Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,要点梳理,1.函数的零点,（1）函数零点的定义,对于函数y=f(x)(xD),把使_成立的实数x叫,做函数y=f(x)(xD)的零点.,2.7函数与方程,f(x)=0,基础知识自主学习,（2）几个等价关系,方程,f,(,x,)=0有实数根 函数,y,=,f,(,x,)的图象与_有,交点 函数,y,=,f,(,x,)有_.,(3)函数零点的判定（零点存在性定理）,如果函数,y,=,f,(,x,)在区间,a,，,b,上的图象是连续不,断的一条曲线，并且有_,那么函,数,y,=,f,(,x,)在区间_内有零点,即存在,c,(,a,b,),使得_，这个_也就是,f,(,x,)=0的根.,f,（,a,）,f,（,b,）0)的图象与零点的关系,0,=0,0)的图象,与,x,轴的交点,_,_,无交点,零点个数,_,_,_,(,x,1,0),(,x,2,0),(,x,1,0),无,一个,两个,3.二分法,（1）二分法的定义,对于在区间,a,，,b,上连续不断且_的,函数,y,=,f,(,x,)，通过不断地把函数,f,(,x,)的零点所在的区,间_,使区间的两个端点逐步逼近_,进,而得到零点近似值的方法叫做二分法.,（2）用二分法求函数,f,(,x,)零点近似值的步骤,第一步，确定区间,a,，,b,，验证_,给定精确度 ；,第二步，求区间（,a,，,b,）的中点,x,1,；,f,(,a,),f,(,b,)0,一分为二,零点,f,(,a,),f,(,b,)0,第三步，计算_：,若_，则,x,1,就是函数的零点；,若_，则令,b,=,x,1,(此时零点,x,0,(,a,x,1,);,若_，则令,a,=,x,1,(此时零点,x,0,(,x,1,b,);,第四步，判断是否达到精确度 ：即若|,a,-,b,| ,则,得到零点近似值,a,（或,b,）;,否则重复第二、三、四步.,f,(,x,1,),f,(,a,),f,(,x,1,)0,f,(,x,1,),f,(,b,)0,f,(,x,1,)=0,基础自测,1.若函数,f,(,x,)=,ax,+,b,有一个零点为2,则,g,(,x,)=,bx,2,-,ax,的,零点是 （ ）,A.0，2 B.0，,C.0， D.2,解析,由,f,(2)=2,a,+,b,=0,得,b,=-2,a,g,(,x,)=-2,ax,2,-,ax,=-,ax,(2,x,+1).,令,g,(,x,)=0，得,x,=0,x,=,g,（,x,）的零点为0，,C,2.函数,f,(,x,)=3,ax,-2,a,+1在-1，1上存在一个零点，,则,a,的取值范围是 （ ）,A. B.,a,1,C. D.,解析,f,(,x,)=3,ax,-2,a,+1在-1，1上存在一个零点，,则,f,(-1),f,(1)0,即,D,3.函数图象与,x,轴均有公共点，但不能用二分法求公,共点横坐标的是 （ ）,解析,图B不存在包含公共点的闭区间,a,，,b,使函,数,f,（,a,）,f,（,b,）0.,B,4.下列函数中在区间1,2上一定有零点的是（ ）,A.,f,(,x,)=3,x,2,-4,x,+5,B.,f,(,x,)=,x,3,-5,x,-5,C.,f,(,x,)=,mx,2,-3,x,+6,D.,f,(,x,)=e,x,+3,x,-6,解析,对选项D，,f,（1）=e-30，,f,（1）,f,（2）0.,D,5.设函数,则函数,f,(,x,)-,的零点是_.,解析,当,x,1时，,当,x,1时，,(舍去大于1的根)., 的零点为,题型一 零点的判断,【,例1,】,判断下列函数在给定区间上是否存在零点.,(1),f,（,x,）=,x,2,-3,x,-18，,x,1，8；,(2),f,（,x,）=log,2,(,x,+2)-,x,，,x,1，3.,第（1）问利用零点的存在性定理或,直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理,或利用两图象的交点来求解.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解,（1）,方法一,f,（1）=1,2,-31-18=-200，,f,(1),f,(8)log,2,2-1=0,f,(3)=log,2,5-3log,2,8-3=0,f,（1）,f,（3）0，,故,f,(,x,)=log,2,(,x,+2)-,x,x,1，3存在零点.,方法二,设,y,=log,2,(,x,+2),y,=,x,在同一直角坐标系,中画出它们的图象，,从图象中可以看出当1,x,3时，,两图象有一个交点，,因此,f,(,x,)=log,2,(,x,+2)-,x,x,1，3存在零点.,函数的零点存在性问题常用的办法,有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得,说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是,必要条件.,探究提高,知能迁移1,判断下列函数在给定区间上是否存,在零点.,（1）,f,(,x,)=,x,3,+1;,（2）,x,（0，1）.,解,（1）,f,(,x,)=,x,3,+1=(,x,+1)(,x,2,-,x,+1),令,f,(,x,)=0，即(,x,+1)(,x,2,-,x,+1)=0,x,=-1,f,(,x,)=,x,3,+1有零点-1.,（2）,方法一,令,f,(,x,)=0，,x,=1, 而1 (0,1),x,(0,1)不存在零点.,方法二,令,y,=,x,在同一平面直角坐标系中，,作出它们的图象,从图中可以看出当0,x,1),判断,f,(,x,)=0的根的个数.,解,设,f,1,(,x,)=,a,x,(,a,1),f,2,(,x,)=,则,f,(,x,)=0的解即为,f,1,(,x,)=,f,2,(,x,)的解,即为函数,f,1,(,x,),与,f,2,(,x,)图象交点的横坐标.,在同一坐标系中，作出函数,f,1,(,x,)=,a,x,(,a,1)与,f,2,(,x,)= 的图象(如,图所示）.,两函数图象有且只有一个交点，即方程,f,(,x,)=0有且,只有一个根.,题型三 零点性质的应用,【,例3,】,(12分)已知函数,f,(,x,)=-,x,2,+2e,x,+,m,-1,g,(,x,)=,x,+,(,x,0).,(1)若,g,(,x,)=,m,有零点，求,m,的取值范围；,(2)确定,m,的取值范围，使得,g,(,x,)-,f,(,x,)=0有两个,相异实根.,（1）可结合图象也可解方程求之.,（2）利用图象求解.,思维启迪,解,（1）,方法一,等号成立的条件是,x,=e.,故,g,(,x,)的值域是2e，+)， 4分,因而只需,m,2e，则,g,(,x,)=,m就,有零点. 6分,方法二,作出 的图象如图：,4分,可知若使,g,(,x,)=,m,有零点，则只需,m,2e. 6分,方法三,解方程由,g,（,x,）=,m,，得,x,2,-,mx,+e,2,=0.,此方程有大于零的根， 4分,等价于 故,m,2e. 6分,(2)若,g,(,x,)-,f,(,x,)=0有两个相异的实根，,即,g,（,x,）=,f,（,x,）中函数,g,（,x,）与,f,（,x,）的图象有两个,不同的交点，,作出 （,x,0）的图象.,f,（,x,）=-,x,2,+2e,x,+,m,-1,=-(,x,-e),2,+,m,-1+e,2,.,其对称轴为,x,=e，开口向下，,最大值为,m,-1+e,2,. 10分,故当,m,-1+e,2,2e,即,m,-e,2,+2e+1时，,g,(,x,)与,f,(,x,)有两个交点，,即,g,(,x,)-,f,(,x,)=0有两个相异实根.,m,的取值范围是（-e,2,+2e+1,+). 12分,此类利用零点求参数的范围的问题，可,利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构,造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了,当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求,参数的范围，一般采用数形结合法求解.,探究提高,知能迁移3,是否存在这样的实数,a,使函数,f,(,x,)=,x,2,+,(3,a,-2),x,+,a,-1在区间-1,3上与,x,轴恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说,明理由.,解,=(3,a,-2),2,-4(,a,-1)0,若实数,a,满足条件,则只需,f,(-1),f,(3)0即可.,f,(-1),f,(3)=(1-3,a,+2+,a,-1)(9+9,a,-6+,a,-1),=4(1-,a,)(5,a,+1)0.,所以,a, 或,a,1.,检验:(1)当,f,(-1)=0时，,a,=1.所以,f,(,x,)=,x,2,+,x,.,令,f,(,x,)=0，即,x,2,+,x,=0，得,x,=0或,x,=-1.,方程在-1,3上有两根，不合题意，故,a,1.,(2)当,f,(3)=0时，,a,=,解之得,x,= 或,x,=3.,方程在-1,3上有两根,不合题意,故,a,综上所述,a,1.,1.函数零点的判定常用的方法有：零点存在性定,理；数形结合；解方程,f,（,x,）=0.,2.研究方程,f,(,x,)=,g,(,x,)的解，实质就是研究,G,(,x,)=,f,（,x,）-,g,（,x,）的零点.,3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其,实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在,的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的,任一点就是这个函数零点的近似值.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,1.对于函数,y,=,f,(,x,)(,x,D,),我们把使,f,(,x,)=0的实数,x,叫,做函数的零点,注意以下几点:,(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个,实数时,其函数值等于零.,(2)函数的零点也就是函数,y,=,f,(,x,)的图象与,x,轴的交点,的横坐标.,(3)一般我们只讨论函数的实数零点.,(4)函数的零点不是点,是方程,f,(,x,)=0的根.,失误与防范,2.对函数零点存在的判断中,必须强调:,(1),f,(,x,)在,a,b,上连续;,(2),f,(,a,),f,(,b,)0，,f,（-1）,f,（0）0),则,y,=,f,(,x,) （ ）,A.在区间 (1,e)内均有零点,B.在区间 (1,e)内均无零点,C.在区间 内有零点，在区间(1,e)内无零点,D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点,解析,因为,因此,f,(,x,)在 内无零点.,因此,f,(,x,)在(1，e)内有零点.,答案,D,3.,（2009福建文，11）,若函数,f,（,x,）的零点与,g,(,x,)=4,x,+2,x,-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则,f,(,x,)可以是 （ ）,A.,f,(,x,)=4,x,-1 B.,f,(,x,)=(,x,-1),2,C.,f,(,x,)=e,x,-1 D.,解析,g,(,x,)=4,x,+2,x,-2在,R,上连续且,设,g,(,x,)=4,x,+2,x,-2的零点为,x,0,则,又,f,(,x,)=4,x,-1零点为,f,(,x,)=(,x,-1),2,零点为,x,=1;,f,(,x,)=e,x,-1零点为,x,=0;,零点为,答案,A,4.方程|,x,2,-2,x,|=,a,2,+1(,a,R,+,)的解的个数是 （ ）,A.1 B.2 C.3 D.4,解析,a,R,+,，,a,2,+11.,而,y,=|,x,2,-2,x,|的图象如图，,y,=|,x,2,-2,x,|的图象与,y,=,a,2,+1,的图象总有两个交点.,方程有两解.,B,5.方程|,x,|(,x,-1)-,k,=0有三个不相等的实根，则,k,的取,值范围是 （ ）,A. B.,C. D.,解析,本题研究方程根的个数问题,此类问题首选,的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其,次是直接求出所有的根.本题显然考虑第一种方法.,如图，作出函数,y,=|,x,|(,x,-1)的,图象，由图象知当,k, 时，,函数,y,=,k,与,y,=|,x,|(,x,-1)有3个不同的,交点，即方程有3个实根.,答案,A,6.设,f,(,x,)=,x,3,+,bx,+,c,(,b,0)(-1,x,1),且,则方程,f,(,x,)=0在-1,1内,( ),A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根,C.有唯一的实数根 D.没有实数根,解析,f,（,x,）=,x,3,+,bx,+,c,（,b,0），,f,(,x,)=3,x,2,+,b,0,f,（,x,）在-1,1上为增函数,又,f,（,x,）在 内存在唯一零点.,C,二、填空题,7.若函数,f,(,x,)=,x,2,-,ax,-,b,的两个零点是2和3，则函数,g,(,x,)=,bx,2,-,ax,-1的零点是_.,解析,g,（,x,）=-6,x,2,-5,x,-1的零点为,8.若函数,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+,b,的两个零点是-2和3,则不等式,af,(-2,x,)0的解集是_.,解析,f,（,x,）=,x,2,+,ax,+,b,的两个零点是-2，3.,-2，3是方程,x,2,+,ax,+,b,=0的两根，,由根与系数的关系知,f,(,x,)=,x,2,-,x,-6.不等式,af,(-2,x,)0，,即-(4,x,2,+2,x,-6)0 2,x,2,+,x,-30,解集为,9.已知,y,=,x,(,x,-1)(,x,+1)的图象如图所示,今考虑,f,(,x,)=,x,(,x,-1)(,x,+1)+0.01,则方程,f,(,x,)=0,有三个实根；,当,x,-1时,恰有一实根(有一,实根且仅有一实根);,当-1,x,0时，恰有一实根；,当0,x,1时，恰有一实根.,则正确结论的编号为_.,解析,f,（-2）=-2(-3)(-1)+0.01=-5.990，即,f,(-2),f,(-1)0,由图知,f,(,x,)=0在(-1,0)上没有实数,根,所以不正确.,又,f,(0.5)=0.5(-0.5)1.5+0.01=-0.3650,即,f,(0.5),f,(1)0,所以,f,(,x,)=0.,在(0.5,1)上必有一个实根,且,f,(0),f,（0.5）0且,f,(,x,)在（1，+）上是增函数，,f,（,x,）0,f,(,x,)=0在（1，+）上没有实根.,不正确.并且由此可知也正确.,答案,三、解答题,10.已知函数,f,(,x,)=4,x,+,m,2,x,+1有且仅有一个零点，求,m,的取值范围，并求出该零点.,解,f,（,x,）=4,x,+,m,2,x,+1有且仅有一个零点，,即方程(2,x,),2,+,m,2,x,+1=0仅有一个实根.,设2,x,=,t,(,t,0)，则,t,2,+,mt,+1=0.,当=0,即,m,2,-4=0，,m,=-2时，,t,=1;,m,=2时，,t,=-1不合题意，舍去，,2,x,=1，,x,=0符合题意.,当0，即,m,2或,m,0,则应有,f,(2)0,又,f,（2）=2,2,+（,m,-1）2+1,m,若,f,(,x,)=0在区间0,2上有两解,则,由可知,m,-1.,12.已知,a,是实数，函数,f,(,x,)=2,ax,2,+2,x,-3-,a,.如果函数,y,=,f,(,x,)在区间-1，1上有零点,求,a,的取值范围.,解,（1）当,a,=0时，,f,(,x,)=2,x,-3.,令2,x,-3=0,得,x,= -1，1,f,（,x,）在-1，1上无零点，故,a,0.,（2）当,a,0时，,f,(,x,)=2,ax,2,+2,x,-,3-,a,的对称轴为,当 -1,即0,a, 时，,须使,a,的解集为 .,当-1 时，,须使,解得,a,1,a,的取值范围是1，+).,（3）当,a,0时，,当01,即 ,a,0时，,须有,a,的解集为 .,综上所述，,a,的取值范围是,返回,85.,每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。,约翰,B,塔布,86.,微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。,戴尔,卡内基,87.,当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。,贾柯,瑞斯,88.,每个意念都是一场祈祷。,詹姆士,雷德非,89.,虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。,柏格森,90.,习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。,托尔斯泰,91.,要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。,兰斯顿,休斯,92.,生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。,玛科斯,奥雷利阿斯,93.,在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼,.,怀疑,.,感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧,!,你的心将会平静下来。,约翰,纳森,爱德瓦兹,94.,对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。,约翰,拉斯金,95.,没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。,威廉,班,96.,人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光,.,自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。,萧伯纳,97.,有三个人是我的朋友爱我的人,.,恨我的人,.,以及对我冷漠的人。,爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。,JE,丁格,98.,过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。,英国哲学家培根,99.,真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。,马塞尔,普劳斯特,100.,这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。,罗丹,101.,称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。,托尔斯泰,102.,人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候,。,叔本华,103.,为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。,梭罗,104.,我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。,威廉,彭,105.,人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇,【,违禁词，被屏蔽,】,，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。,戴尔,卡内基,106.,休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。,约翰,罗伯克,107.,没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。,撒母耳,厄尔曼,108.,快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。,卡雷贝,C,科尔顿,109.,每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。,戴尔,卡内基,110.,每天安静地坐十五分钟,倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。,艾瑞克,佛洛姆,111.,你知道何谓沮丧,-,就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。,坎伯,112.,伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。,布鲁克斯,113.,人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。,罗根,皮沙尔,史密斯,114.,要经常听,.,时常想,.,时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。,阿萨,赫尔帕斯爵士,115.,旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考,.,去感觉,.,去行动的自由。,威廉,海兹利特,116.,昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。,凯,里昂,117.,所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。,BC,福比斯,118.,明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。,迈可,汉默,119.,进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。,奥古斯汀,120.,无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。,史迈尔斯,121.,有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。,CHK,寇蒂斯,122.,对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。,乔治桑,123.,未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。,约翰,夏尔,124.,一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。,道格拉斯,米尔多,125.,大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面,.,里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度,。,老子,126.,在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。,怀特曼,127.,一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。,G.K.Chesteron,128.,医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。,马克吐温,129.,问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。,约翰,鲁斯金,