单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第八章 多元函数微分法及其应用,前面讨论的函数均是只有一个自变量的一元函数.但很多实际问题往往要牵涉到多个方面的因素，这就是多元函数.本章首先介绍了多元函数的基本概念，然后重点讨论二元函数的微分法，最后介绍多元函数微分法的应用.有关结论可类推到三元及n元函数.,第八章 多元函数微分法及其应用 前面,1,（1）邻域,一、多元函数的概念,第一节 多元函数的基本概念,（1）邻域一、多元函数的概念第一节 多元函数的基本概念,2,多元函数微分法及其应用ppt课件,3,（2）区域,例如，,即为开集,（2）区域例如，即为开集,4,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,连通的开集称为区域或开区域例如，例如，,5,有界闭区域；,无界开区域,例如，,有界闭区域；无界开区域例如，,6,（3）n,维空间,n维空间的记号为,说明：,n维空间中两点间距离公式,（3）n维空间 n维空间的记号为说明：n维空间中两点间,7,n维空间中邻域、区域等概念,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,内点、边界点、区域等概念也可定义,邻域：,设两点为,n维空间中邻域、区域等概念 特殊地当,8,（4）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,（4）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数,9,例1 求函数 的定义域,解 要使函数有意义,必须满足：,即,定义域为有界开区域（如图）,-1,1,y,x,例1 求函数 的定义域解,10,例2,求 的定义域,解,所求定义域为,例2 求,11,（5）二元函数 的图形,（如下页图）,（5）二元函数 的图,12,二元函数的图形通常是一张曲面.,二元函数的图形通常是一张曲面.,13,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:,14,二、多元函数的极限,二、多元函数的极限,15,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,说明：（1）定义中 的方式是任意的,16,例3,求极限,解,其中,例3 求极限 解其中,17,多元函数微分法及其应用ppt课件,18,确定极限,不存在,的方法：,确定极限不存在的方法：,19,三、多元函数的连续性,定义3,三、多元函数的连续性定义3,20,例5,讨论函数,在(0,0)的连续性,故函数在(0,0)处不连续,例5 讨论函数在(0,0)的连续性故函数在(0,0)处不,21,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数,22,例6,解,例6解,23,不存在.,观察,不存在.观察,24,观察,不存在.,观察不存在.,25,观察,不存在.,观察不存在.,26,观察,不存在.,观察不存在.,27,观察,不存在.,观察不存在.,28,观察,不存在.,观察不存在.,29,观察,不存在.,观察不存在.,30,观察,不存在.,观察不存在.,31,观察,不存在.,观察不存在.,32,观察,不存在.,观察不存在.,33,观察,不存在.,观察不存在.,34,观察,不存在.,观察不存在.,35,