,i,(,i,=1,n,),为,A,的特征值，称特征值模的最大值为矩阵,A,的,谱半径,，记为,称为矩阵,A,的,谱,.,性质：,若,矩阵,A,的谱为,谱,半径为,则,A,k,=,AA,A,k个,的谱为,(,k,=1,2,),谱,半径为,定理：,设,A,为任意,n,阶方阵，,|.|,为矩阵的任意诱导范数，则,证明：,对,A,的任一特征值,i,及,相应的特征向量,u,i,，,都有,因为,u,i,为非零向量，即,|,u,i,|0,，,于是有,由,i,的任意性得,定理：,设,A,为,n,阶方阵，则对任意正数,，,存在,一种矩阵范数,|.|,，使得,（证明略）,注：,对,n,阶方阵，一般不存在矩阵范数,|.|,，使得,但若,A,为对称矩阵，则有,下面的定理对建立迭代法的收敛条件十分重要,.,定理：,设,A,为,n,阶方阵，则,的,充要条件为,证明：,(,必要性,),若,则,而,于是由极限存在准则，有,故,(,充分性,),若,取,则存在一种矩阵范数,|.|,，使得,而,于是,所以,再由有限维空间范数的等价性知结论真。,定理：,设,A,为,n,阶方阵，则,的,充要条件为,二、迭代法的收敛条件,定理：,对任意初始向量,x,(0),和右端项,g,，,由迭代,格式,x,(,k,+1),=,Mx,(,k,),+,g,产生的向量序列收敛的充要条件为,证明：,设,存在,n,维向量,x,*,，,使得,则,x,*,满足,由,迭代公式有,于是有,因为,x,(0),为任意向量，因此,即,若,则,=1,不是,M,的特征值，所以,|,I,|0,于是对任意,n,维向量,g,，,方程组,(,I,M,),x,=,g,有唯,一解，记为,x,*,，,即,并且,此时考虑,故对,任意初始向量,x,(0),，,都有,即由,迭代公式产生的向量序列,x,(,k,),收敛。,推论,1,：,若迭代矩阵满足,|,M,|1,，,则迭代公式,产生的向量序列,x,(,k,),收敛。,推论,2,：,松弛法收敛的必要条件是,02,证明,:,设,松弛法的迭代矩阵,M,有特征值,因为,由,定理，松弛法收敛必有,而,又,于是有,所以,注：,定理表明，迭代法收敛与否只决定于迭代,矩阵的谱半径，与初始向量及方程组的右,端项无关。对同一方程组，由于不同的迭,代法迭代矩阵不同，因此可能出现有的方,法收敛，有的方法发散的情形。,举例：,解方程组,讨论,Jacobi,法与,Gauss-Seidel,法的收敛性。,解：,由定理，迭代法是否收敛等价于迭代矩阵的谱半径是否，故应先求迭代矩阵。而,故,A,裂解后的各矩阵分别为,Jacobi,迭代法的迭代矩阵为,其,特征方程为,因此有,故,Jacobi,法收敛,如果用,Gauss-Seidel,迭代，由,可得,于是迭代矩阵为,其,特征方程为,故,所以,Gauss-Seidel,迭代法发散。,?,请思考,:,(1),试推导,Jacobi,迭代法和,Gauss-Seidel,迭代法的迭代矩阵。,(2),试归纳判断迭代法收敛的方法。,答,:,(1),略,(2),先用两个推论，再用充要条件，即,|,M,|1,迭代法收敛,松弛法收敛,02,迭代法收敛,下面对一些特殊的系数矩阵给出几个常用的判断收敛的条件（,代数判据,）。,定义：,若,n,阶方阵,A,=(,a,ij,),满足,且,至少,有一个,i,值，使上式中不等号严格成立，则称,A,为,弱对角占优阵,。,若对,所有,i,，,不等号均严格成立，则称,A,为,严格对角占优阵,。,例如：,矩阵,是,严格对角占优,矩阵,不,严格对角占优,，是,弱对角占优,定义：,如果矩阵,A,不能通过行的互换和相应列的互换成为形式,其中,A,11,，,A,22,为方阵，则称,A,为不可约,.,例如：,判断下列矩阵是否可约？,矩阵,是可约,的。,矩阵,是不可约的。,交换第,1,与,3,行,(,列,),设有线性方程组,Ax,=,b,，,下列结论成立：,若,A,为严格对角占优阵或不可约弱对角占,优阵，则,Jacobi,迭代法和,Gauss-Seidel,迭代,法均收敛。,2.,若,A,为严格对角占优阵，,0,1,，则,松弛法收敛。,3.,若,A,为对称正定阵，,0,2,，则,松弛法收敛,.,即：,若,A,是对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为,0,2,。,归纳判断迭代法收敛的方法依次如下：,1.,首先根据方程组的系数矩阵,A,的特点判断；,2.,可根据迭代矩阵的某范数判断；,3.,只好根据迭代矩阵的谱半径判断；,三、举例,例,1,：,设有方程组,Ax,=,b,，,其中,讨论用三种迭代法求解的收敛性。,解：,首先,不是对角占优阵，但,是对称阵，,且其各阶顺序主子式均大于，故,为对,称正定阵，由判别条件可得,Gauss-Seidel,法与松弛法,(02),均,收敛。,由因为,Jacobi,迭代法的迭代矩阵为,故,|,B,|,1,=|,B,|,=1,，,因此不能用范数判断。,下面计算,Jacobi,迭代矩阵的谱半径。,解,特征方程,可得谱半径,故,Jacobi,迭代法不收敛。,值得注意的是：,改变方程组中方程的顺序，即将系数矩阵作行交换，会改变迭代法的收敛性。,例,2,：,设方程组,Ax,=,b,的,系数矩阵为,则,Jacobi,法与,Gauss-Seidel,法的迭代矩阵分别是,其谱半径分别为,故这,两种迭代法均不收敛。,但若,交换两个方程的次序，得原方程组的同解方程组,显然,A,是严格对角占优阵，因此对方程组,用,Jacobi,法和,Gauss-Seidel,法均收敛。,例,3,*,：,设,A,=(,a,ij,),是二阶方阵，且,a,11,a,22,0.,试证 求解方程组,Ax,=,b,的,Jacobi,法与,Gauss-Seidel,法同时收敛或发散。,证明：,Jacobi,迭代矩阵为,其,谱半径为,而,Gauss-Seidel,法的迭代矩阵为,其,谱半径为,则有,显然,同时小于,1,、等于,1,或,大于,1,，因此有相同的敛散性。,例,4,：,设线性方程组,Ax,=,b,的,系数矩阵为,试求能使,Jacobi,方法收敛的,a,的取值范围,解：,当,a,0,时，,Jacobi,法的迭代矩阵为,解,特征方程,得,故,由,得,故当,时，,Jacobi,迭代法收敛。,作业：,习题,1,，,2,（,2,）,