单击此处编母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/8/20,#,2.3 等腰三角形,2024/11/18,1,2.3 等腰三角形2023/9/221,我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢,？,新知探究,2024/11/18,2,我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除,任意画一个等腰三角形,ABC,，其中,AB=AC,，如图,.,作,ABC,关于顶角平分线,AD,所在直线的轴反射，,由于,1=2,，,AB=AC,，,因此：,D,1,2,2024/11/18,3,任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图.,射线,AB,的像是射线,AC,，,射线,AC,的像是射线,；,线段,AB,的像是线段,AC,，,线段,AC,的像是线段,；,点,B,的像是点,C,，,点,C,的像是点,；,线段,BC,的像是线段,CB,.,从而等腰三角形,ABC,关于直线,对称,.,AB,AB,B,AD,2024/11/18,4,ABABBAD2023/9/224,由于点,D,的像是点,D,，,因此线段,DB,的像是线段,，,从而,AD,是底边,BC,上的,.,由于射线,DB,的像是射线,DC,，,射线,DA,的像是射线,，,因此,BDA,CDA=,，,从而,AD,是底边,BC,上的,.,由于射线,BA,的像是射线,CA,，,射线,BC,的像是射线,，,因此,B,C,.,DC,中线,DA,=,90,高,CB,=,2024/11/18,5,由于点D的像是点D，DC中线DA=90高CB=2023/9/,由此得到等腰三角形的性质定理：,等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线,.,新知归纳,等腰三角形的两底角相等,(,简称,“,等边对等角,”,),.,等腰三角形底边上的高,、,中线,及顶角平分线重合,(,简称为,“,三线合一,”,).,2024/11/18,6,由此得到等腰三角形的性质定理： 等腰三角形是轴对称图形,因为,ABC,是等边三角形，,所以,AB=BC=AC,，,从而,C,=,A,=,B,.,由三角形内角和定理可得：,A,=,B,=,C,=60,.,如图，,ABC,是等边三角形，那么,A,，,B,，,C,的大小之间有什么关系呢,？,疑问升级,2024/11/18,7,因为ABC是等边三角形， 如图，ABC是等边三角形,由此得到等边三角形的如下性质：,等边三角形的三个内角相等，且都等于,60.,新知归纳,2024/11/18,8,由此得到等边三角形的如下性质：等边三角形的三个内角相等，且都,由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线,.,新知归纳,2024/11/18,9,由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴,例,1,已知：如图，在,ABC,中，,AB=AC,，点,D,，,E,在边,BC,上，且,AD,=,AE,.,求证：,BD,=,CE,.,证明,作,AF,BC,，垂足为点,F,，,则,AF,是等腰三角形,ABC,和等腰三角形,ADE,底边上的高，也是底边上的中线,.,BF=CF,，,BF,-,DF,=,CF,-,EF,，,DF=EF,，,即,BD=CE.,F,例题讲解,2024/11/18,10,例1 已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E证明,如图的三角测平架中,，,AB,=,AC,，,在,BC,的中点,D,挂一个重锤,，,自然下垂,，,调整架身,，,使点,A,恰好在,铅,锤,线上,.,（,1,）,AD,与,BC,是否垂直,，,试说明理由,.,（,2,）,这时,BC,处于水平位置,，,为什么,？,新知探究,2024/11/18,11,如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个,1.,如图，在,ABC,中，,AB=AC,，,AD,为,BC,边上,的高，,BAC,=49,，,BC,= 4,，求,BAD,的度,数及,DC,的长,.,答：,BAD=,24.5,，,DC=,2.,随堂练习,2024/11/18,12,1. 如图，在ABC中，AB=AC，AD为BC边上答：B,2.,如图，点,P,为等边三角形,ABC,的边,BC,上一,点，且,APD,= 80,，,AD=AP,，求,DPC,的度数,.,答：,DPC =,20,.,随堂练习,2024/11/18,13,2. 如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一答：DPC,我们知道,，,等腰三角形的两底角相等，反过来，,两,个角相等的,三,角,形是等腰三角形吗,？,如图，在,ABC,中，如果,B,=,C,，那么,AB,与,AC,之间有什么关系吗,？,疑问升级,2024/11/18,14,我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等,测量后发现,AB,与,AC,相等,.,3cm,3cm,2024/11/18,15,测量后发现AB与AC相等.3cm3cm2023/9/2215,事实上，如图，在,ABC,中，,B,=,C,.,沿过点,A,的直线把,BAC,对折，,得,BAC,的平分线,AD,交,BC,于点,D,，,则,1=2.,又,B,=,C,，,由三角形内角和的性质得,ADB,=,ADC,.,D,1,2,2024/11/18,16,事实上，如图，在ABC中，B=C. 沿过点A的直线把,沿,AD,所在直线折叠，,由于,ADB,=,ADC,，,1=2,，,所以射线,DB,与射线,DC,重合，,射线,AB,与射线,AC,重合,.,从而点,B,与点,C,重合，,于是,AB,=,AC,.,2024/11/18,17,沿AD所在直线折叠，由于ADB=ADC，1=2，所以,有两个角相等的三角形是等腰三角形,(,简称,“,等角对等边,”,),.,新知归纳,三个角都是,60,的三角形是等边三角形,.,由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：,2024/11/18,18,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).新知,例,2,已知：如图，在,ABC,中，,AB=AC,，点,D,，,E,分别是,AB,，,AC,上的点，且,DE,BC,.,求证：,ADE,为等腰三角形,.,证明,AB,=,AC,，,B,=,C,.,又,DE,BC,，,ADE,=,B,，,AED,=,C,.,ADE,=,AED,.,于是,ADE,为等腰三角形,.,例题讲解,2024/11/18,19,例2 已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E证明,有一个角是,60,的等腰三角形是等边三角形吗,？,为什么,？,疑问升级,2024/11/18,20,有一个角是60的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？,如图，在等腰三角形,ABC,中，,AB=AC,.,由三角形内角和定理得,A,+,B,+,C,= 180.,如果顶角,A,=60,，,则,B,+,C,= 180,-,60=120.,又,AB,=,AC,，,B,=,C,.,B,=,C,=,A,=60.,ABC,是等边三角形,.,2024/11/18,21,如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形内角和定理得,由此得到另一条等边三角形的判定定理：,有一个角是,60,的等腰三角形是等边三角形,新知归纳,2024/11/18,22,由此得到另一条等边三角形的判定定理：有一个角是60的等腰三,例,3,已知：如图，,ABC,是等边三角形，点,D,，,E,分别在,BA,，,CA,的延长线上，且,AD,=,AE,.,求证：,ADE,是等边三角形,.,证明,ABC,是等边三角形，,BAC,=,B,=,C,= 60.,EAD,=,BAC,= 60,，,又,AD,=,AE,，,ADE,是等边三角形,（,有一个角是,60,的等腰三角形是等边三角形,）,例题讲解,2024/11/18,23,例3 已知：如图，ABC是等边三角形，点D，E证明 ,1.,已知：等腰三角形,ABC,的底角,ABC,和,ACB,的平分线相交于点,O,.,求证：,OBC,为等腰三角形,.,A,B,C,D,E,O,证明,ABC,和,ACB,的平分线相交于点,O,，,ABD =,DBC=,，,ACE =,ECB=,，,随堂练习,2024/11/18,24,1. 已知：等腰三角形ABC的底角ABC和ABCDEO证明,DBC =,ECB,，,OBC,是等腰三角形,.,又,ABC,是等腰三角形，,ABC =,ACB,，,A,B,C,D,E,O,2024/11/18,25, DBC =ECB， OBC是等腰三角形.又 ,2.,已知：如图，,CD,平分,ACB,，,AE,DC,，,AE,交,BC,的延长线于点,E,，且,ACE,= 60.,求证：,ACE,是等边三角形,.,证明,CD,平分,ACB,，,在,ACE,中，,CAE=,180,-,E,-,ACE =,60,又,ACE,=,60,，,BCD=,E=,60,，,ACD =,DCB,，,ACD=,DCB=,60,，,又,AE,DC,，,CAE =,ACE,=,E=,60,ACE,是等边三角形,.,随堂练习,2024/11/18,26,2. 已知：如图，CD平分ACB，AEDC，AE证明C,3.,已知：如图,，,AB,=,BC,，,CDE,= 120,，,DF,BA,，且,DF,平分,CDE,.,求证：,ABC,是等边三角形,.,证明,AB=BC,，,ABC,是等边三角形,.,又,CDE,=,120,，,DF,平分,CDE,.,FDC=,ABC=,60,，,ABC,是等腰三角形，,EDF=,FDC=,60,，,又,DF,BA,，,随堂练习,2024/11/18,27,3. 已知：如图，AB=BC ，CDE= 120， 证明,例,1,等腰三角形两边长分别是,2cm,和,5cm,，则这个三角形周长为（ ）,A.9cm B.12cm,C.9cm,或,12cm D.14cm,B,另一边长为,2cm,或,5cm,，,2,，,2,，,5,不符合三角形三边关系定理，故选,5.,周长为,5+5+2=12cm.,解析：,中考试题,2024/11/18,28,例1 等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角,例,2,若等腰三角形中有一个角等于,50,，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）,A. 50,B. 80,C. 65,或,50,D. 50,或,80,因为,50,可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选,D.,D,解析：,中考试题,2024/11/18,29,例2 若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角,