*,*,经典 专业 用心,精品课件,本课件来源于网络只供免费交流使用,经典 专业 用心本课件来源于网络只供免费交流使用,1.3,线段的垂直平分线,第一章 三角形的证明,第,1,课时 线段的垂直平分线,1.3 线段的垂直平分线第一章 三角形的证明 第1课时 线,1.,理解线段垂直平分线的概念；,2.,掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）,3.,能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算,.,（难点）,学习目标,1.理解线段垂直平分线的概念；学习目标,导入新课,问题引入,某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区,A,、,B,、,C,之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？,A,B,C,导入新课问题引入某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小,观察：已知点,A,与点,A,关于直线,l,对称，如果线段,AA,沿直线,l,折叠，则点,A,与点,A,重合，,AD=AD,，,1=2=90,，即直线,l,既平分线段,AA,，又垂直线段,AA.,l,A,A,D,2,1,(A),讲授新课,线段垂直平分线的性质,一,观察：已知点A与点A关于直线l 对称，如果线段AA沿直,我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线,.,由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴,.,知识要点,我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分,如图，直线,l,垂直平分线段,AB,，,P1,，,P2,，,P3,，,是,l,上的点，请你量一量线段,P1A,，,P1B,，,P2A,，,P2B,，,P3A,，,P3B,的长，你能发现什么？请猜想点,P1,，,P2,，,P3,，,到点,A,与点,B,的距离之间的数量关系,A,B,l,P1,P2,P3,探究发现,P1A _P1B,P2A _ P2B,P3A _ P3B,如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的,作关于直线,l,的轴反射（即沿直线,l,对折），由于,l,是线段,AB,的垂直平分线，因此点,A,与点,B,重合,.,从而线段,PA,与线段,PB,重合，于是,PA=PB.,(A),(B),B,A,P,l,活动探究,作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l,猜想：,点,P1,，,P2,，,P3,，,到点,A,与点,B,的距离分别相等,命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等,.,由此你能得到什么结论？,你能验证这一结论吗？,猜想：命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等,如图，直线,lAB,，垂足为,C,，,AC=CB,，点,P,在,l,上,求证：,PA=PB,证明：,lAB,，,PCA=PCB,又,AC=CB,，,PC=PC,，,PCA PCB,（,SAS,）,PA=PB,P,A,B,l,C,验证结论,如图，直线lAB，垂足为C，AC=CB，点P 在l 上,微课,-,证明线段垂直平分线的性质,微课-证明线段垂直平分线的性质,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,.,线段垂直平分线的性质定理：,总结归纳,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线,例,1,如图，在,ABC,中，,AB,AC,20cm,，,DE,垂直平分,AB,，垂足为,E,，交,AC,于,D,，若,DBC,的周长为,35cm,，则,BC,的长为,(,),A,5cm,B,10cm,C,15cm,D,17.5cm,典例精析,C,例1 如图，在ABC中，ABAC20cm，DE垂直平,解析：,DBC,的周长为,BC,BD,CD,35cm,，又,DE,垂直平分,AB,，,AD,BD,，故,BC,AD,CD,35cm.AC,AD,DC,20cm,，,BC,35,20,15(cm).,故选,C.,方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长,解析：DBC的周长为BCBDCD35cm，又DE,练一练：,1.,如图所示，直线,CD,是线段,AB,的垂直平分线，点,P,为直线,CD,上的一点，且,PA=5,，则线段,PB,的长为（）,A.6 B.5 C.4 D.3,2.,如图所示，在,ABC,中，,BC=8cm,边,AB,的垂直平分线交,AB,于点,D,，交边,AC,于点,E,BCE,的周长等于,18cm,则,AC,的长是,.,B,10cm,P,A,B,C,D,图,A,B,C,D,E,图,练一练：1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P,定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,.,逆,命,题,到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,.,它是真命题吗？你能证明吗？,线段垂直平分线的判定,二,定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.逆到,想一想：如果,PA=PB,那么点,P,是否在线段,AB,的垂直平分线上呢？,记得要分点,P,在线段,AB,上及线段,AB,外两种情况来讨论,想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上,（,1,）当点,P,在线段,AB,上时，,PA=PB,，,点,P,为线段,AB,的中点，,显然此时点,P,在线段,AB,的垂直平分线上；,（,2,）当点,P,在线段,AB,外时，如右图所示,.,PA=PB,，,PAB,是等腰三角形,.,过顶点,P,作,PCAB,，垂足为点,C,，,底边,AB,上的高,PC,也是底边,AB,上的中线,.,即,PCAB,，且,AC=BC.,直线,PC,是线段,AB,的垂直平分线，,此时点,P,也在线段,AB,的垂直平分线上,.,（1）当点P在线段AB上时，PA=PB，点P为线段AB的,微课,-,线段垂直平分线的逆命题,微课-线段垂直平分线的逆命题,到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,.,线段垂直平分线的性质定理的逆定理：,应用格式：,PA=PB,，,点,P,在,AB,的垂直平分线上,P,A,B,作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上,.,总结归纳,到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂,例,2,：已知：如图,ABC,中，,AB=AC,，,O,是,ABC,内一点，且,OB=OC.,求证：直线,AO,垂直平分线段,BC.,证明：,AB=AC,，,A,在线段,BC,的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）,.,同理，点,O,在线段,BC,的垂直平分线,.,直线,AO,是线段,BC,的垂直平分线（两点确定一条直线）,.,你还有其他证明方法吗？,利用三角形的全等证明,例2：已知：如图ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，,证明：延长,AO,交,BC,于点,D,，,AB,AC,，,AO,AO,，,OB,OC,，,ABOACO,（,SSS,）,.,BAO=CAO,，,AB=AC,，,AOBC,OB,OC,，,OD,OD,，,RTDBORTDCO,（,HL,）,.,BD,CD.,直线,AO,垂直平分线段,BC.,证明：延长AO交BC于点D，,试一试：已知：如图，点,E,是,AOB,的平分线上一点，,ECOA,EDOB,垂足分别为,C,D,，连接,CD.,求证：,OE,是,CD,的垂直平分线,.,A,B,O,E,D,C,证明：,OE,平分,AOB,ECOA,EDOB,DE=CE(,角平分线上的点到角的两边的距离相等）,.,OE,是,CD,的垂直平分线,.,试一试：已知：如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA,当堂练习,1.,如图所示，,AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是,（）,A,AB,垂直平分,CD,；,B,CD,垂直平分,AB,；,C,AB,与,CD,互相垂直平分；,D,CD,平分,ACB,A,2.,已知线段,AB,，在平面上找到三个点,D,、,E,、,F,，使,DA,DB,，,EA,EB,FA,FB,，这样的点的组合共有种,.,无数,当堂练习1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正,3.,下列说法：,若点,P,、,E,是线段,AB,的垂直平分线上两点，则,EA,EB,，,PA,PB,；,若,PA,PB,，,EA,EB,，则直线,PE,垂直平分线段,AB,；,若,PA,PB,，则点,P,必是线段,AB,的垂直平分线上的点；,若,EA,EB,，则经过点,E,的直线垂直平分线段,AB,其中正确的有 （填序号）,.,3.下列说法：,4.,如图，,ABC,中，,AB=AC,AB,的垂直平分线交,AC,于,E,连接,BE,，,AB+BC=16cm,则,BCE,的周长是,cm.,A,B,C,D,E,16,4.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,5.,已知：如图，点,C,，,D,是线段,AB,外的两点，且,AC=BC,，,AD=BD,，,AB,与,CD,相交于点,O.,求证：,AO=BO.,证明：,AC=BC,，,AD=BD,，,点,C,和点,D,在线段,AB,的垂直平分线上，,CD,为线段,AB,的垂直平分线,.,又,AB,与,CD,相交于点,O,，,AO=BO.,5.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，,课堂小结,线段的垂直平分的性质和判定,性质,到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,内容,判定,内容,作用,线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等,作用,见垂直平分线，得线段相等,判断一个点是否在线段的垂直平分线上,课堂小结线段的垂直平分的性质和判定性质到线段的两个端点距离相,